Vektoren

16.10.2008, 16:25

Sandra45

Vektoren

Hallo,

habe folgende Aufgabe zu lösen:

A=(0;0),B=(5;1),C=(2;6) seien die Eckpunkte eines Dreiecks. M sei der Mittelpunkt der Seite AC, N liege auf BC und teile die Strecken im Verhältnis BN : NC = 2 : 3. Die Gerade durch M und N schneide die Gerade durch A und B in X.
Berechnen Sie mit Hilfe der Vektoren AB = b und AC = c den Vektor x = AX.

Mir ist eine Lösung eingefallen in dem ich die zwei Geraden in Parameterform darstelle und sie gleichsetze => X.
Nun kommt aber der Haken an der Sache die Lösung wird nicht anerkannt.

Die Aufgabe soll mit Ortsvektoren lösbar sein!!!
Überlegt hab ich mir folgendes: Da A im Ursprung liegt sind b und c die Ortsvektoren von B und C, gesucht wird folglich der Ortsvektor x zu X.
Weiter bin ich nach der Anfertigung einer Skizze und 4 Stunden noch nicht !!!!

Kann mir bitte jemand helfen ????

16.10.2008, 18:36

mYthos

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Auch wenn du nicht rot und fett schreibst, wird dir geholfen werden ...

Ich gebe dir zunächst mal einen Lösungsweg an, rechnen musst du jedoch selber. Natürlich kannst du dann im Verlauf noch weiter fragen.

Wir treffen folgende Vereinbarungen:
b, c, m, n und x bezeichnen Vektoren
s und t sind Parameter (Zahlen)

Dann ist:
Ortsvektor zu M: AM = m = c/2
Ortsvektor zu N: AN = n

Aus AN = n = b + (2/5)(c - b) folgt n = ..., dann MN = ....

Nun setze AX = x = s*b, MX = t*MN

Aus dem geschlossenen Vektorzug im Dreieck AXM folgt die Vektorgleichung

AX - MX - c/2 = 0

Setze die angenommenen Werte für AX, MX ein und benütze die lineare Unabhängigkeit der Vektoren b und c. Daraus gewinnen wir 2 Gleichungen in s und t. Wenn wir s errechnet haben, steht auch das Resultat für x = s*b fest.

[attach]8886[/attach]

Bemerkung: Die Ermittlung der Parameter s und t ist unumgänglich, dieser Vorgang ist praktisch ident mit dem zum Schnitt bringen der beiden Geraden. Allerdings kann diese Rechnung allgemein und komplett ohne Koordinaten zu Ende geführt werden, das ist der Unterschied zur konventionellen analytischen Methode.

mY+

16.10.2008, 22:13

Sandra45

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Vektoren
@ mYthos,

erst mal Danke für die schnelle Hilfe !
Werde es mir merken und nicht mehr rot und fett schreiben.

Hab alles soweit verstanden bis zu der Zeile:

Zitat:

Setze die angenommenen Werte für AX, MX ein und benütze die lineare Unabhängigkeit der Vektoren b und c. Daraus gewinnen wir 2 Gleichungen in s und t. Wenn wir s errechnet haben, steht auch das Resultat für x = s*b fest.

( Annahme MN = a )
die Gleichung: AX - MX - c/2 = 0 müsste eingesetzt also so aussehen: s*b - t*a - c/2 = 0 richtig ?

Dass die Vektoren b und c linear Unabhängig sind ist mir klar, es
müsste also gelten w*b + v*c = 0 (w und v Parameter)

So jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

Kannst du mir bitte nochmal helfen ?

16.10.2008, 22:53

mYthos

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RE: Vektoren

Zitat:

Original von Sandra45
...
( Annahme MN = a )
die Gleichung: AX - MX - c/2 = 0 müsste eingesetzt also so aussehen: s*b - t*a - c/2 = 0 richtig ?
...

Das ist richtig. Nun musst du für a = MN einsetzen, hast du MN schon berechnet?

Zitat:

...
Dass die Vektoren b und c linear Unabhängig sind ist mir klar, es
müsste also gelten w*b + v*c = 0 (w und v Parameter)
...
Kannst du mir bitte nochmal helfen ?

Auch das stimmt. Die Rolle des w bzw. v übernehmen nun die Terme in s und t, nachdem die Vektoren b und c ausgeklammert wurden. Durch das Nullsetzen (warum?) dieser Faktoren erhalten wir dann sofort und auch einfach die Werte für s und t.

Es wäre schön, wenn du diese noch zum Abschluss angibst, damit das Resultat verifiziert werden kann und die Aufgabe einen Abschluss hat.

mY+

P.S.: Hier wird immer so lange geholfen, bis die Aufgabe komplett ist und der/die Fragende natürlich auch Interesse zeigt.

17.10.2008, 00:58

sandra45

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Re Vektor
@ mYthos

Nun als mal mein Rechenweg:
AM= m=c/2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
AN = n= b+ (2/5)(c-b) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \frac{2}{5}\begin{pmatrix} 2-5 \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{19}{5} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

MN = AN - AM = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{19}{5} \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

MN ist also parallel zur x-Achse ?

$\begin{eqnarray*} s*b - t*a - c/2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} - t*\begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gleichungssystem:
5s - 14/5t -1 = 0
s -3 = 0

=>

$\begin{eqnarray*} s = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 3*b = 3\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hoffe mal das dass alles so richtig ist ?
Das mit dem Nullsetzen hab ich noch nicht ganz begriffen.

17.10.2008, 01:37

mYthos

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Du sollst es eigentlich nicht mit den Koordinaten rechnen, sondern allgemein mit den Vektoren, auch wenn dein Ergebnis richtig ist!

Damit kommt also: [Schreibfehler editiert]

[ $\begin{eqnarray*} n = \frac{3}{5} \cdot b + \frac{2}{5} \cdot c \ ; \ MN = \frac{3}{5} \cdot b - \frac{1}{10} \cdot c \end{eqnarray*}$ ]

$\begin{eqnarray*} s \cdot b - t \cdot MN - \frac{c}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s \cdot b - t \cdot (\frac{3b}{5} - \frac{c}{10}) = \frac{c}{2} \ \ \ | \ \cdot 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5 \cdot c = 10s \cdot b - 6t \cdot b + t \cdot c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \cdot (t-5) + 2b \cdot (5s - 3t) = 0 \end{eqnarray*}$

In dieser Relation müssen alle Faktoren vor den beiden Vektoren b und c Null sein, weil b, c linear unabhängig sind, und daher zwischen ihnen nur die triviale Relation bestehen kann.
->
t - 5 = 0 und 5s - 3t = 0, woraus t = 5 und s = 3 folgt. Somit ist x = 3*b und für b können schließlich die gegebenen Koordinaten eingesetzt werden.

mY+

17.10.2008, 11:47

Sandra 45

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@ mYthos

nochmal Danke für die Hilfe !

Hab jetzt alles verstanden, hätte mir viel Zeit erspart wenn ich allgemein mit Vektoren gerechnet hätte der Formeleditor ist doch recht mühsam zu bedienen. war gestern wohl doch ein bisschen spät .

17.10.2008, 12:50

oerny

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@mYthos

Zitat:

Original von mYthos

[ $\begin{eqnarray*} n = (\frac{3}{5} \cdot b + \frac{2}{5} \cdot c - \frac{1}{2} \cdot c \ ; \ MN = \frac{3}{5} \cdot b - \frac{1}{10} \cdot c \end{eqnarray*}$ ]

kann es sein das du dich vertippt hast, oder täusche ich mich, müsste doch heißen:

$\begin{eqnarray*} n=\frac{3}{5}\cdot b+\frac{2}{5}\cdot c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} MN = n - \frac{1}{2}\cdot c =\frac{3}{5}\cdot b+\frac{2}{5}\cdot c-\frac{1}{2} = \frac{3}{5}\cdot b-\frac{1}{10}\cdot c \end{eqnarray*}$

oder mach ich ein denkfehler?

17.10.2008, 16:59

mYthos

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Ja, sicher, ist nur ein Schreibfehler bei n, die c/2 gehören dort weg, MN stimmt doch wieder und auch das Endergebnis. Ich werd' das natürlich editieren. THX.
Schau mal auf die Zeit, wann ich das geschrieben habe, da war ich schon halb in Agonie .. Big Laugh

mY+

17.10.2008, 17:17

oerny

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Alles klar, ist mir nur aufgefallen, deswegen hab ichs geschreiben!

aber zu der Uhrzeit sind jegliche Tippfehler verständlich Augenzwinkern

und solange es nur halb in Agonie war Augenzwinkern

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