Vereinfachung/Gleichungen

18.10.2008, 17:37

lotrosonic

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Vereinfachung/Gleichungen

Hallo erstmal an alle Wink

Wink

Wir haben einige Aufgaben zur Wiederholung aufbekommen und nun habe Ich bei einigen ganz schöne Probleme,da es schon einige Jahre her ist unglücklich

unglücklich

Aufgabe lautet:

1.)
Vereinfachen Sie,so weit wie möglich.

a.) $\begin{eqnarray*} \frac{(81a²+54ab+9b²)}{(9b²-81a²)} \end{eqnarray*}$

Binomische Formel zurückangewandt...aber dann weiß ich nicht weiter.

b.) $\begin{eqnarray*} 5(a-b)^{2k-2}* \frac {9}{5}(b-a)^{7-2k}*\frac {2}{3}(b-a)^{2k-5} \end{eqnarray*}$

Leider gar keine Ahnung...

2.)

Überprüfen Sie,ob die Gleichungen wahr sind.

a.) $\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1}+\frac {2x+4}{1-x}+\frac {2x-9}{x²-1}=\frac {12+x}{1-x²} \end{eqnarray*}$

Gemeinsamer Nenner?Auf beiden Seiten?

b.) $\begin{eqnarray*} (x+4b)(x+3a+6b)-3b(x+10b)=x(3a+7b+x)-b(b-12a) \end{eqnarray*}$

Hier kam Ich auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} x²+3ax+7bx+12ab-6b²=x²+12 ab+3ax+7bx-b² \end{eqnarray*}$

Nunja,wäre eben nicht gleich,aber:

Muß ich weiter rechen oder genügt bereits dieser Ausdruck bzw. wie könnte man weiterrechen?

Vielen vielen Dank schonmal im voraus Freude

Freude

18.10.2008, 17:48

Q-fLaDeN

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RE: Vereinfachung/Gleichungen

Zitat:

Original von lotrosonic
a.) $\begin{eqnarray*} \frac{(81a²+54ab+9b²)}{(9b²-81a²)} \end{eqnarray*}$

Binomische Formel zurückangewandt...aber dann weiß ich nicht weiter.

Dann mach das mit den binomischen Formeln doch mal, dann sehen wir weiter.

Zitat:

Original von lotrosonic
b.) $\begin{eqnarray*} 5(a-b)^{2k-2}* \frac {9}{5}(b-a)^{7-2k}*\frac {2}{3}(b-a)^{2k-5} \end{eqnarray*}$

Leider gar keine Ahnung...

Hier sollten die Potenzgesetze helfen:

$\begin{eqnarray*} (a^b)^c = a^{b \cdot c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^b \cdot a^c=a^{b+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von lotrosonic
2.)

Überprüfen Sie,ob die Gleichungen wahr sind.

a.) $\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1}+\frac {2x+4}{1-x}+\frac {2x-9}{x²-1}=\frac {12+x}{1-x²} \end{eqnarray*}$

Gemeinsamer Nenner?Auf beiden Seiten?

Richtig. Das darfst du auch gerne mal ausprobieren, bevor du frägst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lotrosonic
b.) $\begin{eqnarray*} (x+4b)(x+3a+6b)-3b(x+10b)=x(3a+7b+x)-b(b-12a) \end{eqnarray*}$

Hier kam Ich auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} x²+3ax+7bx+12ab-6b²=x²+12 ab+3ax+7bx-b² \end{eqnarray*}$

Nunja,wäre eben nicht gleich,aber:

Muß ich weiter rechen oder genügt bereits dieser Ausdruck bzw. wie könnte man weiterrechen?

Ja soweit ist das richtig. Aber versuche mal weiter umzustellen, daraus kann man noch nicht sofort schließen, dass das falsch ist.

Grüße

18.10.2008, 18:44

lotrosonic

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RE: Vereinfachung/Gleichungen
Hallo Q-Fladen.
Danke schonmal für deine Antworten.

Also zu 1.a.)

$\begin{eqnarray*} \frac {(9a+3b)²}{(3b+9a)(3b-9a)} \end{eqnarray*}$

Kann man denn hier einfach so kürzen,ergo

$\begin{eqnarray*} \frac {(9a+3b)}{(3b-9a)} \end{eqnarray*}$

?

Denke eher nicht,aber wie weiter?Polynomdivision?

zu 1.b.)

$\begin{eqnarray*} 5(a-b)^{2k-2}*\frac {6}{5}(b-a)^2 \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal korrekt?

zu 2.a.)

Daran werkel ich noch

zu 2.b.)

$\begin{eqnarray*} x²+3ax+7bx+12ab-6b²=x²+12 ab+3ax+7bx-b² \end{eqnarray*}$

|- x²
|- 3ax
|- 7bx
|- 12ab

ergibt

$\begin{eqnarray*} -6b² = b² \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

18.10.2008, 18:52

Q-fLaDeN

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RE: Vereinfachung/Gleichungen

Zitat:

Original von lotrosonic
Also zu 1.a.)

$\begin{eqnarray*} \frac {(9a+3b)²}{(3b+9a)(3b-9a)} \end{eqnarray*}$

Kann man denn hier einfach so kürzen,ergo

$\begin{eqnarray*} \frac {(9a+3b)}{(3b-9a)} \end{eqnarray*}$

?

Denke eher nicht,aber wie weiter?Polynomdivision?

Doch das darfst du. Denn du hast sowohl im Zähler, als auch im Nenner Produkte stehen. Und Produkte darf man bekanntlich kürzen. Du kannst jetzt nochwas ausklammern und kürzen, ich denke es dürfte nicht zu schwer sein, herauszufinden, was du ausklammern kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lotrosonic
zu 1.b.)

$\begin{eqnarray*} 5(a-b)^{2k-2}*\frac {6}{5}(b-a)^2 \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal korrekt?

Ja bis hierin ists richtig Freude

Freude

Du musst dir das jetzt so denken:
$\begin{eqnarray*} 5 \cdot \frac{6}{5} \cdot (a-b)^{2k-2} \cdot (b-a)^2 \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du noch zusammenfassen. Danach bastelst du nochmal am Rest ein wenig rum Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lotrosonic
zu 2.b.)

$\begin{eqnarray*} x²+3ax+7bx+12ab-6b²=x²+12 ab+3ax+7bx-b² \end{eqnarray*}$

|- x²
|- 3ax
|- 7bx
|- 12ab

ergibt

$\begin{eqnarray*} -6b² = b² \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Nein nicht ganz, auf der rechten Seite müsste -b^2 stehen. Aber du kannst das ganze noch ein wenig vereinfachen bzw. auflösen.

18.10.2008, 19:24

lotrosonic

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RE: Vereinfachung/Gleichungen
zu 2.b.)

Erweitert und zusammengerechnet,sowie gekürzt komme Ich auf

x² = $\begin{eqnarray*} \frac {3}{5} \end{eqnarray*}$

davon die Wurzel und als Probe einsetzen?

18.10.2008, 19:44

lotrosonic

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RE: Vereinfachung/Gleichungen
zu 1.a.)

$\begin{eqnarray*} \frac {(3a+b)}{(b-3a)} \end{eqnarray*}$

zu 1.b.)

$\begin{eqnarray*} (6a-6b)^{2k-2}(6b-6a)² \end{eqnarray*}$

Da nun unterschiedliche Basis und unterschiedliche Exp.gehts nicht weiter?

zu 2.a.)

Stimmt,Schreibfehler:

$\begin{eqnarray*} -6b²=- b² \end{eqnarray*}$

| + b²

$\begin{eqnarray*} -5b²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ oder steckt hier jetzt ein Denkfehler drin?

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18.10.2008, 19:50

Q-fLaDeN

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Also ich komme nach ewigen rumrechnen auf $\begin{eqnarray*} x=-\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

1a) ist richtig. Weiter vereinfachen kann man den Ausdruck nicht. Man darf nur noch die Klammern weglassen Big Laugh

Big Laugh

Zu 1b)
Nein, bitte nicht die 6 in die Klammern rein multiplizieren, das wäre völlig falsch.

Lass die 6 vorne stehen und schreibe $\begin{eqnarray*} (a-b)^{2k-2} \end{eqnarray*}$ mal anders auf.

zu 2a)
$\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ist richtig.
Was kannst du daraus für die Lösung der Aufgabe folgern?

18.10.2008, 20:17

lotrosonic

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zu 1.a.)

Werde Ich machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu 2.b.)

x²+ 3ax = x² + 3ax ergo,Gleichung ist korrekt.

zu 1.b.)

Sorry,hier komme Ich einfach nicht weiter...

zu1.a.)

sieht dein Zwischenergebniss,nach dem Zusammenfassen,ebenfalls so aus oder hat sich bei mir vorher schon der Fehlerteufel eingeschlichen:

$\begin{eqnarray*} \frac {x³+7x²-x-9}{(x²-1)(1-x²)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {x³+12x²-x-9}{(x²-1)(1-x²)} \end{eqnarray*}$

18.10.2008, 20:34

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von lotrosonic
zu 2.b.)

x²+ 3ax = x² + 3ax ergo,Gleichung ist korrekt.

Nur unter einer Vorraussetzung.

Zitat:

Original von lotrosonic
zu 1.b.)

Sorry,hier komme Ich einfach nicht weiter...

Oh entschuldige. Ich dachte in beiden Klammern steht a-b bzw. a+b. Wenn dem nicht so ist, kann man mMn nicht weiter vereinfachen

Zitat:

Original von lotrosonic
zu1.a.)

sieht dein Zwischenergebniss,nach dem Zusammenfassen,ebenfalls so aus oder hat sich bei mir vorher schon der Fehlerteufel eingeschlichen:

$\begin{eqnarray*} \frac {x³+7x²-x-9}{(x²-1)(1-x²)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {x³+12x²-x-9}{(x²-1)(1-x²)} \end{eqnarray*}$

Sorry aber das kann ich dir absolut nicht sagen. Ich habe nicht viele Zwischenschritte mit aufgeschrieben. Mit welchem Hauptnenner hast du denn multipliziert?

Grüße Wink

Wink

18.10.2008, 21:06

lotrosonic

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Ok,also Gleichung wäre korrekt wenn b = 0.

Also wäre bei der Potenzaufgabe das " Endergebniss":

$\begin{eqnarray*} 6(a-b)^{2k-2}(b-a)² \end{eqnarray*}$

Solange keine gleiche Basis oder gleicher Exponent bzw. errechenbarer Exponent kein kürzen mehr möglich.

Habe mit dem Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} (x²-1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

erweitert.

18.10.2008, 21:55

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von lotrosonic
Ok,also Gleichung wäre korrekt wenn b = 0.

Freude

Zitat:

Original von lotrosonic
Also wäre bei der Potenzaufgabe das " Endergebniss":

$\begin{eqnarray*} 6(a-b)^{2k-2}(b-a)² \end{eqnarray*}$

Solange keine gleiche Basis oder gleicher Exponent bzw. errechenbarer Exponent kein kürzen mehr möglich.

Ja

Zitat:

Original von lotrosonic
Habe mit dem Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} (x²-1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

erweitert.

Ok das sollte richtig sein. Wenn ich später noch Zeit habe werde ich meine Rechnung nochmal hier posten. In der Zwischenzeit kannst du ja nochmal rechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich geh jetzt erstmal vor den Fernseher und melde mich später nochmal.

Grüße Wink

Wink

19.10.2008, 01:26

Q-fLaDeN

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Also:

Man soll
$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1}+\frac {2x+4}{1-x}+\frac {2x-9}{x²-1}=\frac {12+x}{1-x²} \end{eqnarray*}$

vereinfachen und überprüfen ob die Gleichheit für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ wahr ist.

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1}+\frac {2x+4}{1-x}+\frac {2x-9}{x²-1}=\frac {12+x}{1-x²} \qquad |\cdot ((x^2-1) \cdot (1-x^2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \frac {(2x+1) \cdot (x^2-1) \cdot (1-x^2)}{x-1}+\frac {(2x+4) \cdot (x^2-1) \cdot (1-x^2)}{1-x}+\frac {(2x-9) \cdot (x^2-1) \cdot (1-x^2)}{x²-1}=\frac {(12+x) \cdot (x^2-1) \cdot (1-x^2)}{1-x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow (2x+1) \cdot (x+1) \cdot (1-x^2)+(2x+4) \cdot (x^2-1) \cdot (1+x)+(2x-9) \cdot (1-x^2)=(12+x) \cdot (x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow (2x^2+3x+1) \cdot (1-x^2)+(2x^3-2x+4x^2-4) \cdot (1+x)+2x-2x^3-9+9x^2=12x^2-12+x^3-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow 2x^2-2x^4+3x-3x^3+1-x^2+2x^3+2x^4-2x-2x^2+4x^2+4x^3-4-4x+2x-2x^3-9+9x^2=12x^2-12+x^3-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow x^3+12x^2-x-12=x^3+12x^2-x-12 \qquad |-x^2;-12x^2;+x;+12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow 0=0 \quad \Rightarrow \text{Wahre Aussage} \end{eqnarray*}$
Also hatte auch ich mich verrechnet, das Ergebnis scheint eher zu stimmen. Du musst aber noch den Definitionsbereich angeben, sonst ist die Aufgabe nicht vollständig.

Grüße und gute Nacht Wink

Wink

19.10.2008, 09:16

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Im Threadtitel steht "Vereinfachen". deswegen kann man das so nicht stehen lassen...

Es ist $\begin{eqnarray*} x-1 = -(1-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2-1 = -(1-x^2) \end{eqnarray*}$ , man muss also nicht die Mücke zum Elefanten aufblasen. Äquivalent umgeformt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1} + \frac {2x+4}{1-x} + \frac {2x-9}{x^2-1} = \frac {12+x}{1-x^2} \qquad \Bigg| \; -\frac {2x-9}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {-(2x+1)+(2x+4)}{1-x} = \frac {(12+x)+(2x-9)}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {3}{1-x} = \frac {3(1+x)}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ ,

was wegen $\begin{eqnarray*} 1-x^2 = (1-x)(1+x) \end{eqnarray*}$ und entsprechendem Kürzen rechts für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|\neq 1 \end{eqnarray*}$ wahr ist.

19.10.2008, 11:51

Q-fLaDeN

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Ja stimmt, ist natürlich ein wenig kürzer :P
Aber im Endeffekt kommt man ja auf das gleiche.

Grüße Wink

Wink

19.10.2008, 13:11

lotrosonic

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Hallo

Also rechnerisch verstehe Ich das alles,aber habe da mal noch 2 Fragen:

Nachdem man die Gleichung mit dem Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} (x²-1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

erweitert hat,schreibst du in deiner ersten Zeile ohne Bruch

$\begin{eqnarray*} (2x+1)*(x+1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

Wieso hier $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ erweitert und nicht nur x?

Die 1 bzw. -1 sind doch in diesem Nenner bereits vorhanden.

Ebenso im zweiten Bruch.

Beim dritten Bruch und der Seite rechts des = komme Ich aufs selbe,aber bei den ersten beiden nicht.

Wo liegt mein Fehler beim erweitern auf $\begin{eqnarray*} (x²-1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

der bei mir im 1. und 2. Bruch so aussehen würde:

1. $\begin{eqnarray*} (2x+1)(x)(1-x²) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} (2x+4)(x)(x²-1) \end{eqnarray*}$

Und zu Arthur Dent (Hallo und vielen Dank für die Hilfe)

Wie kommt man auf den Ausdruck bzw. in welchem Verhältniss steht er

Es ist $\begin{eqnarray*} x-1 = -(1-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2-1 = -(1-x^2) \end{eqnarray*}$

und ich kann deinen Schritt nicht nachvollziehen(rechnerisch),als du die Gleichung erweitert hast:

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1} + \frac {2x+4}{1-x} + \frac {2x-9}{x^2-1} = \frac {12+x}{1-x^2} \qquad \Bigg| \; -\frac {2x-9}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Wie du dann auf deinen nächsten Ausdruck kommst?

Mit freundlichen Grüßen

19.10.2008, 13:23

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von lotrosonic
Nachdem man die Gleichung mit dem Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} (x²-1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

erweitert hat,schreibst du in deiner ersten Zeile ohne Bruch

$\begin{eqnarray*} (2x+1)*(x+1)(1-x²) \end{eqnarray*}$

Wieso hier $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ erweitert und nicht nur x?

Die 1 bzw. -1 sind doch in diesem Nenner bereits vorhanden.

Ebenso im zweiten Bruch.

Also nehmen wir uns mal nur den 1. Bruch vor. Dieser lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun mit $\begin{eqnarray*} (1-x^2)(x^2-1) \end{eqnarray*}$ erweitern steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac {(2x+1)(1-x^2)(x^2-1)}{x-1} \end{eqnarray*}$

und das ist nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} \frac {(2x+1)(1-x)(1+x)(x-1)(x+1)}{x-1} \end{eqnarray*}$

Nun kürzen wir und fassen die Faktoren 2 und 3 wieder zusammen, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} (2x+1)(1-x^2)(x+1) \end{eqnarray*}$

Grüße Wink

Wink

19.10.2008, 15:22

lotrosonic

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Hallo Q-Fladen

Also sollte man erkennen,das es sich dabei um die 3. Binomische Formel handelt,diese Rückrechnen und dann kürzen.Sehr gut,soweit verstanden.

Habe hier noch 2 Aufgaben,gleiche Aufgabenstellung,vereinfachen soweit wie möglich,könntest du mal einen Blick darüber werfen,ob ich diese Richtig gelöst habe :

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {r²+s}{s}- \frac {r+s²}{r}}{ \frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Dabei komme Ich als Endergebniss auf

$\begin{eqnarray*} \frac {s-r}{s+r²s²+r} \end{eqnarray*}$

Einige Schritte:

Jeweils Hauptnenner gebildet und zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac { \frac {r³+rs-rs-s³}{sr}}{\frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Dann durch Doppelbruch malgerechnet und gekürzt ergibt mein Ergebniss.

Und noch eine Aufgabe:

Kenne leider das Zeichen für Wurzel nicht verwirrt

verwirrt

5. Wurzel von der 3. Wurzel von $\begin{eqnarray*} x^ {5}y^ {10}z^ {15} \end{eqnarray*}$

Dort steht ja nichts anderes wie 5. Wurzel von $\begin{eqnarray*} x^{\frac {5}{3}}y^{\frac {10}{3}}z^{\frac {15}{3}} \end{eqnarray*}$

ergo

5. Wurzel von $\begin{eqnarray*} x^{\frac {5}{3}}y^{\frac {10}{3}}z^{5} \end{eqnarray*}$

und nochmals ausgelöst

$\begin{eqnarray*} x^{\frac {5}{15}}y^{\frac {10}{15}}z^{\frac {5}{5}} \end{eqnarray*}$

Weiter vereinfachen als

$\begin{eqnarray*} x^{\frac {1}{3}}y^{\frac {2}{3}}z \end{eqnarray*}$

geht also nicht oder?

Mit freundlichen grüßen

19.10.2008, 15:35

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von lotrosonic
Also sollte man erkennen,das es sich dabei um die 3. Binomische Formel handelt,diese Rückrechnen und dann kürzen.Sehr gut,soweit verstanden.

Genau, alternativ natürlich den Weg von Arthur Dent wählen.

Zitat:

Original von lotrosonic
$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {r²+s}{s}- \frac {r+s²}{r}}{ \frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Dabei komme Ich als Endergebniss auf

$\begin{eqnarray*} \frac {s-r}{s+r²s²+r} \end{eqnarray*}$

Einige Schritte:

Jeweils Hauptnenner gebildet und zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac { \frac {r³+rs-rs-s³}{sr}}{\frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Dann durch Doppelbruch malgerechnet und gekürzt ergibt mein Ergebniss.

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} r-s \end{eqnarray*}$

Schreib am besten nochmal einen weiteren Zwischenschritt hin, also das mal nehmen mit dem Kehrwert.

Zitat:

Original von lotrosonic
Kenne leider das Zeichen für Wurzel nicht verwirrt

verwirrt

code:
1:	\sqrt{}

bzw.

code:
1:	\sqrt[n]{}

Zitat:

Original von lotrosonic
5. Wurzel von der 3. Wurzel von $\begin{eqnarray*} x^ {5}y^ {10}z^ {15} \end{eqnarray*}$

Meinst du

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{\sqrt[3]{x^5y^{10}z^{15}}} \end{eqnarray*}$

?

19.10.2008, 15:52

lotrosonic

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Ok,also habe nach erweitern auf Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {(r²+s)r-(r+s²]s}{sr}}{\frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst und ausgerechnet

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {r³+rs-rs-s³}{rs}}{\frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Dann durch Doppelbruch Zähler mal Nenner durch Zähler mal Nenner

$\begin{eqnarray*} \frac {(r-s³)rs}{rs(r²+rs+s²)} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac {r^{4}s-rs^{4}}{r³s+r²s²+s³r} \end{eqnarray*}$

Soweit alles richtig?

Und ja Ich meine

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{5}y^{10}z^{15}}} \end{eqnarray*}$

Danke für den Befehl Freude

Freude

19.10.2008, 16:00

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lotrosonic
Ok,also habe nach erweitern auf Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {(r²+s)r-(r+s²]s}{sr}}{\frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst und ausgerechnet

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {r³+rs-rs-s³}{rs}}{\frac {r²+rs+s²}{rs}} \end{eqnarray*}$

Dann durch Doppelbruch Zähler mal Nenner durch Zähler mal Nenner

$\begin{eqnarray*} \frac {(r-s³)rs}{rs(r²+rs+s²)} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac {r^{4}s-rs^{4}}{r³s+r²s²+s³r} \end{eqnarray*}$

Soweit alles richtig?

Jain. Bitte multipliziere solche Faktoren niemals aus. Ziel der Aufgabe ist es ja, zu vereinfachen, und das vereinfachen wird mit lauter Summanden, die man wieder zu Produkten zusammen fassen muss, natürlich schwerer als wenn man gleich die Produkte stehen lässt.
Und wenn du bei diesem Schritt angelangt bist:

$\begin{eqnarray*} \frac {(r^3-s^3)rs}{rs(r^2+rs+s^2)} \end{eqnarray*}$ (hat übrigens das ^3 beim r gefehlt)

dann geb ich dir mal das Stichwort "kürzen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lotrosonic
Und ja Ich meine

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{5}y^{10}z^{15}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{5}y^{10}z^{15}}} = ((x^{5}y^{10}z^{15})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{5}} = (x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{10}{3}}z^5)^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}z \end{eqnarray*}$

Man könnte jetzt noch 1/3 im Exponenten ausklammern und in Wurzeln umschreiben, wenn man will.

Grüße Wink

Wink

19.10.2008, 16:30

AD

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Zitat:

Original von lotrosonic
und ich kann deinen Schritt nicht nachvollziehen(rechnerisch),als du die Gleichung erweitert hast:

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1} + \frac {2x+4}{1-x} + \frac {2x-9}{x^2-1} = \frac {12+x}{1-x^2} \qquad \Bigg| \; -\frac {2x-9}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Wie du dann auf deinen nächsten Ausdruck kommst?

Meine Güte, muss man denn wirklich jeden klitzekleinen Schritt vorkauen! unglücklich

unglücklich

Aus $\begin{eqnarray*} x-1 = -(1-x) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1} = \frac {2x+1}{-(1-x)} = \frac{-(2x-1)}{1-x} \end{eqnarray*}$

und aus $\begin{eqnarray*} x^2-1 = -(1-x^2) \end{eqnarray*}$ ebenso

$\begin{eqnarray*} -\frac{2x-9}{x^2-1} = -\frac{2x-9}{-(1-x^2)} = \frac{2x-9}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ .

Auf sowas muss man nach der Erläuterung auch selbst kommen!

19.10.2008, 18:04

lotrosonic

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Also hätte man dann:

$\begin{eqnarray*} z\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y²} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{3}(xy²z³) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{xy²z³} \end{eqnarray*}$

Zu der anderen Aufgabe:

Habe die beiden rs weggekürzt und komme zu dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac {r³-s³}{r²+rs+s²} \end{eqnarray*}$

Aber wie du nun weiter auf s-r kommst bleibt mir ein Rätsel.
Kürzen ist ja nun nicht mehr möglich.Ausklammern ebenso.

19.10.2008, 18:15

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von lotrosonic
Also hätte man dann:

$\begin{eqnarray*} z\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y²} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{xy²z³} \end{eqnarray*}$

Diese zwei Darstellungsarten sind richtig, wobei ich $\begin{eqnarray*} z \cdot \sqrt[3]{xy^2} \end{eqnarray*}$ schreiben würde.

Aber $\begin{eqnarray*} \frac {1}{3}(xy²z³) \end{eqnarray*}$ ist etwas völlig anderes.

Zitat:

Original von lotrosonic
Habe die beiden rs weggekürzt und komme zu dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac {r³-s³}{r²+rs+s²} \end{eqnarray*}$

Aber wie du nun weiter auf s-r kommst bleibt mir ein Rätsel.

Den Zähler kann man noch faktorisieren.

Grüße Wink

Wink

19.10.2008, 18:29

lotrosonic

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Ähm sorry meinte eigentlich

$\begin{eqnarray*} (xy²z³)^{\frac {1}{3}} \end{eqnarray*}$

Schusselfehler unglücklich

unglücklich

Zur zweiten...in der Hoffnung nicht alle mathematischen Grundregeln zu brechen:

$\begin{eqnarray*} \frac {r(r²)-s(s²)}{r(r+s)-s(s)} \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac {r²-s²}{r+s-s} \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal korrekt?

19.10.2008, 18:34

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von lotrosonic
Zur zweiten...in der Hoffnung nicht alle mathematischen Grundregeln zu brechen

Genau das hast du gerade gemacht :P
Außerdem müsste im Nenner +s(s) stehen. Aber bei s^2 ein s auszuklammern ist ziemlich... naja... nutzlos Big Laugh

Big Laugh

Im Nenner brauchst du gar nichts verändern. Versuche nur den Zähler zu faktorisieren.

19.10.2008, 18:57

lotrosonic

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Ok also

$\begin{eqnarray*} \frac {r(r²)-s(s²)}{r²+rs-s²} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac {r²(r)-s²(s)}{r²+rs-s²} \end{eqnarray*}$

Ich weiß einfach nicht weiter...kleiner Tipp vielleicht.

19.10.2008, 19:11

Q-fLaDeN

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Es ist $\begin{eqnarray*} r^3-s^3=(r-s)(r^2+rs+s^2) \end{eqnarray*}$ das kannst du durch ausmultiplizieren auch überprüfen.

Ich weiss allerdings ehrlich gesagt nicht wirklich wie ich erklären soll, wie man darauf kommt. Für mich gehört eine solche Zerlegung zum Standard Wissen, das man immer mal braucht.

Nebenbei:

Es heißt $\begin{eqnarray*} \frac {r³-s³}{r²+rs+s²} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac {r³-s³}{r²+rs-s²} \end{eqnarray*}$

19.10.2008, 20:56

lotrosonic

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Das kürzt man dann weg...und siehe da dein Ergebniss r-s.

Mit etwas mehr grübeln hätte ich da auch drauf kommen müssen böse

böse

Hab heute den ganzen Tag solche und andere Aufgaben zum nachbessern gerechnet,da stand mir wahrscheinlich der Kopf sonstigwo Big Laugh

Big Laugh

Aber auf jeden Fall nochmals vielen Dank.

Werde mich mal an das nächste Aufgabengebiet ranmachen.

Mit freundlichen Grüßen

19.10.2008, 21:20

Q-fLaDeN

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Augenzwinkern

Bei Fragen einfach einen neuen Thread aufmachen.

Grüße und nehm dir mal eine Pause Wink

Wink

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