lineare Abbildung

14.10.2008, 15:17	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildung Hallo, ich habe folgende Aufgabe und Lösungsansatz: Aufgabe: Im Vektorraum $\begin{eqnarray} V = \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray}$ der reelen 2x2 Matrizen sei die Basis $\begin{eqnarray} A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Bestimmen die darstellende Matrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} F: V \rightarrow V, F(A)=A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis A1,A2,A3,A4 b)Entscheide ob F diagonalisierbar Lösungsansatz:* a) Ich berechne F(A) für A1,A2,A3,A4 und stelle die sich Ergebenden Matrixen als Koordinatenvektor der Basis aus A1,A2,A3,A4 dar. Für A1 ergibt sich also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit den Koordiantenvektor $\begin{eqnarray} v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A2,A3,A4 analog. Als Abbildungsmatrix(=darstellende Matrix?) erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt das so? ist damit Teil a) erledigt? b) hier hab ich keine Ahnung, bzw. B ist diagonalisierbar, folgt daraus, das F diagonalisierbar ist, wie zeige ich das?
14.10.2008, 15:28	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (a): Ja, das ist richtig so, falls du dich nicht irgendwo verrechnet hast. Genau das ist das Prinzip. Sehr gut. Zu (b): Ja, F ist diagbar genau dann, wenn B diagbar ist. Das solltet ihr als Satz in der Vorlesung gehabt haben. Man kann diesen Zusammenhang auch ganz einfach mit Hilfe eines kommutativen Diagramms einsehen.
14.10.2008, 16:02	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
noch einige Verständissfragen zu a) und noch was zum Verständniss: die Matrix B bildet mir eine beliebige Matrix in Form des Koordinatenvektors entsprechend der Abbildugnsvorschrift ab? die Matrix A in $\begin{eqnarray} F: V \rightarrow V, F(A)=A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige Matrix oder muss dies die Basis sein? woher weis ich/wie kann ich begründen, dass ich meine Ergebnisse so zu den Koordinatenvektoren umschreiben darf? ich rechne ja die Linearkombination von den Basisvektoren aus, um einen anderen Vektor darzustellen. Und diese Vorfaktoren in einem Vektor ergeben immer den Koordinatenvektor? Woher weis ich das dim=4 ist/sein muss? DA V^2x2 und 2x2 = 4?bzw da es vier möglcihketien gibt einen linear unabhängigen Vektor aufzustellen? b) Wie kann ich diesen Zusammenhang als Diagramm zeigen, bzw kommutatives Diagramm sagt mir nichts.
22.10.2008, 20:57	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
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