ganz spezieller Schnittpunkt

17.10.2008, 01:45

zeusosc

ganz spezieller Schnittpunkt

Hallo,
ich denke das die Lösung dieses speziellen Problems algebraischer Natur ist, deswegen habe ich dieses hier geposted.

Leider finde ich in den folgenden Überlegungen und Rechnungen meinen Fehler nicht. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.

Ich habe drei Kreise, gesucht ist ein gemeinsamer Schnittpunkt.
Dabei sind die Radien der zwo letzten Kreise ein bischen Größer als der erste.

$\begin{eqnarray*} \text{I: }(S_1-x_1)^2+(S_2-x_2)^2=r_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{II: }(S_1-m_1)^2+(S_2-m_2)^2=(r_1+r_2)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{III:}(S_1-q_1)^2+(S_2-q_2)^2=(r_1+r_3)^2 \end{eqnarray*}$

Bekannt sind die Mittelpunkte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,m_1,m_2,q_1,q_2 \end{eqnarray*}$ sowie
die Radien $\begin{eqnarray*} r_2,r_3 \end{eqnarray*}$ .

D.h.: Es sollte sich für spezielle $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ein gemeinsamer Schnittpunkt ergeben, $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ist aber leider unbekannt.

Bilde ich zuerst mal die Schnittgeraden:
$\begin{eqnarray*} \text{I: }(S_1-x_1)^2+(S_2-x_2)^2=r_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{II-I: } S_1(x_1-m_1)+S_2(m_2-x_2)=2r_1r_2+r_2^2+x_1^2+x_2^2-m_1^2-m_2^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{III-I: } S_1(x_1-q_1)+S_2(q_2-x_2)=2r_1r_3+r_3^2+x_1^2+x_2^2-q_1^2-q_2^2 \end{eqnarray*}$

Wenn die Schnittgeraden nicht gerade Parallel sind, so Schneiden die sich auch, dieses ist durch entsprechende Wahl der Mittelpunkte gwährleistet, denn diese wurden so ausgewählt das
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\begin{pmatrix}x_1-m_1\\x_2-m_2\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}x_1-q_1\\x_2-q_2\end{pmatrix}=0\Leftrightarrow \lambda_i=0\forall i \end{eqnarray*}$

Wenn weiter die Drei Kreise einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, dann liegt auch der Schnitt der Schnittgeraden auf diesem. Es ist also folgendes
Gleichungsystem zu Lösen:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{matrix}x_1-m_1 &m_2-x_2\\x_1-q_1& q_2-x_2\end{matrix}\right)\begin{pmatrix}S_1\\S_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2r_1r_2+r_2^2+x_1^2+x_2^2-m_1^2-m_2^2\\2r_1r_3+r_3^2+x_1^2+x_2^2-q_1^2-q_2^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aus zuverlässiger quelle das $\begin{eqnarray*} m_1=x_1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S_2=\frac{2r_1r_2+r_2^2+x_1^2+x_2^2-m_1^2-m_2^2}{m_2-x_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S_1(x_1-q_1)=2r_1r_3+r_3^2+x_1^2+x_2^2-q_1^2-q_2^2-\frac{2r_1r_2+r_2^2+x_1^2+x_2^2-m_1^2-m_2^2}{m_2-x_2}\cdot (q_2-x_2) \end{eqnarray*}$

Vereinfachen wir die Ausdrücke ein wenig:
$\begin{eqnarray*} S_2(r_1)=r_1\frac{2r_2}{m_2-x_2}+\frac{r_2^2+x_1^2+x_2^2-m_1^2-m_2^2}{m_2-x_2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2(r_1)=r_1b_1+b_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_1(r_1)=r_1\frac{2r_3(m_2-x_2)+2r_2(x_2-q_2)}{(m_2-x_2)(x_1-q_1)}+\frac{(m_2-x_2)(r_3^2+x_1^2+x_2^2-q_1^2-q_2^2)+(q_2-x_2)(r_2^2+x_1^2+x_2^2-m_1^2-m_2^2)}{(m_2-x_2)(x_1-q_1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_1(r_1)=r_1c_1+c_2 \end{eqnarray*}$

Hier ist also der Schnittpunkt der Schnittgeraden der Kreise in abhängigkeit des Radius $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ .
Wählt man beliebige Werte für diesen aus, so erhält man mehrere Punkte die ebenfalls auf einer Geraden liegen. Sozusagen die Schnittgerade der Schnittgeraden der drei Kreise.

Dieser Schnittpunkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} (S_1(r_1),S_2(r_1)) \end{eqnarray*}$ muss aber, wie oben schon erwähnt, auch auf einem der Kreise liegen. Ich setze diesen also in Gleichung $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein:
$\begin{eqnarray*} (S_1(r_1)-x_1)^2+(S_2(r_1)-x_2)^2=r_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (r_1c_1+(c_2-x_1))^2+(r_1b_1+(b_2-x_2))^2=r_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r_1^2\underbrace{(b_1^2+c_1^2-1)}_{=:Q_1}+r_1\underbrace{(2c_1(c2-x_1)+2b_1(b_2-x_2))}_{=:Q_2}+\underbrace{(c_2-x_1)^2+(b_2-x_2)^2}_{=:Q_3}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r_1=-\frac{Q_2}{2Q_1} \pm \sqrt{\frac{Q_2^2}{4Q_1^2}-\frac{Q_3}{Q_1}} \end{eqnarray*}$

Resüme:
Ich habe aus den drei Kreisgleichungen zwo Geradengleichungen erstellt. Diese sind die Schnittgeraden von jeweils zwei der drei Kreise.
Weiter habe ich mit einem LGS den Schnittpunkt der Schnittgeraden errechnet.
Der Schnittpunkt der Schnittgeraden ist abhängig von der Wahl des Radius $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn sich alle drei Kreise in einem Punkt schneiden(oder berühren), so schneiden sich auch die Schnittgeraden an diesem Punkt.

Also muss dieser Schnittpunkt auch einer der Kreisgleichungen erfüllen.
Diese ist für spezielle Radien $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ erfüllt, deshalb wurde die erste Kreisgleichung nach den Radius umgestellt.

Das Problem ist nun, die Lösungen stimmt nicht.
Wo ist mein fehler??

Seid gegrüßt

17.10.2008, 09:10

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ganz spezieller Schnittpunkt
Ich verschieb das mal in die Geometrie. Stör dich nicht daran, dass das Forum zur Schulmathe zählt, aber unsere Geometer lauern da auch auf solche Probleme. Augenzwinkern

17.10.2008, 15:43

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann werde ich mich nicht daran stören Augenzwinkern

Ich sollte vlt noch dazu sagen, das ein direkter vergleich des Schnittpunktes zweier Kreise und der schnittpunkt der schnittgeraden, per iteration über r_1, die korrekte Lösung liefert. Also das problem Numerisch zu lösen ist.

Ein direktes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_1 \\ m_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}q_1 \\ q_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_2=1.19985\,\,\, r_3=1.39707 \end{eqnarray*}$

Vergrößert man also nun $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und sucht den minimalen Abstand zwischen
Schnittpunkt der Schnittgeraden und zweier Kreise, so wird die
Annähernde Lösung von
$\begin{eqnarray*} r_1=49.4065 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} S_1\\S_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}39.6747\\29.7561\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}40\\30\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gegeben.

Dies ist auch die korrekte Lösung.
Ich würde gerne aber eine Lösung Algebraischer form haben.

MfG und Dank

19.10.2008, 12:46

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

damit man nicht im chaos der indizes etc. versinkt, habe ich zuerst auf folgendes transformiert - was ja kein problem ist:

$\begin{eqnarray*} K_1(0/0/R)\quad{ }K_2(t/0/R+r_2)\quad{ }K_3(m/n/R+r_3) \end{eqnarray*}$

dann bekommst du eine hübsche quadratische gleichung in dem gesuchten $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{t^2-r^2_2}{2t}\quad{ }b=\frac{r_2}{t}\quad{ }x_S=a-b\cdot R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2}(m^2+n^2-r^2_3-2a\cdot m)\quad{ }d=b\cdot m-r_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=d^2-n^2\cdot (1-b^2)\quad{ }B=c\cdot d-2\cdot a\cdot b\cdot n^2\quad{ }C=c^2+a^2\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-A\cdot C}}{A} \end{eqnarray*}$

mit deinem beispiel und $\begin{eqnarray*} r_2=1,199846\quad{ }r_3=1,397066 \end{eqnarray*}$

bekommt man

$\begin{eqnarray*} R=49,406477\quad{ }S(40.000000/30.000000) \end{eqnarray*}$

natürlich kannst du dir die trafo sparen und noch längere würste produzieren smile

19.10.2008, 14:58

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht auf den ersten blick super aus Big Laugh

Ich werde es heute abend nochmal durchgehen,.. danke schon mal smile

MfG Zeusosc

19.10.2008, 22:12

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi riwe,

Ich verstehe zwo sachen nicht:

A) wieso hat der Kreis 1 den mittelpunkt im Ursprung?
B) wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} c=1/2(m^2+ \cdots \end{eqnarray*}$

Wär nett wenn Du mich ein bissl entwirren könntest,.. smile

MfG

19.10.2008, 22:42

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zeusosc
Hi riwe,

Ich verstehe zwo sachen nicht:

A) wieso hat der Kreis 1 den mittelpunkt im Ursprung?
B) wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} c=1/2(m^2+ \cdots \end{eqnarray*}$

Wär nett wenn Du mich ein bissl entwirren könntest,.. smile

MfG

zu A) steht doch oben unglücklich

ich habe eine entsprechende koordinatentransformation durchgeführt -
translation und anschließende drehung, um weniger müll mitschleppen zu müssen. am schluß muß man natürlich rücktransformieren.

zu B) dieser ausdruck, oder dieser (konstante) teil $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ergibt sich, wenn man die koordinaten des schnittpunktes von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K_3 \end{eqnarray*}$ einsetzt.
so wie bei dir halt die diversen Q

19.10.2008, 22:58

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Super,..
das mit der koTrafo hatte ich wohl überlesen,. sry,..

Danke für die xls,...

Du hast mir sehr weitergeholfen Big Laugh

MfG ZeuSOsC

Neue Frage »

Antworten »

ganz spezieller Schnittpunkt

Verwandte Themen