Referat + Regel von L'Hospital

16.07.2006, 14:54

Merlin215

Referat + Regel von L'Hospital

Hallo,
nächste Woche werde ich ein Referat über L'Hospital und dessen Regel machen,ich wollte mal fragen ob sich jemand vllt die Mühe darüber nachzudenken ob man den Beweis auf dieser Seite L'HOSPITAL
wohl in der 12ten Klasse vorrechnen kann,denn es sind ja nicht alle Schüler so stark in Mathe,und ich würde halt gerne einen Beweis vorrechnen da mein Lehrer bei einem anderen Referat über die Integralrechnung angekre9dert hat dassmanche Beweise nicht gerechnet wurden,oder bei einem Kurzreferat hat jemand die Bernoullische Ungleichung nicht angewandt(ich glaub dabei ging es um die eulersche Zahl)..also von daher wäre eine Beweisführung nicht schlecht.

Und wenn ihr noch wollte,könnt ihr mir ja mal schreiben worauf es eurer Meinung bei L'Hospital besonders ankommt,was man erwähnen sollte,was vorrechnen,usw..?

LG;
Merry

16.07.2006, 17:19

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Ohne zu wissen wie das Leistungsniveau eurer Klasse ist, finde ich den Beweis wahrscheinlich zu kompliziert. Da wird ja auch einiges vorausgesetzt wie der verallgemeinerte Mittelwertsatz. Ich denke da wirst du im Netz elegantere Beweise finden.

Ein typisches Beispiel zum Vorrechnen wäre eine bekannte Grenzwertberechnung, die man per L'Hospital lösen kann: sin(x)/x für x gegen 0

16.07.2006, 18:14

sqrt(2)

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Zumal ich damit selbst schon auf die Nase geflogen bin: Der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$

ist kein gutes Beispiel für die Anwendung der Regel von L'Hospital, denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x -\sin 0}{x - 0}=\sin'(0) \end{eqnarray*}$ ,

womit man sich, wenn man überprüfen möchte, ob der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\sin' x}{x'} \end{eqnarray*}$

existiert, um dann auf den eigentlichen Grenzwert zu schließen, in einen Zirkelschluss begibt.

16.07.2006, 19:14

tigerbine

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Den Zirkelschluss versthe ich nicht.

Man interessiert sich für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} \end{eqnarray*}$ L'hospital sagt dann, betrachte den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cosx}{1}=1 \end{eqnarray*}$

Wo ist dann da das Problem?

16.07.2006, 19:51

sqrt(2)

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Du berechnest die Ableitung des Sinus, indem du die Ableitung des Sinus verwendest.

16.07.2006, 20:13

tigerbine

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Aber warum sollte ich nicht die bekannte Ableitung cos verwenden?

Es steht in dem Satz doch nicht drin, dass ich die Ableitung über den Differentialquotienten bestimmen muss.

Gruß

16.07.2006, 20:16

sqrt(2)

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Zitat:

Original von tigerbine
Aber warum sollte ich nicht die bekannte Ableitung cos verwenden?

Dann brauchst du L'Hospital nicht mehr.

16.07.2006, 22:21

tigerbine

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Also, irgendwie verstehen wir dann was anderes unter L'Hospital!

Zitat aus Analysis I - Königsberger:

f,g: $\begin{eqnarray*} (a;b) \rightarrow R \end{eqnarray*}$ seien differenzierbar, und es sei $\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (a;b) \end{eqnarray*}$ . In jeder der beiden folgenden Situationen

a) $\begin{eqnarray*} f(x) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow a \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x) \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow a \end{eqnarray*}$

gilt:

Existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ , so existiert auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ und es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Wo steht da jetzt, dass man f' und g' nicht einfach "berechnen" darf?

Gruß Wink

16.07.2006, 22:24

sqrt(2)

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Das hier ist ein Spezialfall: Wenn du f' berechnen kannst, dann kennst du $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ schon. Wenn du den Grenzwert also berechnen sollst, ist davon auszugehen, dass du f' noch nicht kennst.

16.07.2006, 22:26

Calvin

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Aber der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung des Sinus an der Stelle 0. Denn es ist wie sqrt(2) weiter oben schon geschrieben hat, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\sin'(0) \end{eqnarray*}$ der Differentialquotient an der Stelle x_0=0

Du benutzt also die Ableitung des Sinus um die Ableitung des Sinus zu berechnen.

EDIT
Ups, zu lange mit LaTeX rumgespielt Augenzwinkern

Aber doppelt gemoppelt hält besser smile

16.07.2006, 23:04

Gast897

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Ich kann doch auch ohne l'Hospital nachweisen, dass die Ableitung des Sinus der Cosinus ist, z.B. über Potenzreihen. Dann ist es doch legitim ein vorher bewiesenes Restultat weiterzuverwenden.

16.07.2006, 23:05

tigerbine

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Ok, laso wenn man nicht weiß, dass (sin(x))' =cos(x) ist, dann dreht man sich im Kreis.

Nur haben wir L'Hopital immer so angewendet, dass wir f' bzw g' "berechnet" haben (Bsp sin(x)' = cos(x), ln(x) ' = 1/x etc.). Und so "teilweise" die probleme behoben werden konnten.

Deswegen ist mir hier nicht klar, warum ihr die Ableitung des Sinus als unbekannt setzen wollt. Und somit die Lösung des Problems ignoriert.

Aber für das Referat wär es sicher ein Interessanter Fall, in dem Merlin erwähnen kann, dass falls man die Ableitung nicht kennt, man sich mit dem Differentialquotienten im Kreise dreht.

Gruß

16.07.2006, 23:28

sqrt(2)

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Ich will es einmal zusammenfassen.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} \sin' x=\cos x \end{eqnarray*}$ ist nicht bekannt.
In diesem Fall kann man die Regel von L'Hospital nicht anwenden, denn es ist unmöglich, die Ableitung der Zählerfunktion zu bilden.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} \sin' x=\cos x \end{eqnarray*}$ ist bekannt.
In diesem Fall ist die Regel von L'Hospital unnötig, denn es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\sin'0=\cos0 \end{eqnarray*}$ . Der Grenzwert ist schon lange bestimmt, ganz unabhängig davon, wie man auf die Ableitung des Sinus gekommen ist, denn man muss einfach nur in die Definition einsetzen, um ebendiesen zu bestimmenden Grenzwert (und die Lösung) zu erhalten.

Wenn man nun in Fall 2 die Regel von L'Hospital anwendet, dann findet man einen Wert der Ableitungsfunktion unter der Vorraussetzung, dass man die Ableitungsfunktion schon kennt. Für mich ist das ein Zirkelschluss (wenn ich da jetzt allerdings anfagen müsste, philosophisch zu argumentieren, was uns nicht weiterbringt, was ich deshalb unterlasse), aber selbst, wenn man diese Meinung nicht teilt, ist es offensichtlich, dass die Anwendung der Regel von L'Hospital hier entweder unmöglich oder unnötig ist, und damit dieser Grenzwert kein besonders gutes Beispiel abgibt, was ja mein Punkt war.

16.07.2006, 23:58

tigerbine

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Gut, gut jetzt verstehe ich den deinen Zirkelschluss.

Für mich formuliert sich die Aufgabe eben so: Bestimme den Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray*} z(x):= \frac{sinx}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . Da ich bei der Grenzwertbetrachtung auf das Problem "0" /"0" stoße, wende ich L'Hospital an und benutze die "bekannten" :-) Ableitungen cos(x) und 1.

Liegt wohl im Auge des Betrachters Augenzwinkern

Gruß

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