Exponentialfunktion

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30.05.2004, 23:36	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion Hey zusammen, ich habe eine Kniffelaufgabe: Ich habe gezeigt, dass $\begin{align} \frac{x^k}{k!} \leq \frac{x^n}{n!}$\frac{1}{2}$^{k-n} \end{align}$ für alle k>=n gilt. Wie folgere ich nun, dass: $\begin{align} 0 \leq exp(x)-\Bigsum_{k=0}^{n-1}~\frac{x^k}{k!} \leq 2\frac{x^n}{n!} \end{align}$ Danke, danke :P
31.05.2004, 00:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du nicht beweisen, weil es falsch ist. Schon die erste Ungleichung kann nicht stimmen. Das Polynom links vom Kleiner-Gleich-Zeichen hat für k>n einen höheren Grad als das Polynom rechts davon. Dann kann die Ungleichung für große x unmöglich gelten.
31.05.2004, 00:18	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Ungleichung habe ich folgendermaßen bewiesen: x^k/k! =x^n/n! * x^(k-n)/((n+1)..(n+n-k)) <=x^n/n! * ((n+1)/2)^(k-n)/((n+1)..(n+n-k)) <=x^n/n! * (1/2)^(k-n) * (n+1)^(k-n)/((n+1)..(n+n-k)) <=x^n/n! * (1/2)^(k-n) Müsste doch stimmen oder nicht?
31.05.2004, 00:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Müßte es nach dem ersten Gleichheitszeichen nicht heißen: ... x^(k-n) / [(n+1)(n+2)···(k-1) k] ?
31.05.2004, 01:30	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und dieser Fehler zieht sich durch. Weiterhin hast du dort angenommen, dass x <= (n+1)/2.
31.05.2004, 17:46	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler behoben, trotzdem noch ne Frage Hallo, ihr hattet Recht, ich hatte in meiner Beweisführung nen Fehler. Bin jetzt dabei, dass ich folgendes weiß: $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^{unendlich}~\frac{x^k}{k!} \leq 2 \end{align}$ Aber wie beweise ich das??
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31.05.2004, 17:51	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
lol Garnicht, denn das ist schon wieder falsch.
31.05.2004, 18:02	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ochje warum das denn? Dabei sitzt ich jetzt schon wieder Stunden dran Gilt nicht: $\begin{align} exp(x) - \Bigsum_{k=0}^{n-1}~ \frac{x^k}{k!}= \Bigsum_{k=n}^{unendlich}~ \frac{x^k}{k!} \end{align}$ und folgt daraus nicht: $\begin{align} \Bigsum_{k=n}^{unendlich}~ \frac{x^k}{k!}= \frac{x^n}{n!} \Bigsum_{k=0}^{unendlich}~ \frac{x^k}{k!}\leq 2\frac{x^n}{n!} \end{align*}$ Und dann mach ich Koeffizientenvergleich. Oder nicht?
31.05.2004, 18:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit wir besser helfen können, solltest du uns sagen, was du eigentlich zeigen willst. Es macht ja auf Dauer keinen Sinn, eine falsche (Un-)Gleichung nach der andern hier hereinzustellen.
31.05.2004, 18:50	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe meinen ersten Beitrag!
31.05.2004, 18:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das, was du zeigen willst, lautet etwas anders geschrieben: 0<= exp(x) - p(x) <= q(x) wobei p,q Polynome sind, p vom Grad n-1 und q vom Grad n. Umgeformt heißt das: p(x) <= exp(x) <= p(x)+q(x) , wobei jetzt rechts ein Polynom vom Grade n steht. Eine solche Ungleichung ist aber falsch, da die Exponentialfunktion für x gegen Unendlich stärker wächst als jedes Polynom. Sie kann also unmöglich durch 2 Polynome eingeschlossen werden. Eine solche Ungleichung kann höchstens für x aus einem gewissen Intervall gelten. Dann mußt du uns das aber mitteilen, welches Intervall du betrachtest. Sonst ist alles zwecklos.
31.05.2004, 19:06	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, sorry mein Fehler. $\begin{align} n \in \calN, x \in \[0, \frac{n+1}{2} \] \end{align}$
31.05.2004, 19:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} e^x - \Bigsum_{k=0}^{n-1}~\frac{x^k}{k!} \ = \ \Bigsum_{k=n}^{\infty}~\frac{x^k}{k!} \end{align}$ sicher >=0 für x aus dem angegebenen Intervall, da die Summe rechts nur Summanden >=0 enthält. Und jetzt kannst du weiter rechnen: $\begin{align} \Bigsum_{k=n}^{\infty}~\frac{x^k}{k!} \ = \ \frac{x^n}{n!} \Bigsum_{k=n}^{\infty}~\frac{n!x^{k-n}}{k!} \ = \ \frac{x^n}{n!} \Bigsum_{k=0}^{\infty}~\frac{n!x^k}{(n+k)!} \end{align}$ In der letzten Summe kannst du x durch (n+1)/2 nach oben abschätzen und im Quotienten n!/(n+k)! kannst du durch n! kürzen und was im Nenner dann noch übrig bleibt durch den kleinsten Faktor n+1 abschätzen; insgesamt: n!/(n+k)! <= 1/(n+1)^k. Und dann bekommst du eine geometrische Reihe mit Wert 2.
31.05.2004, 20:34	mystix01	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön

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