zufallsvariablen, X,Y => max{X,Y}

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20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »
zufallsvariablen, X,Y => max{X,Y}
ich hatte ja vorgestern schonmal die Frage, wie man die Verteilung von X*Y berechnet, wenn man beide Verteilungen gegeben hat.

Jetzt habe ich von zwei Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion F gegeben und möchte die Verteilungsfunktion von max{X,Y} und min{X,Y} berechnen... Wenn ich die Verteilung gegeben hätte, dann würde ich doch



berechnen, oder?

wie geht das, wenn ich die Verteilungsfunktion gegeben habe?

Sorry, dass ich soviele Fragen stelle, aber ich hab im Netz nichts gefunden und mein Skript ist einfach nur schlecht... Wir hatten das als Übungsaufgabe, aber es steht nur die Faltungsformel für X+Y drin, sonst nichts dergleichenl...

mfG 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine grundsätzliche Frage: Geht es um diskrete oder stetige Zufallsgrößen?

Natürlich kann man alles universell mit dem Lebesgue-Integral-Kalkül schreiben, aber das ist für die konkrete Berechnung meist wenig hilfreich. Augenzwinkern
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

lebesgue hatten wir noch nicht (bin ja erst zweites semester Augenzwinkern )
normalerweise gehts um diskrete, allerdings bin ich mir bei dieser aufgabe nicht sicher, da steht nichts bei...
mfg 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na im diskreten Fall kann man zumindest schreiben:



gültig auch für unterschiedliche Verteilungen und . Sind beide gleich, kann man noch natürlich noch etwas zusammenfassen.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das hab ich mir schon gedacht...
aber es geht ja um die Verteilungsfunktion F und nicht um die Zähldichte p, F ist nämlich gegeben... Wie komme ich dann auf das gemeinsame F?
(Mit gegeben meine ich, dass es allgemein gegeben ist, also nicht konkret, ich kann also nicht irgendwie von F auf p schließen)
mfG 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du hast also und gegeben. Dann ist es ja noch einfacher schreibbar: Sei , dann ist



Das gilt dann auch für beliebige Zufallsgrößen, ob nun stetig, diskret o.a.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke.
Gilt das auch für stochastik abhängige ZVen?
In meiner Aufgabe ist zwar gegeben, dass sie st. unabh. sind, also wäre dein dritter Schritt ok, wie ist das aber, wenn sie abhängig sind?
mfG 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
Gilt das auch für stochastik abhängige ZVen?

Natürlich nicht!!! Die Unabhängigkeit ist hier essentiell.

Schau dir nur den Fall an, da geht das schon in die Brüche.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

gut Augenzwinkern
hab ich mir ja schon gedacht, allerdings hatte ich nirgendwo die unabhängikeit erwähnt...
mfG 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, ohne Unabhängigkeit bleibt nur die bekannte grobe Abschätzung



also übertragen auf die Verteilungsfunktionen:

.
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »
min{X,Y}
Warum kannst Du

gleichsetzen? und was ist mit min?

Vielen Dank
Schlomo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das schon auf Ereignisebene gleich ist:



Und eine solche Ereignis- bzw. Mengengleichheit weist man nach, indem man zeigt, dass jedes aus der einen Menge auch in der anderen Menge liegt, und umgekehrt. Einfache Logik, ohne jede Stochastik!


EDIT: Für das Minimum ist völlig analog nachweisbar



oder als Komplement geschrieben:

schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »

Fein, das hab ich verstanden.

Danke.
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch noch ne weitere Frage:

Ist folgende Aussage richtig?



Ich hab nämlich nur



gegeben.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn schon, dann bitte



Und das auch nur, falls X eine Zufallsgröße ist, die nur positive ganze Zahlen annehmen kann.
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