Beweis der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung

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stereo Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung
Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Unleichung: Für beliebige reele Zahlen , , i = 1,2,....,n gilt

(ich habe den Code für das Summenzeichen nicht gefunden, deswegen schreib ich dafür E)

(E "kleiner, gleich <,=" E E

Für die Summenzeichen gilt: i=1 für alle n.

Wann genau steht in der Cauchy-Schwarschen Ungleichung das Gleichheitszeichen?
Hinweis: Gehen Sie von der wahren Aussage E E "größer, gleich >,=" 0 aus.


Ich hatte schon bei Wikipedia geschaut, jedoch habe ich die Lösungen nicht verstanden und nur abschreiben wollte ich nicht. Wäre schön wenn mir jemand einen Lösungsweg verständlich machen könnte.

ModEdit: Titel korrigiert: So schreibt man Beweis und es heisst Cauchy-Schwarz. mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung
Es wird dir hier keiner eine Lösung präsentieren.

Das Summenzeichen bekommst du mit \sum. "Größer oder gleich" ist \ge. Das hättest du auch alles mit dem Formeleditor herausbekommen können.

Zitat:
Original von stereo
Hinweis: Gehen Sie von der wahren Aussage aus


Nimm doch diesen Hinweis. Multipliziere im Innern aus und ziehe danach die Summen auseinander.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, zunächst danke für den Tip.







Jetzt kann man die Summenzeichen zusammenfassen.





w.z.bw.


Inwiefern muss ich jetzt die Frage einer Gleichheit beantworten?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo



Hier gilt doch nur die Gleichheit, wenn alle Summanden 0 sind. Wann ist das der Fall?


Du hast übrigens noch kleine Fehler in dem Beweis. Schau mal an was du quadrierst.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Gleichung hinreichend bewiesen wenn ich



schreibe ? Denn dadurch beweiße ich ja eine lineare Abhängigkeit.


-

In welche Zeile ist der Fehler, ich hab ihn nicht gefunden mit dem Quadrieren.

Liegt der Fehler in eine Definition eines Summenzeichens? Weil damit habe ich noch nie gerechnet.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Jetzt kann man die Summenzeichen zusammenfassen.




Die Klammern müssen außerhalb der Summe stehen. Das ist ja auch das, was du beweisen sollst. Augenzwinkern


Zitat:
Original von stereo
Also ist die Gleichung hinreichend bewiesen wenn ich



schreibe ?


Was ist, wenn a_j oder b_j gleich Null ist?

Zeige, dass Gleichheit genau dann gilt, wenn es feste Zahlen s und t gibt, so dass

gilt für alle i.
 
 
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, übersehen smile

Wie muss ich mir denn deinen Schritt überlegen. Also von



auf



Also welche Überlegung muss ich mir da machen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Board ist nicht dazu da, dass wir deine Überlegungen übernehmen. Ich sag nur so viel:



reicht eigentlich nicht. Es sollte lauten: Es gilt



für alle i und alle j.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
[quote]Original von stereo

Zeige, dass Gleichheit genau dann gilt, wenn es feste Zahlen s und t gibt, so dass

gilt für alle i.


Ich verstehe den Sprung bei dir nicht, wieso kannst du die und so einfach herausnehmen und diesen Term aufstellen?


Mir ist das schon klar, dass ihr nicht meine Hausaufgaben macht, aber ich seh den Zusammenhang zwischen den deiner Gleichung und der Ausgangsgleichung nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Geh doch bitte systematisch ran. Du musst die folgende Äquivalenz beweisen:








Du musst also beide Richtungen beweisen. Fang mit einer an. Vielleicht setzte auch mal Zahlen für die i's und j's ein, um zu sehen, in welche Richtung du denken musst.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich grübel schonwieder einen Tag über deine Aussage.

Also ich glaub dass ich irgendwas nicht weiß oder ich sehe es schlicht und einfach nicht.

Für mein Verständis:

Die Indices i und j sagen folgendes aus:

(analog für )

Ich kann keine Aussage für Größenverhältnisse machen.

Zitat:
Du musst also beide Richtungen beweisen. Fang mit einer an. Vielleicht setzte auch mal Zahlen für die i's und j's ein, um zu sehen, in welche Richtung du denken musst.


Sieht das dann so aus?


Zitat:
Original von WebFritzi
Geh doch bitte systematisch ran. Du musst die folgende Äquivalenz beweisen:








Ich sehe auch immernoch nicht dass die 2 Terme äquvalent sind. Von der Struktur sind sie ja gleich aber ich kann den Vorzeichenwechsel nicht nachvollziehen.

Es gilt doch, dass
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi







Erstmal noch eine wichtige Vorraussetzung eingefügt Augenzwinkern

So fangen wir mal mit der Rückrichtung an.

Angenommen es gilt für alle

1. Fall: . Also
Dann gilt für alle .

Dann ist für alle trivialerweise erfüllt.


2. Fall: .... Das kannst du jetzt alleine.


3. Fall: Beide ungleich 0. Nutze nun aus, dass das Produkt auch ungleich 0 ist, du also bei einer Gleichung der Form sofort folgern könntest.
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