Beweis einer Ungleichung

15.07.2006, 21:12

Nemo6

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Beweis einer Ungleichung

Hallo,

bräuchte mal die Hilfe von euch. Habe Folgende Aufgabenstellung und weiß nicht genau wie ich drangehen soll:

Zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für alle x € R, x>=0 und n€N, n>=2 die folgende Abschätzung gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+ \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Wollte das ganze jetzt mit Vollständiger Induktion beweisen. Der Binomische Lehrsatz lautet ja:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k \end{eqnarray*}$

auf das obige angewendet, wäre dann

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k = \sum_{k=0}^n~ \frac{n!}{(n-k)!k!} x^k \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar nicht in wieweit der Lehrsatz mir jetzt helfen soll aber egal...

Induktionsanfang für n=2 klappt

Wenn ich jedoch den Ind.schritt mache für n -> n+1

bekomme ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} ~ \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!} x^k = \sum_{k=0}^n~ \frac{n!}{(n-k)!k!} x^k (1+x) \geq (1+\frac{n^2}{4}x^2)(1+x) \end{eqnarray*}$

Hier komme ich aber nicht mehr weiter, da ich nicht weiß wie ich das ganze auflösen kann. Kann ja nicht wieder $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ für die Summe nehmen. Würde mich auch sowieso nicht weiterbringen.

Nemo

15.07.2006, 21:30

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Versuch es lieber ohne Induktion: In der Summe

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n~ {n \choose k} x^k \end{eqnarray*}$

sind rechts alle Glieder nichtnegativ, also kann man sie nach unten abschätzen, indem man Summenglieder weglässt. Tatsächlich wirft man sogar alle weg, bis auf die beiden für k=0 und k=2:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n~ {n \choose k} x^k \geq {n \choose 0} x^0 + {n \choose 2} x^2 = 1 + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist noch nicht ganz das, was du brauchst, aber es sollte erstmal weiterhelfen. smile

smile

18.07.2006, 16:57

nemo6

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gibt es da nicht etwas allgemeineres? Habe viele solcher ungleichungen und bin leider zu dumm um immer so eine lösung herauszusehen. Wie könnte ich das denn mit der Induktion machen?
Oder wäre es mit der Induktion um einiges komplizierter?

Gruß
nemo

18.07.2006, 17:22

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Zitat:

Original von nemo6
gibt es da nicht etwas allgemeineres?

Der allgemeine Algorithmus zur Beweiserzeugung ist meines Wissens nach noch nicht gefunden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.07.2006, 17:44

Leopold

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Vor allem: Wenn es den gäbe, dann könnte man ihn doch mit sich selbst herleiten. Oder er wäre schon da, bevor es ihn gäbe ... oh jeh ... verwirrt

verwirrt

Ach du mein lieber Russell!

18.07.2006, 17:51

AD

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Und etwas ernsthafter: Induktion ist kein Allheilmittel, manchmal sind eben andere Methoden vorteilhafter. Und speziell Induktion zum Beweis von Ungleichungen ist bisweilen eine Kunst. So gibt es etliche Beispiele, wo eine stärkere Behauptung mit Induktion nachweisbar ist, die schwächere dagegen nicht.

So auch im vorliegenden Fall: Wenn du das unbedingt mit Induktion beweisen willst, dann weise

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

nach - das klappt, und da brauchst du dann nicht mal den binomischen Satz. Und das dann noch fehlende $\begin{eqnarray*} 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \geq 1+\frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ sollte für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ leicht folgen.

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18.07.2006, 18:15

nemo6

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Der allgemeine Algorithmus zur Beweiserzeugung ist meines Wissens nach noch nicht gefunden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schade eigentlich. wenn ich mit der Aufgabe hier fertig bin, werde ich mal gucken ob ich denn vielleicht finde Big Laugh

Big Laugh

So habe es jetzt trotzdem mal mit der Induktion versucht, da ich wiegesagt für alles andere zu doof bin.

Habe jetzt ja die induktionsvoraussetzung für n=2 erfüllt gehabt. Dieses dann dementsprechend eingesezt:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{n^2}{x}x^2)(1+x) \geq 1+\frac{(n+1)^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$
<=>
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{n^2}{4}x^2+x+ \frac{n^2}{4}x^3 \geq 1+\frac{(n+1)^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$
<=>
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}n^2x^2+x+\frac{1}{4}n^2x^3 \geq \frac{1}{4}n^2x^2+\frac{2}{4}nx^2+\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray*}$
<=>
$\begin{eqnarray*} x(1+\frac{1}{4}n^2x^2\geq x(\frac{2}{4}nx+\frac{1}{4}x) \end{eqnarray*}$
<=>
$\begin{eqnarray*} 4+n^2x^2\geq 2nx+x \end{eqnarray*}$
<=>
$\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx - x + 4\geq 0 \end{eqnarray*}$
was doch für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

So habe ich irgendwo nen dicken Hund drinne oder wäre das richtig???

Bin langsam am verzweifeln....

18.07.2006, 18:24

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Zitat:

Original von nemo6
$\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx - x + 4\geq 0 \end{eqnarray*}$
was doch für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Und warum? Als Lehrer würde ich da schon noch eine Begründung dafür erwarten!

18.07.2006, 18:56

nemo6

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hmmmm, kA.

aber ich versuche es mal:

$\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx-x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2x^2 \geq 2nx+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2x \geq 2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq \frac{2+\frac{1}{n} }{n} \end{eqnarray*}$

das wieder oben eingesezt
$\begin{eqnarray*} n^2(\frac{2+\frac{1}{n} }{n})^2 - 2n(\frac{2+\frac{1}{n} }{n}) - \frac{2+\frac{1}{n} }{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4+\frac{1}{n^2}-4+\frac{2}{n}-\frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ wäre für alle n>0 erfüllt.

wäre dass nun ok? oder hab ich jetzt nen dicken hund erst reingebracht?

18.07.2006, 19:12

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Mehrere dicke Hunde (d.h. Rechenfehler) sogar. Aber mal abgesehen davon verstehe ich den ganzen Weg nicht, d.h., was du damit bezweckst?

EDIT: Du musst $\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx - x + 4\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ beweisen - eine Aussage, die übrigens durchaus richtig ist.

Falls du dagegen denkst, auch $\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx - x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , dann täuschst du dich, wie man durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ leicht sieht.

18.07.2006, 19:55

Sunwater

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RE: Beweis einer Ungleichung

Zitat:

Original von Nemo6
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} ~ \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!} x^k = \sum_{k=0}^n~ \frac{n!}{(n-k)!k!} x^k (1+x) \geq (1+\frac{n^2}{4}x^2)(1+x) \end{eqnarray*}$

Nemo

in deinem zweiten Faktor ist doch x größer als 0... - wenn du also das x einfach weglässt multiplizierst du mit einer kleineren Zahl und somit wird auch dein Gesamtergebnis kleiner... - also bist du doch schon fast fertig

18.07.2006, 21:40

Mnevis

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@Arthur Dent

hab es jetzt versucht, komme aber auf keine lösung, wie soll ich das anstellen???

@Sunwater

um erlich zu sein verstehe ich nicht was du meinst Hammer

Hammer

18.07.2006, 21:52

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Du beziehst dich auf meinen Beitrag vom 15.07.2006, 21:30, hoffe ich? Was genau klappt jetzt noch nicht?

18.07.2006, 22:02

Mnevis

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beziehe mich jetzt auf diesen hier:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Mehrere dicke Hunde (d.h. Rechenfehler) sogar. Aber mal abgesehen davon verstehe ich den ganzen Weg nicht, d.h., was du damit bezweckst?

EDIT: Du musst $\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx - x + 4\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ beweisen - eine Aussage, die übrigens durchaus richtig ist.

Falls du dagegen denkst, auch $\begin{eqnarray*} n^2x^2-2nx - x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , dann täuschst du dich, wie man durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ leicht sieht.

was nicht klappt ist die ungleichung umzustellen, bzw zu beweisen. habe keine ahnung wie ich das machen kann Hammer

Hammer

mache das mit nemo zusammen, habe jetzt nur das texten übernohmen und vergessen es dazuzuschreiben....

18.07.2006, 22:12

AD

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Mannomann, was habt ihr nur alle für einen Narren an dieser überkomplizierten Variante gefressen - frage mich, was euch an meiner Variante nicht gefällt...

Also gut, ohne geschickte Umformung artet es eben in Arbeit aus: Ihr könnt ja die Funktion

$\begin{eqnarray*} g_n(x) = n^2x^2-2nx - x + 4 \end{eqnarray*}$

bzgl. $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ minimieren. Wenn das Minimum größer oder gleich Null ist, seid ihr fertig.

19.07.2006, 01:59

Mnevis

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habe diesen beitrag hier von dir übersehen und gerade erst beim scrollen gefunden....

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und etwas ernsthafter: Induktion ist kein Allheilmittel, manchmal sind eben andere Methoden vorteilhafter. Und speziell Induktion zum Beweis von Ungleichungen ist bisweilen eine Kunst. So gibt es etliche Beispiele, wo eine stärkere Behauptung mit Induktion nachweisbar ist, die schwächere dagegen nicht.

So auch im vorliegenden Fall: Wenn du das unbedingt mit Induktion beweisen willst, dann weise

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

nach - das klappt, und da brauchst du dann nicht mal den binomischen Satz. Und das dann noch fehlende $\begin{eqnarray*} 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \geq 1+\frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ sollte für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ leicht folgen.

werde das jetzt mal durchrechnen, Vielen Dank! Sieht viel besser aus als das was wir hier versuchen.

und noch etwas zu diesem hier :

Zitat:

Original von Arthur Dent
Versuch es lieber ohne Induktion: In der Summe

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n~ {n \choose k} x^k \end{eqnarray*}$

sind rechts alle Glieder nichtnegativ, also kann man sie nach unten abschätzen, indem man Summenglieder weglässt. Tatsächlich wirft man sogar alle weg, bis auf die beiden für k=0 und k=2:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n~ {n \choose k} x^k \geq {n \choose 0} x^0 + {n \choose 2} x^2 = 1 + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist noch nicht ganz das, was du brauchst, aber es sollte erstmal weiterhelfen. smile

smile

habe es jetzt mal angewendet und sehr schnell in die form $\begin{eqnarray*} n \geq \frac{n}{2}+1 \end{eqnarray*}$ bekommen, müsste man das auch noch beweisen? ist doch eigentlich einleuchten, dass das stimmt.

Wesswegen wir nicht sofort deine Lösung genohmen haben, ist einfach nur dass uns das in dem Fall zwar sehr hilft, aber in anderen wohl eher nicht und wir uns deswegen eine mehr oder weniger einheitlicheren Lösungsweg durch induktion gesucht haben...

Wären dann nämlich wieder bei der nächsten Aufgabe, die uns wieder ins taumeln versezt:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \leq \sum_{k=0}^n~ \frac{1}{k!} < e \end{eqnarray*}$

hier stocken wir auch bei dem schritt n -> n+1...

gibts da auch eine Abschätzung die man anwenden kann? Und wie sieht man so etwas???

So denke mal jetzt schläfft auch der letzte Mathematiker, wünsche also gute nacht.....

19.07.2006, 09:14

AD

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Das ist doch auch wieder ein Fall, wo Induktion nicht unbedingt anratsam ist. Warum nicht gleich links den binomischen Satz anwenden

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum\limits_{k=0}^n ~ \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

und dann rechts summandenweise abschätzen $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ? Macht wesentlich weniger Kopfschmerzen als eine krampfhafte Induktion.

19.07.2006, 15:38

klarsoweit

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RE: Beweis einer Ungleichung

Zitat:

Original von Nemo6
Zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für alle x € R, x>=0 und n€N, n>=2 die folgende Abschätzung gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+ \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Also das war doch die eigentliche Aufgabe.
Fall 1: n ist gerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl m mit m = n/2 und es gilt:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \left( (1+x)^m \right)^2 = \left( \sum\limits_{k=0}^m ~ \binom{m}{k}x^k \right)^2 \geq \left( 1+m \cdot x \right)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt m=n/2 einsetzen und binomische Formel anwenden.

Für ungerade n wird die Aufgabe dem Leser als Übungsbeispiel überlassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.07.2006, 15:43

AD

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RE: Beweis einer Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Für ungerade n wird die Aufgabe dem Leser als Übungsbeispiel überlassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schöne Ausrede, weil's da nämlich nicht so elegant geht. Oder doch? Big Laugh

Big Laugh

19.07.2006, 16:17

nemo6

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Zitat:

Original von Arthur Dent
und dann rechts summandenweise abschätzen $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ? Macht wesentlich weniger Kopfschmerzen als eine krampfhafte Induktion.

hast du vielleicht ein link wo ich nachlesen kann wie das ganze funktionieren soll. Kann mir erliggesagt überhauptt nicht vorstelllen wie man hier abschätzen kann.
Mein problem ist denke ich mal das ich die Sumenzeichen nicht wegbekomme. Bei anderen aufgaben, wo man diese wegbekommen konnte hat es immer ohne probleme geklappt.....

Übrigens danke nochmal auch von mir für die Hilfe bei der ersten Aufg.

@klarsoweit

werde jetzt erstmal die zweite aufgabe fertig rechnen und mich dannach noch mal deinem Ansatz widmen, da er auch sehr interessant aussieht!

19.07.2006, 16:21

AD

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$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{1}{n^k} = \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \ldots\cdot \frac{n-k+1}{n}\cdot \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

19.07.2006, 17:36

nemo6

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sorry für die Rechtschreibung oben, habe mich jetzt auch angemeldet, um das beim nächsten mal zu vermeiden....

so jetzt aber zur Aufgabe:

nur das ich es jetzt richtig verstehe, du hast hierbei:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{1}{n^k} = \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \ldots\cdot \frac{n-k+1}{n}\cdot \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!k!}*\frac{1}{n^2} = \frac{n(n-1)*...*(n-k+1)(n-k)(n-k-1)*...*(n-n+1)}{(n-k)(n-k-1)*...*(n-k-n+k+1)k!}* \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

gerechnet und dann alles nach $\begin{eqnarray*} n(n-1)*...*(n-k+1) \end{eqnarray*}$ weggekürzt.

Danach aus dem ganzem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert.

und da $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \ldots\cdot \frac{n-k+1}{n} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, ist die Aussage bewiesen?

19.07.2006, 18:06

AD

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Ja, genauso. Freude

Freude

Ein kleines Lächeln kann ich mir angesichts des $\begin{eqnarray*} (n-k-n+k+1) \end{eqnarray*}$ im Nenner nicht verkneifen, da kann man ja auch einfach $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.07.2006, 18:16

nemo6

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ich weiß, ich wollte es halt für mich so präzise wie möglich haben, um später genau zu wissen was ich wo gemacht habe.

Ich danke dir vielmals!!!!

19.07.2006, 18:40

nemo6

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kann es sein das ich gerade absolut umsonst die ganze rechnung gemacht habe?

Wollte gerade die Aufgabe zuende bringen und noch beweisen das die Aussage kleiner gleich e ist und habe dafür im wikipedia nachgeschlagen wie e definiert wird:
-------------------------------------------------------
Definition [Bearbeiten]

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:

$\begin{eqnarray*} * e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man $\begin{eqnarray*} n\in\Bbb N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n\in\Bbb R \end{eqnarray*}$ voraussetzt)
$\begin{eqnarray*} * e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \end{eqnarray*}$ als Reihe
------------------------------------------------------

Oder sagen wir nicht ganz umsonst, hab da ja auch bei gelernt.

Kann ich denn wenigstens bei dem Beweis:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \leq \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \end{eqnarray*}$
verwenden das $\begin{eqnarray*} n \leq \infty \end{eqnarray*}$ ist und daher die Aussage richtig sein muss?

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