Mengenabbildung

18.10.2008, 12:45	Martin15	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenabbildung Sei $\begin{eqnarray} f: X\mapsto Y \end{eqnarray}$ eine Abbildung. a) Für Teilmengen $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(X_1\cup X_2)=f(X_1)\cup f(X_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(X_1\cap X_2)\subseteq f(X_1)\cap f(X_2) \end{eqnarray}$ . Beweis: " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} y\in f(X_1\cup X_2) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in X_1\cup X_2 \end{eqnarray}$ 1.Fall: $\begin{eqnarray} x\in X_1\Rightarrow f(x)\in f(X_1)\Rightarrow f(x)\in f(X_1)\cup f(X_2) \end{eqnarray}$ 2.Fall: $\begin{eqnarray} x\in X_2\Rightarrow f(x)\in f(X_2)\Rightarrow f(x)\in f(X_1)\cup f(X_2) \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} y\in f(X_1)\cup f(X_2) \end{eqnarray}$ . 1.Fall: $\begin{eqnarray} y\in f(X_1)\Rightarrow y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in X_1\subseteq X_1\cup X_2\Rightarrow y\in f(X_1\cup X_2) \end{eqnarray}$ 2.Fall: $\begin{eqnarray} y\in f(X_2)\Rightarrow y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in X_2\subseteq X_1\cup X_2\Rightarrow y\in f(X_1\cup X_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(X_1\cap X_2)\subseteq f(X_1)\cap f(X_2) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} y\in f(X_1\cap X_2) \end{eqnarray}$ , d.h $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in X_1\cap X_2\Rightarrow x\in X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in X_2\Rightarrow y\in f(X_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\in f(X_2)\Rightarrow y\in f(X_1)\cap f(X_2) \end{eqnarray}$ Das war Teilaufgabe a, ist das so richtig gelöst?
18.10.2008, 13:21	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht richtig aus.
18.10.2008, 14:06	Martin15	Auf diesen Beitrag antworten »
Coool, danke b) Für Teilmengen $\begin{eqnarray} Y_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Y_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y_1\cup Y_2)=f^{-1}(Y_1)\cup f^{-1}(Y_2) \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} x\in f^{-1}(Y_1\cup Y_2) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in Y_1\cup Y_2 \end{eqnarray}$ . 1.Fall $\begin{eqnarray} y\in Y_1\Rightarrow x\in f^{-1}(Y_1)\Rightarrow x\in f^{-1}(Y_1)\cup f^{-1}(Y_2) \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} y\in Y_2 \Rightarrow x\in f^{-1}(Y_2)\Rightarrow x\in f^{-1}(Y_1)\cup f^{-2}(Y_2) \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} x\in f^{-1}(Y_1)\cup f^{-1}(Y_2) \end{eqnarray}$ 1.Fall: $\begin{eqnarray} x\in f^{-1}(Y_1) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in Y_1\subseteq Y_1\cup Y_2 \Rightarrow x\in f^{-1}(Y_1\cup Y_2) \end{eqnarray}$ 2.Fall: $\begin{eqnarray} x\in f^{-1}(Y_2) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in Y_2\subseteq Y_1\cup Y_2 \Rightarrow x\in f^{-1}(Y_1\cup Y_2) \end{eqnarray}$ Was meint ihr dazu?
18.10.2008, 15:49	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste auch stimmen.
18.10.2008, 16:28	Martin15	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Das freut mich, nun wirds aber zum ersten Mal für mich kompliziert. c) In a) gilt $\begin{eqnarray} f(X_1\cap X_2)=f(X_1)\cap f(X_2) \end{eqnarray}$ genau dann für alle $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv ist. Sei $\begin{eqnarray} y\in f(X_1)\cap f(X_2)\Rightarrow f(x)\in f(X_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)\in f(X_2)\Rightarrow x\in X_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=f(X_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in X_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=f(X_2) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv ist gilt: $\begin{eqnarray} x=x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=x_2 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} y\in f(X_1\cap X_2) \end{eqnarray}$
18.10.2008, 17:43	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst gerade " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " zeigen: $\begin{eqnarray} \dots\Rightarrow f(x)\in f(X_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)\in f(X_2)\Rightarrow \dots \end{eqnarray}$ hier musst du schon eine Unterscheidung treffen, und zwar, dass $\begin{eqnarray} f(x_1)=y\in f(X_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x_2)=y\in f(X_2) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} x_1\in X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2\in X_2 \end{eqnarray}$ . Erst mit der Argumentation $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv zeigen wir, dass $\begin{eqnarray} x_1=x_2 \end{eqnarray}$ und damit, dass der Schnitt $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ enthält, nämlich gerade $\begin{eqnarray} x=x_1=x_2 \end{eqnarray}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray} y=f(x)\in f(X_1\cap X_2) \end{eqnarray}$ .
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18.10.2008, 17:59	Martin15	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, kann es nachvollziehen.
02.11.2011, 10:25	-Lina-	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenabbildung Hallo =) Ich hab diese Beiträge gefunden, weil ich grade einen ähnlichen Beweis führen soll wie in c). Und ich dummerweise auch keine Ahnung hab wie ich das machen soll. Meine Gleichung ist die selbe wie in Aufgabe c), nur das ich nicht gegeben habe das f injektiv ist und ich beweisen soll das diese Gleichung im Allgemeinen eben NICHT gilt. Ich wär super glücklich wenn mir jemand helfen könnte! Lg Lina

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