Abbildungen "basteln"

12.10.2008, 12:44

Egon

Abbildungen "basteln"

Hi!

Im Kurs hat es vereinzelt Aufgaben im Stil von: Nennen Sie ein Beispiel für eine Abbildung (f o g), die injektiv ist, während aber f und g nicht beide injektiv sind.

Gibt es dafür irgendwelche Tricks? Ich finde das immer extrem schwierig.

Danke!

12.10.2008, 12:55

Jacques

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Hallo,

Ich glaube kaum, dass es eine solche Abbildung gibt.

// edit: OK, es hängt von der Definition ab. Wie habt Ihr die Verkettung definiert?

12.10.2008, 13:02

Egon

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Ich habe die Aufgabe aus der Erinnerung geschrieben. Genau lautet dieses Beispiel:

Geben SIe ein Gegenbeispiel zur folgenden Aussage: Wenn eine Abbildung (g o f) injektiv ist, dann sind f und g injektiv.

Die Komposition ist definiert als die Hintereinanderausführung der Abbildungen, also im konkreten Fall (g o f)(x) = g(f(x)).

12.10.2008, 13:06

Jacques

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Zitat:

Original von Egon

Die Komposition ist definiert als die Hintereinanderausführung der Abbildungen, also im konkreten Fall (g o f)(x) = g(f(x)).

Das ist schon klar. Aber wie sieht es mit der Definitions- und der Zielmenge aus? Muss die Wertemenge der inneren Funktion (f) identisch sein mit der Definitionsmenge der äußeren Funktion (g)?

12.10.2008, 13:07

Egon

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Ja. f: A -> B und g: B -> C

Gibt es denn abweichende Definitionen dafür?

12.10.2008, 13:18

Jacques

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Ich kenne z. B. auch die Definition, bei der nur

$\begin{eqnarray*} W_f \cap D_g \neq \varnothing \end{eqnarray*}$

gefordert wird.

Ich dachte irgendwie, es wäre $\begin{eqnarray*} W_f = B \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, aber das stimmt ja nicht. Also kann man auch bei Deiner Definition ein Gegenbeispiel finden:

Die innere Abbildung f muss auf jeden Fall injektiv sein. Denn wenn f zwei verschiedene Stellen auf denselben Funktionswert abbildet, dann ändert sich ja auch durch die Verkettung nichts mehr daran. Also wäre dann auch g o f nicht injektiv.

Der Ansatz ist also die äußere Funktion: g darf nicht-injektiv sein, wenn man nur für Folgendes sorgt: Bildet g zwei verschiedene Stellen auf denselben Funktionswert ab, dann liegt immer eine davon nicht im Werteberech von f.

12.10.2008, 13:23

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Jacques
Ich kenne z. B. auch die Definition, bei der nur

$\begin{eqnarray*} W_f \cap D_g \neq \varnothing \end{eqnarray*}$

gefordert wird.

Das ergibt keinen Sinn. Wie willst du aus $\begin{eqnarray*} f:[-1,1]\to [-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:[0,1]\to [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=x, g(u)=\sqrt{u} \end{eqnarray*}$

eine Verknüpfung bilden?

12.10.2008, 13:27

Jacques

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@ Mathespezialschüler:

Die Definitionsmenge der Verkettung ist dann nicht mehr Df, sondern wird eingeschränkt:

$\begin{eqnarray*} D_{g \circ f} := \{x \in D_f \, | \, f(x) \in D_g \} \end{eqnarray*}$

@ Egon:

Vielleicht noch eine Skizze für eine injektive Verkettung, bei der die äußere Funktion nicht injektiv ist:

[attach]8855[/attach]

Ein konkretes Beispiel wäre

$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R} \, \mapsto \mathbb{R} \quad x \mapsto \mathrm{e}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g\colon \mathbb{R} \, \mapsto \mathbb{R} \quad x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

12.10.2008, 15:58

Egon

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Danke, Jacques!

Ich hatte es auch mit einer Grafik versucht, bin aber dann nicht bis zu dem Punkt vorgegrungen, denn du schriebst. Jetzt ist mir natürlich völlig klar, dass die "blauen" Werte überhaupt keine Rolle spielen, weil sie ja in der Komposition gar nie angewendet werden.

Damit hast du mir sehr geholfen.

12.10.2008, 17:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Jacques
@ Mathespezialschüler:

Die Definitionsmenge der Verkettung ist dann nicht mehr Df, sondern wird eingeschränkt:

$\begin{eqnarray*} D_{g \circ f} := \{x \in D_f \, | \, f(x) \in D_g \} \end{eqnarray*}$

Interessante Konvention. Woher kennst du eine solche Definition?

12.10.2008, 17:39

WebFritzi

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@MSS: Das ist doch ganz natürlich und auch Standard.

Zitat:

Original von Egon
Jetzt ist mir natürlich völlig klar, dass die "blauen" Werte überhaupt keine Rolle spielen, weil sie ja in der Komposition gar nie angewendet werden.

In deinen beschriebenen Aufgaben wird sowas aber nie drankommen.

Zitat:

Original von Egon
Im Kurs hat es vereinzelt Aufgaben im Stil von: Nennen Sie ein Beispiel für eine Abbildung (f o g), die injektiv ist, während aber f und g nicht beide injektiv sind.

Gibt es dafür irgendwelche Tricks? Ich finde das immer extrem schwierig.

Ja, es gibt einen Trick. Wende die Definitionen an. Das ist immer das gleiche.

12.10.2008, 17:53

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Zitat:

Original von WebFritzi
@MSS: Das ist doch ganz natürlich und auch Standard.

Das ist ganz und gar nicht Standard. Eher sowas wie eine Konvention für Funktionen, deren Definitionsbereich festgelegt ist gemäß "Soweit wie möglich, d.h. die Terme definiert sind".

Denn ordentlich betrachtet hat MSS recht: Es ist $\begin{eqnarray*} D_{g\circ f} = D_f \end{eqnarray*}$ , und damit die Verkettung überhaupt möglich ist, muss man $\begin{eqnarray*} R_f \subseteq D_g \end{eqnarray*}$ fordern!

12.10.2008, 18:18

WebFritzi

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Na gut, ich korrigiere mich: Für (lineare) Operatoren in der Funktionalanalysis ist das Standard, bzw. Definition. Augenzwinkern

Hier hat man es z.B. mit (linearen) Abbildungen $\begin{eqnarray*} f: {\rm D}(f)\to X \end{eqnarray*}$ zu tun, wobei X ein Banachraum und D(f) eine Teilmenge (meistens ein Unterraum) von X ist. Hat man zwei solche Abbildungen

$\begin{eqnarray*} f: {\rm D}(f)\to X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: {\rm D}(g)\to X, \end{eqnarray*}$

so macht $\begin{eqnarray*} {\rm D}_{g\circ f} = {\rm D}_f \end{eqnarray*}$ im allgemeinen wenig Sinn.

EDIT: Aber wie gesagt wird das Egon wenig helfen. Augenzwinkern

13.10.2008, 18:44

Egon

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@WebFritzi: Was meinst du mit "In deinen beschriebenen Aufgaben wird sowas aber nie drankommen."

Danke

14.10.2008, 00:25

WebFritzi

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Es wird immer

f : A -> B und g : B -> C

sein, wo wirklich D_f = A und D_g = B sind.

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