zufallsvariablen, X,Y => max{X,Y}

25.07.2006, 11:53

20_Cent

zufallsvariablen, X,Y => max{X,Y}

ich hatte ja vorgestern schonmal die Frage, wie man die Verteilung von X*Y berechnet, wenn man beide Verteilungen gegeben hat.

Jetzt habe ich von zwei Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion F gegeben und möchte die Verteilungsfunktion von max{X,Y} und min{X,Y} berechnen... Wenn ich die Verteilung gegeben hätte, dann würde ich doch

$\begin{eqnarray*} P(max\{X,Y\}=k)=\sum_{x,y\ max\{x,y\}=k}p(x)*p(y) \end{eqnarray*}$

berechnen, oder?

wie geht das, wenn ich die Verteilungsfunktion gegeben habe?

Sorry, dass ich soviele Fragen stelle, aber ich hab im Netz nichts gefunden und mein Skript ist einfach nur schlecht... Wir hatten das als Übungsaufgabe, aber es steht nur die Faltungsformel für X+Y drin, sonst nichts dergleichenl...

mfG 20

25.07.2006, 12:02

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Eine grundsätzliche Frage: Geht es um diskrete oder stetige Zufallsgrößen?

Natürlich kann man alles universell mit dem Lebesgue-Integral-Kalkül schreiben, aber das ist für die konkrete Berechnung meist wenig hilfreich. Augenzwinkern

25.07.2006, 12:44

20_Cent

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lebesgue hatten wir noch nicht (bin ja erst zweites semester Augenzwinkern

)
normalerweise gehts um diskrete, allerdings bin ich mir bei dieser aufgabe nicht sicher, da steht nichts bei...
mfg 20

25.07.2006, 13:24

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Na im diskreten Fall kann man zumindest schreiben:

$\begin{eqnarray*} P(\max\{X,Y\}=k) = \sum_{x,y:\; \max\{x,y\}=k}~ p_X(x)\cdot p_Y(y) = \sum_{y\leq k}~ p_X(k)\cdot p_Y(y) ~ + ~ \sum_{x < k}~ p_X(x)\cdot p_Y(k) \end{eqnarray*}$

gültig auch für unterschiedliche Verteilungen $\begin{eqnarray*} p_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_Y \end{eqnarray*}$ . Sind beide gleich, kann man noch natürlich noch etwas zusammenfassen.

25.07.2006, 13:30

20_Cent

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ja, das hab ich mir schon gedacht...
aber es geht ja um die Verteilungsfunktion F und nicht um die Zähldichte p, F ist nämlich gegeben... Wie komme ich dann auf das gemeinsame F?
(Mit gegeben meine ich, dass es allgemein gegeben ist, also nicht konkret, ich kann also nicht irgendwie von F auf p schließen)
mfG 20

25.07.2006, 13:34

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Ok, du hast also $\begin{eqnarray*} F_X(k) = P( X\leq k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_Y(k) = P( Y\leq k) \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann ist es ja noch einfacher schreibbar: Sei $\begin{eqnarray*} Z=\max\{X,Y\} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} F_Z(k) = P(\max\{X,Y\} \leq k)= P(X\leq k, Y\leq k) = P(X\leq k)P(Y\leq k) = F_X(k)\cdot F_Y(k) \end{eqnarray*}$

Das gilt dann auch für beliebige Zufallsgrößen, ob nun stetig, diskret o.a.

25.07.2006, 13:36

20_Cent

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Cool, danke.
Gilt das auch für stochastik abhängige ZVen?
In meiner Aufgabe ist zwar gegeben, dass sie st. unabh. sind, also wäre dein dritter Schritt ok, wie ist das aber, wenn sie abhängig sind?
mfG 20

25.07.2006, 13:41

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Zitat:

Original von 20_Cent
Gilt das auch für stochastik abhängige ZVen?

Natürlich nicht!!! Die Unabhängigkeit ist hier essentiell.

Schau dir nur den Fall $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ an, da geht das schon in die Brüche.

25.07.2006, 13:42

20_Cent

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gut

hab ich mir ja schon gedacht, allerdings hatte ich nirgendwo die unabhängikeit erwähnt...
mfG 20

25.07.2006, 13:56

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Tja, ohne Unabhängigkeit bleibt nur die bekannte grobe Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \max\{ P(A)+P(B)-1, 0\} \leq P(A\cap B) \leq \min\{ P(A), P(B) \} \end{eqnarray*}$

also übertragen auf die Verteilungsfunktionen:

$\begin{eqnarray*} \max\{ F_X(k)+F_Y(k)-1, 0\} \leq F_Z(k) \leq \min\{ F_X(k), F_Y(k) \} \end{eqnarray*}$ .

17.12.2006, 15:54

schlomo76

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min{X,Y}
Warum kannst Du
$\begin{eqnarray*} P(max\{X,Y\}\leq k)=P(X\leq k,Y\leq k) \end{eqnarray*}$
gleichsetzen? und was ist mit min?

Vielen Dank
Schlomo

17.12.2006, 15:59

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Weil das schon auf Ereignisebene gleich ist:

$\begin{eqnarray*} \bigg\{ \omega:\; \max( X(\omega),Y(\omega)) \leq k \bigg\} = \bigg\{ \omega:\; X(\omega)\leq k \;\wedge\; Y(\omega)\leq k \bigg\} \end{eqnarray*}$

Und eine solche Ereignis- bzw. Mengengleichheit weist man nach, indem man zeigt, dass jedes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ aus der einen Menge auch in der anderen Menge liegt, und umgekehrt. Einfache Logik, ohne jede Stochastik!

EDIT: Für das Minimum ist völlig analog nachweisbar

$\begin{eqnarray*} \bigg\{ \omega:\; \min( X(\omega),Y(\omega)) \leq k \bigg\} = \bigg\{ \omega:\; X(\omega)\leq k \;\vee\; Y(\omega)\leq k \bigg\} \end{eqnarray*}$

oder als Komplement geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \bigg\{ \omega:\; \min( X(\omega),Y(\omega)) > k \bigg\} = \bigg\{ \omega:\; X(\omega) > k \;\wedge\; Y(\omega) > k \bigg\} \end{eqnarray*}$

17.12.2006, 16:28

schlomo76

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Fein, das hab ich verstanden.

Danke.

18.12.2006, 09:57

schlomo76

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Doch noch ne weitere Frage:

Ist folgende Aussage richtig?

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=P(X=1)P(X=2)\cdots P(X=k) \end{eqnarray*}$

Ich hab nämlich nur

$\begin{eqnarray*} P(X=l)=\frac{1}{2^l} , (l=1,2,...,n,...) \end{eqnarray*}$

gegeben.

18.12.2006, 09:58

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Also wenn schon, dann bitte

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) = P(X=1) + P(X=2) + \cdots + P(X=k) \end{eqnarray*}$

Und das auch nur, falls X eine Zufallsgröße ist, die nur positive ganze Zahlen annehmen kann.

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