Beweis bei Mengen

15.10.2008, 18:30

SasDre2000

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Beweis bei Mengen

folgende aufgabe:

(M\N)\(M\P) = M "der Druchschnitt (P\N)

also ich weiß:

das ( $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x kein \in P \end{eqnarray*}$ )\( $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x kein \in N \end{eqnarray*}$ ) ist.

das war es dann auch schon...wie komme ich auf:

M "der Durchschnitt" (P\N)

Das: ( $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x kein \in P \end{eqnarray*}$ )\( $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x kein \in N \end{eqnarray*}$ ) wäre das: (M\N)\(M\P)

warum gibt es eigentlich kein "Durchschnittszeichen"?

Edit (mY+): Titel verunglückt, geändert. Und: Ergebnis

15.10.2008, 19:12

Romaxx

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Zitat:

( $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x kein \in P \end{eqnarray*}$ )\( $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x kein \in N \end{eqnarray*}$ )

Das ist falsch.

Das Durchschnittszeichen existiert.

Deine Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} (M\setminus N)\setminus (M\setminus P)=M\cap (P\setminus N) \end{eqnarray*}$

Du hast eine Gleicheit von Mengen zu beweisen.
Das macht man, indem man zeigt, das jeweils die eine Seite in der anderen enthalten ist.

Fange so an:

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ":

$\begin{eqnarray*} x\in (M\setminus N)\setminus (M\setminus P) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in (M\setminus N)\text{ und } x\notin (M\setminus P) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cdots \end{eqnarray*}$

20.10.2008, 20:25

SasDre2000

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kann man mir das mal genauer erklären/vorrechnen??

Denn ich raff rein garnichts!!!

Danke

20.10.2008, 20:33

Jacques

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Hallo,

Wie wäre es, wenn Du das Startposting einmall überarbeitest und alles sauber aufschreibst? Dann werden sich bestimmt auch mehr Helfer motiviert fühlen.

Denn momentan ist das ein großer Zeichensalat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2008, 20:39

SasDre2000

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Na gut fangen wir mal von vorne an:

M,N,P sind Mengen das is klar. Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} (M\setminus N)\setminus (M\setminus P) = M\cap (P\setminus N) \end{eqnarray*}$

das wäre das eine.

und damit komme ich überhaupt nicht klar.

20.10.2008, 20:50

Jacques

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Einen Ansatz hat Romaxx ja schon gegeben:

Um $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ zu beweisen, zeigt man nacheinander $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ .

D. h. für jedes $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.

Sei x ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray*} (M \setminus N) \setminus (M \setminus P) \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \setminus N\ \wedge\ x \notin M \setminus P \end{eqnarray*}$

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \ \wedge x \notin N \wedge\ (x \notin M\ \vee\ x \in P) \end{eqnarray*}$

...

Und am Ende muss Du bei

$\begin{eqnarray*} x \in M \cap (P \setminus N) \end{eqnarray*}$

landen.

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20.10.2008, 20:56

SasDre2000

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das sagt mir alles nichts...keine ahnung wie ich auf das ergebniss kommen soll...

ahhhhhhhhh Hammer

Hammer

20.10.2008, 21:00

Jacques

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Also ich vermute mal, das ist nicht Dein erster „Mengenbeweis“, denn dafür wäre die Aufgabe wohl zu komplex. Deswegen kann es ja schlecht sein, dass Dir gar nichts etwas sagt.

Was genau ist Dir denn unklar?

20.10.2008, 21:03

SasDre2000

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leider ist es aber der erste..... unglücklich

unglücklich

20.10.2008, 21:08

Wintersun

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Zitat:

Original von Jacques

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \setminus N\ \wedge\ x \notin M \setminus P \end{eqnarray*}$

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \ \wedge x \in N \wedge x \in M \wedge x \notin P \end{eqnarray*}$

Eine kurze Zwischenfrage:

Wenn gilt, dass $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus N \end{eqnarray*}$ , müsste es dann nicht lauten: $\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \notin N \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2008, 21:08

Jacques

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Was genau ist Dir denn unklar? Weißt Du denn grundsätzlich, was zu beweisen ist, was für Mengen Dir vorliegen usw.? Also hast Du eine ungefähre Vorstellung von dem Beweis?

@ Wintersun: Du hast Recht, korrigiere ich gleich...

20.10.2008, 21:13

SasDre2000

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NEEEEEEIN!!!!

naja ich weiß schon was die ganzen zeichen so bedeuten,aber was ich damit anfangen kann is mir noch nicht klar geworden.

vll schreibt ihr mir das einfach mal komplett hin,damit ich sehen kann womit ich
es zu tun habe und mir ein bild machen kann.

20.10.2008, 21:16

Jacques

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Dann schlage ich vor, dass Du die Grundlagen bei Wikipedia oder so nachliest. Und dann mit einem einfacheren Beweis anfängst.

Oder was sollen wir jetzt machen? Ich meine, wir wissen ja gar nicht, was Du jetzt weißt und was nicht.

Zitat:

Original von SasDre2000

vll schreibt ihr mir das einfach mal komplett hin,damit ich sehen kann womit ich
es zu tun habe und mir ein bild machen kann.

Ich bin mir sicher, das würde nicht funktionieren.

20.10.2008, 21:19

Romaxx

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Hast du schon Wahrheitstabellen gehabt?
Damit lässt es sich auch beweisen.

Edit: Diese Folgerung ist noch immer falsch.

Zitat:

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \ \wedge x \notin N \wedge\ x \in M\ \wedge x\ \notin P \end{eqnarray*}$

20.10.2008, 21:24

SasDre2000

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naja wenn ich nur:

$\begin{eqnarray*} (M\setminus N) \end{eqnarray*}$

betrachte weiß ich das, $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ und x nicht in N vorkommt usw,

aber wie ich das dann alles mit einander verknüpfe um auf

$\begin{eqnarray*} M\cap (P\setminus N) \end{eqnarray*}$ komme, bleibt mir ein rätsel.

20.10.2008, 21:25

Saskiaa

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Zitat:

Original von Jacques
Einen Ansatz hat Roman Föll ja schon gegeben:

Um $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ zu beweisen, zeigt man nacheinander $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ .

D. h. für jedes $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.

Sei x ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray*} (M \setminus N) \setminus (M \setminus P) \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \setminus N\ \wedge\ x \notin M \setminus P \end{eqnarray*}$

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x \in M \ \wedge x \notin N \wedge\ x \in M\ \wedge x\ \notin P \end{eqnarray*}$

...

Und am Ende muss Du bei

$\begin{eqnarray*} x \in M \cap (P \setminus N) \end{eqnarray*}$

landen.

Jacques hat dir fast schon alles gezeigt, jetzt könntest du das Distributivgesetz anwenden. Dann wärest du auch so gut wie fertig.

20.10.2008, 21:33

Jacques

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Zitat:

Original von Roman Föll

Edit: Diese Folgerung ist noch immer falsch.

Stimmt.

unglücklich

Es war ja

$\begin{eqnarray*} x \notin M \setminus P \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x \notin M \ \vee\ x \in P \end{eqnarray*}$

20.10.2008, 21:54

Romaxx

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@Saskia

Nicht ganz. Schau dir die Sache nocheinmal an.

@Jacques

Schon besser. Damit kommt man ans Ziel.

@SasDre2000

Du kannst auch Wahrheitstabellen austelllen:
Ergänze einfach Schritt für Schritt die Aussagen.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} x\in M & x\in N & x\in P & x\notin M & x\notin N & x\notin P & x\in M\setminus N\Leftrightarrow x\in M\wedge x\notin N\\\hline w & w & w & .& .& .& .\\w & w & f & .& .& .& .\\w & f & w & .& .& .& .\\w & f & 0 & .& .& .& .\\f & w & f& .& .& .& .\\f & w & w& .& .& .& .\\f & f & f& .& .& .& .\\f & f & w& .& .& .& .\\\end{array} \end{eqnarray*}$

Ansonsten bleibt dir nichts anderes übrig als der Weg, den die schon einige aufgezeigt haben.

21.10.2008, 02:47

WebFritzi

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@SasDre2000: Die folgenden Regeln für Aussagen A, B und C (die du wahrscheinlich noch nicht kennst) bringen dich ans Ziel:

$\begin{eqnarray*} \neg (A\wedge B) \Longleftrightarrow \neg A \vee \neg B, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\wedge (B\vee C) \Longleftrightarrow (A\wedge B) \vee (A\wedge C), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\wedge \neg A) \vee B \Longleftrightarrow B. \end{eqnarray*}$

Dabei sind z.B. $\begin{eqnarray*} x\notin P \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} x\in M\wedge x\notin N \end{eqnarray*}$ Aussagen.

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