[ganzr. Funktionen] Nullstellen via Horner

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the borg Auf diesen Beitrag antworten »
[ganzr. Funktionen] Nullstellen via Horner
Hallo zusammen und allen Lesern ein frohes Pfingstfest!

Meine Fragen beziehen sich auf die praktische Anwendung des Horner-Schemas bei ganzr. Funktionen:

(1) Kann ich bereits am Grad der Funktion sehen, wie viele NST sie haben wird?
+++ Jetzt habe ich hier eine Funktion 4. Grades vorliegen, finde aber nur 3 NST, dann muss ja eine doppelt sein. Wie bekomme ich raus welche? +++


(2) Wie komme ich auf sinnvolle X-Werte für das Horner-Schema? Oder gilt hier außer Raterei nur die Hilfestellung mit einem Teiler des absoluten Gliedes? Gibt es dort irgendeine weitere Hilfestellung?


Vielen Dank
Nicolai Wink
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo !
Schau mal

dort nach:

vielleicht hilft das ja schon.
gruss Johko
the borg Auf diesen Beitrag antworten »

danke!

hm... dass sieht so nach Polynomdivision aus... Wir müssen das aber ohne Lösen, also nur mit Horner. Geht des?

Nico
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Horner-Schema und Polynomdivision sind im Prinzip das gleiche. Das eine ist eben nur schematisiert.
the borg Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also ich denke bzgl. Frage 2 bleibt es beim Raten von X-Werten.

Für Frage 1 hat sich mir noch keine Antwort erschlossen...
Könntet ihr mir da wohl nochmal unter die Arme greifen?

Danke sehr.
Nico
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Poste doch mal die Funktionsgleichung...
Eine Fkt. 4. Grades muss nicht zwingend 4 Nullstellen haben.
 
 
TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Ich versuche mal einen Ansatz zur Antwort zu 2)

Wenn du eine Polynom mit nur gannzzahligen Koeffizienten hast: Dann sind alle Nullstellen(wenn es welche gibt) Teiler des absoluten Gliedes.

Ich hoffe das hilft dir bei deiner Funktion weiter.

Wenn du möchtest kann ich auch die Herleitung aufschreiben.
(Müsste ich mir aber erst noch anschauen)
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TomBombadil
Wenn du eine Polynom mit nur gannzzahligen Koeffizienten hast: Dann sind alle Nullstellen(wenn es welche gibt) Teiler des absoluten Gliedes.


Das ist so nicht ganz richtig: Wenn ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler des absoluten Gliedes. (Betrachte etwa das Polynom x²-2, da hat man nur ganzzahlige Koeffizienten, aber nicht ganzzahlige Nullstellen; es macht ja mit Nicht-ganzen Zahlen auch nur begrenzt Sinn von Teilbarkeit zu sprechen, deswegen mag der Einwand hier etwas spitzfindig klingen)

Gruß vom Ben
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Wenn ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler des absoluten Gliedes.

Du hast wohl das "nur" vergessen. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ the borg

Wenn du schon drei Nullstellen einer ganzrationalen Funktion vom Grade 4 hast, kannst du durch Polynomdivision auch herausbringen, ob es noch eine vierte gibt oder eine der drei Nullstellen eine doppelte ist.

Letzteres kannst du alternativ aber auch mit der Ableitung überprüfen. Ist nämlich a doppelte Nullstelle von f, dann ist a einfache Nullstelle von f', wie man folgendermaßen sehen kann:

f(x) = (x-a)²g(x) mit ganzrationalen Funktionen f,g
f'(x) = 2(x-a)·g(x) + (x-a)²·g'(x) = (x-a)·[ 2·g(x) + (x-a)·g'(x) ]

Und in der eckigen Klammer steht wieder eine ganzrationale Funktion h: f'(x) = (x-a)·h(x)

Entsprechendes kann man auch mit k-fachen Nullstellen machen: Ist a k-fache Nullstelle von f, so ist a (k-1)-fache Nullstelle von f'.
the borg Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen zusammen,
danke für die zahlreichen Antworten.

Leider muss ich gestehen, dass sie mir recht wenig helfen.
Ich erklär mal wieso: Ich brauche eine Lösung die ich wirklich OHNE POLYNOMDIVISION erreichen kann. (es sei denn, mein Mathelehrer hat Spaß daran uns übers Wochenende für uns unlösbare Aufgaben aufzugeben, denn wir arbeiten nicht damit. )

Ich glaube auch nicht, dass das eine "Themenüberleitung" sein soll - so nach dem Motto, ihr konntet die Aufgaben nicht lösen, ich zeig euch wie's geht - denn wir sind schon wieder weiter zu den Exponentialfunktionen...


Ich poste jetzt mal ganz konkret das Problem:

f(x) = 0,25x^4 + 0,5x^3 - 2x^2 - 4,5x - 2,25


So jetzt hatte ich bereits HORNER angewandt, und bin dabei auf die NST -3; -1; 3 gekommen.

An dieser Stelle jetzt nochmal meine Frage: Also am GRAD kann ich definitiv NICHT ablesen wie viele NST eine Funktion hat?

Wenn dem so ist, könnte ich ja durchaus damit schon fertig sein!?
Wenn nicht, dann muss es eine doppelte NST geben.

Wie kann ich das mit den mir zur verfügung stehenden Mitteln ausrechnen? (aus der Rchng. oben werd ich nicht ganz schlau, was ist z.B. g und was mach ich da überhaupt? Aber falls das wieder Poly*** ist, sowieso egal...)

Gruß
Nicolai
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Moment ...
Da gibt es auch keine anderen Nullstellen mehr.
Ich habe es doch in meinem Link aufgelistet: Der Grad gibt die Höchstzahl der Nullstellen an. Wenn du den Graphen nach oben verschiebst, verringert sich die Zahl sogar auf Null.
Ausserdem habe ich bereits erwähnt, dass PD und HS im Prinzip das Gleiche sind. Du brauchst nur die Koeffizienten der PD in das HS zu übertragen.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Ben Sisko
Wenn ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler des absoluten Gliedes.

Du hast wohl das "nur" vergessen. Augenzwinkern


Aber das "nur" wäre nicht richtig. Eine Nullstelle ist immer Teiler des Ablsolutgliedes. Ist nur die Frage, ob diese Erkenntnis bei der Nullstellenfindung hilft. Im Fall, dass das Polynom Koefifizienten in einem Körper hat, sicherlich nicht, denn da ist jedes Körperelement ein Teiler des Absolutgliedes.
Nur im Fall, dass das Polynom Koeffizienten in einem Ring wie z.B. den ganzen Zahlen hätte (und vielleicht sogar noch normiert wäre, wäre das hilfreich.


Und @theborg:
Im Allgemeinen, wie johko es chon sagte, muss ein Polynom 4ten Grades nicht zwingend 4 Nullstellen haben, zumindest nicht in den reellen Zahlen.
Allerdings hast du ja schon 3 reelle (sogar ganze) Nullstellen herausgefunden und dann muss es auch noch eine vierte reelle Nullstelle geben.

In deinem Fall
f(x) = 0,25x^4 + 0,5x^3 - 2x^2 - 4,5x - 2,25
= 0,25 (x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 18x - 9)
sind die Nullstellen - wie du schon gesehen hast - Teiler der 9 udn du hast schon 3 davon. Dann ist die vierte Nullstelle ist dann sicherlich auch ein Teiler der 9. Das kann man sagen. Und ich tippe mal auf -1, aber der Tip ist jetzt erstmal ohne Gewähr (vielleicht hab ich gerade mich verguckt).
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch über dein Horner Schema Polynome geringeren Grades bekommen. Wenn du jetzt durch dein Horner Schema zu einem Polynom gekommen bist, wo du feststellen kannst, dass es keine Nullstellen mehr hat, dann bist du fertig und kannst davon ausgehen, dass du alle Nullstellen gefunden hast. Dann hast du auch keine vergessen ( vauch keine Doppelten ), sondern du hast alle Nullstellen bestimmt.
Warum du hier nur 3 findest liegt daran, dass an Punkt -1 die Ableitung =0 ist, die Kurve an der Stelle also einen relativen Extrempunkt hat. "Normalerweise" würde die Kurve ein wenig über die X-Achse drüber "schwingen" und dann wieder runter, dann hättest du 2 Schnittpunkte, aber hier berührt die Kurve die X-Achse nur tangential und liefert daher auch nur eine Nullstelle.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ the borg

Ich dachte, ich hätte es schon erklärt, aber vielleicht war es zu kryptisch. Also noch einmal: Ist a eine k-fache Nullstelle von f, so ist a eine (k-1)-fache Nullstelle von f'. Um also die Ordnung einer Zahl a zu bestimmen, muß man a nur in f(x), f'(x), f''(x), f'''(x), ... einsetzen, bis zum ersten Mal nicht mehr 0 herauskommt. Die Ableitung, wo das passiert, legt die Ordnung der Nullstelle fest.

In deinem Beispiel:

f(x) = 0,25x^4 + 0,5x³ - 2x² - 4,5x - 2,25
f'(x) = x³ + 1,5x² - 4x - 4,5
f''(x) = 3x² + 3x - 4

f(-1) = 0,25-0,5-2+4,5-2,25 = 0
f'(-1) = -1+1,5+4-4,5 = 0
f''(-1) = 3-3-4 = -4 ungleich 0 bei der 2. Ableitung

Also ist -1 Nullstelle von f der Ordnung 2.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Ben Sisko
Wenn ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler des absoluten Gliedes.

Du hast wohl das "nur" vergessen. Augenzwinkern


Aber das "nur" wäre nicht richtig. Eine Nullstelle ist immer Teiler des Ablsolutgliedes. Ist nur die Frage, ob diese Erkenntnis bei der Nullstellenfindung hilft. Im Fall, dass das Polynom Koefifizienten in einem Körper hat, sicherlich nicht, denn da ist jedes Körperelement ein Teiler des Absolutgliedes.
Nur im Fall, dass das Polynom Koeffizienten in einem Ring wie z.B. den ganzen Zahlen hätte (und vielleicht sogar noch normiert wäre, wäre das hilfreich.


Dass die Koeffizienten ganzzahlig sein sollten hatte ich mir quasi schon als Voraussetzung gedacht, wie TomBombadil es in seinem Beitrag ja auch schon angegeben hatte. Hätte ich wohl der Klarheit halber auch nochmal schreiben sollen, mein Fehler. Aber ich habe das in der Klammer ja auch nochmal ein bisschen erläutert. Naja, sorry, falls ich jemanden verwirrt habe.

Gruß vom Ben
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Ben Sisko
Wenn ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler des absoluten Gliedes.

Du hast wohl das "nur" vergessen. Augenzwinkern


Aber das "nur" wäre nicht richtig. Eine Nullstelle ist immer Teiler des Ablsolutgliedes.


Beispiel:
.
p(x) hat ganzzahlige Nullstellen. Das Absolutglied ist 1. Ist 2 ein Teiler von 1???

Der Satz mit "nur" ist aber natürlich richtig, denn ein Polynom mit ausschließlich ganzzahligen Nullstellen zerfällt in Linearfaktoren (x - k), mit ganzen Zahlen k. Das Absolutglied eines solchen Polynoms ist dann das Produkt dieser k mit evtl. einem Minuszeichen davor. Und natürlich ist dann jede Nullstelle k ein Teiler des Absolutgliedes.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist 2 ein Teiler der 1 im KÖRPER der rationalen Zahlen!
Teilbarkeit ist abhängig von der Zahlenmenge.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na hör mal. Dann ist ja alles von allem ein Teiler. Außer die Null natürlich. So ist dein Satz ziemlich nutzlos.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich nicht genau das geschrieben? verwirrt Dass die Aussagekraft einer solchen Teilbarkeit für die Nullstellenfindung nichts nützt.

Zitat:

Ist nur die Frage, ob diese Erkenntnis bei der Nullstellenfindung hilft. Im Fall, dass das Polynom Koefifizienten in einem Körper hat, sicherlich nicht, denn da ist jedes Körperelement ein Teiler des Absolutgliedes.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Den zweiten Satz hatte ich überlesen. Sorry.
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