Menge der Punkte einer Geraden

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134134 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der Punkte einer Geraden
Hallo,

sei die Gaußsche Zahlenebene. Für zwei verschiedene Punkte beweise, dass



die Menge der Punkte auf der Geraden durch und beschreibt. Zeige, dass jeder Punkt aus auf der Geraden liegt und dass jeder Punkt der Geraden in der Menge liegt.

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Meine Idee war, zunächst für die eine Richtung die Punkte und quasi in die Ausgangsgleichung einzusetzen und das dann versuchsweise auf eine Geradengleichung zurückzuführen, allerdings klappt das bisher nicht richtig. Gibt's hier vielleicht einen einfachereren Weg oder jemand einen anderen Tipp?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ist einfacher, als man denkt. Die Punkte in der Gauss'schen Zahlenebene können mittels deren Ortsvektoren (vom Mittelpunkt aus) erreicht werden. Somit sind das die Vektoren und zu den Punkten W und Z. Der Differenzvektor liegt demnach auf der Geraden durch W und Z. Addieren wir zu dem Vektor (zum Anfangspunkt W) alle möglichen Vielfache (Multiplikator ist die reelle Zahl t) von , so erreichen wir damit jeden Punkt G dieser Geraden.



Forme noch ein wenig um, und du erreichst die Gleichung in der Angabe.

mY+
134134 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, danke, aber wir sollen das leider wirklich dem Hinweis ("Zeige, dass jeder Punkt aus auf der Geraden liegt und dass jeder Punkt der Geraden in der Menge liegt") entsprechend durchführen. D.h. wohl, dass man um die kompexen Zahlen nicht herum kommt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So sehe ich das nicht, denn jeder komplexen Zahl ist in der komplexen Zahlenebene eineindeutig ein Vektor zugeordnet. Und die zu beweisende Aussage spricht ja auch von den geometrischen Elementen Punkt und Gerade, daher kann man den Beweis so wie angegeben führen.
Wenn du dies mit den Real- und Imaginärteilen der komplexen Zahlen durchführen willst, kannst du dies analog für die reelle und komplexe Richtung getrennt zeigen.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ganze steht und fällt damit, was 134134 als Definition einer Geraden zugrunde legen darf. Und diese Definition ist schlicht für die gegebene Menge zu überprüfen. Solange die Definition nicht bekannt ist, sind unsere Hilfen zwecklos.
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