Folgen/Teilfolgen

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Tomate Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen/Teilfolgen
Es sei a(n) eine Folge reeller Zahlen. Zeige, dass a(n) eine monoton fallende und einen monoton wachsende Teilfolge besitzt.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen/Teilfolgen
Ist das die gesamte Aufgabe?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist so falsch gestellt, wie man an der Folge a(n) = n sieht.
Richtig ist dagegen folgende Aussage:

Es sei a(n) eine Folge reeller Zahlen. Dann besitzt a(n) eine monoton fallende oder eine monoton wachsende Teilfolge.

@Tomate: Ist es das was du zeigen sollst?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man auch endliche Folgen akzeptiert, dann geht's auch mit und.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Endliche Folgen? Und dann hast du als Teilfolge eine Folge von einem Element und die erfüllt ja gleich beides...

Oder meinst du Folgen mit endlichem Wertebereich?

Also ich verstehe unter einer Folge eine Abbildung von N nach R.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, vergiss es. Ich meinte abbrechende Folgen. Aber die sind ja eh blöde. Augenzwinkern
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Was heisst denn abbrechend? Dass die Restfolge konstant ist?

War etwas überrascht von endlichen Folgen zu lesen Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, eine endliche Folge in R ist (für mich) eine Abbildung einer endlichen Teilmange von N in die reellen Zahlen.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, OK. Das Konzept war mir nicht so geläufig Augenzwinkern Aber dann ist die (notwendigerweise auch endliche) Teilfolge ja, auf jeden Fall in diesem Kontext, nicht wirklich interessant, siehe meinen 1. Post.

Gruß vom Ben
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch Leute! In dem Kontext ist doch klar, was mit Folge gemeint ist. Dazu fällt mir nur noch ein: "Ich hätte gerne eine Pizza Funghi, aber bitte ohne Pilze!"
tomate Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist alles qas ich zeigen soll
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Diese monotone Teilfolge kann man nicht durch Betrachten der ersten endlich vielen Folgeglieder bestimmen, man braucht also ein "Orakel", das einem bestimmte Eigenschaften der Folge verrät, z.B. ob es unendlich viele Folgeglieder gibt, die größer als eine vorgegebene Zahl sind, oder ob die Menge der der größeren Folgeglieder ein kleinstes Element hat. Mit diesen beiden "Orakelfragen" konnte ich ein Verfahren angeben, das eine monotone Teilfolge liefert.
Ich überleg mir das noch mal...
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Moin.
Der Beweis läuft zum Beispiel über eine Fallunterscheidung.
Wir nennen m eine Gipfelstelle der Folge (a_n), wenn für n>m stets a_n<a_m bleibt (wenn also alle hinter a_m liegenden Glieder auch unter a_m liegen).

Mache jetzt eine Fallunterscheidung:
Hat eine Folge unendlich viele Gipfelstellen, so ist die Aussage trivial.

Überlege dir nun, was es bedeutet, wenn eine Folge nur endlich viele Gipfelstellen hat (Tipp: es gibt dann eine Zahl n1, die größer ist als alle Gipfelstellen) und wie sich hieraus eine monton wachsende Teilfolge konstruieren lässt.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Mensch Leute! In dem Kontext ist doch klar, was mit Folge gemeint ist. Dazu fällt mir nur noch ein: "Ich hätte gerne eine Pizza Funghi, aber bitte ohne Pilze!"


Na eben deswegen hat es mich ja so erstaunt.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Idee, Philipp!

Darf ich auch meine Lösungsidee posten?

Wir unterscheiden mehrere Fälle:
1. Ist (a_n) nach oben unbeschränkt, dann gibt es eine (sogar streng) monoton wachsende Teilfolge.
2. Ist (a_n) nach unten unbeschränkt, dann gibt es eine (sogar streng) monoton fallende Teilfolge.
3. Ist (a_n) beschränkt, dann hat sie einen Häufungswert a.
3a. Gibt es unendlich viele a_n, die kleiner sind als a, dann gibt es eine (sogar streng) wachsende Teilfolge (die von unten gegen a konvergiert).
3b. Gibt es unendlich viele a_n, die größer sind als a, dann gibt es eine (sogar streng) fallende Teilfolge (die von oben gegen a konvergiert).
3c. Gibt es unendlich viele a_n, die gleich a sind, dann gibt es eine konstante (also sowohl monoton wachsende als auch fallende) Teilfolge.

Die Begründungen der Fälle 1,2,3a,3b kann man auf Begründungen der Fälle 1 und 3a reduzieren. Im Fall 1 existiert die Teilfolge, weil für jede Schranke a_n ein a_m existiert mit m>n, das größer ist als a_n. Im Fall 3a existiert sie, weil für jede Schranke a_n < a ein a_m existiert mit m > n, so dass a_n < a_m < a ist.

Gruss,
SirJective
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Philipp-ER: Viel zu schwierig! Ist die Folge unbeschränkt, dann ist die Behauptung klar, denn dann gibt es eine Teilfolge , so dass monoton steigend ist. Die Folge besitzt unendlich viele positive Werte oder unendlich viele negative Werte. Also gibt es eine Teilfolge von mit nur positiven oder nur negativen Werten. Da monoton steigend war, ist also monoton steigend oder fallend.
Ist die Folge beschränkt, dann gibt es eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß). Sei a der Grenzwert. Es gibt nun entweder unendlich viele Werte mit oder unendlich viele Werte mit . Es gibt also eine Teilfolge von , die nur von einer Seite gegen a konvergiert. Die Konstruktion einer monotonen Teilfolge von ist dann trivial.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi: Naja, ich denke, man kann sich darüber streiten, welcher Weg einfacher ist. Ich kenne es so, dass man mit eben diesem Satz das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß beweist, deshalb wird jenes in dem mir bekannten Beweis auch nicht verwendet.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@SirJective: *lol* Gleiche Zeit - gleiche Idee. Tanzen
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben die Existenz eines Häufungswertes einer beschränkten Folge durch "Löwenjagd" bewiesen.

Dass es dann eine Teilfolge gibt, die gegen den Häufungswert konvergiert, ist leicht zu zeigen.

@WebFritzi: Ja, gleiche Idee smile
velicia Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Nun habe ich die selbe Aufgabe, muss aber erst zeigen, dass es für konvergente Folgen gilt. Wie gehe ich da am besten vor?

Gruß, velicia
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