Beweis, dass eine Abbildung nicht surjektiv ist

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Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass eine Abbildung nicht surjektiv ist
Hallo,

kann mir einer von euch sagen, ob ich folgende Aufgabe korrekt gelöst habe und falls nicht, wo ich neu ansetzen muss?


Es sei eine Menge und die Potenzmenge. Zeigen Sie, dass es keine surjektive Abbildung
gibt.
Anleitung: Angenommen, es gebe ein surjektives . Dann betrachtet man die Menge

und führt die Annahme damit zum Widerspruch.


Meine Lösungsidee: Eine Abbildung ist nur dann surjektiv, wenn das Urbild eines Elementes nichtleer ist.
Also umgekehrt: Wenn das Urbild eines Elementes leer ist, dann ist die Abbildung nicht surjektiv. Und das versuche ich zu zeigen.

Das Urbild von (unter der Vorraussetzung , die hier gegeben ist) ist:

Da in kein enthalten ist, kann kein Element von sein. Daraus folgt, dass das Urbild von für alle Elemente leer ist. Deshalb kann die Abbildung nicht surjektiv sein.



Also, ich bin mir ziemlich sicher, dass die Idee richtig ist, aber ich weiß nicht, ob die Beweisführung mathematisch korrekt ist (oder vllt. sogar vollkommener Unsinn). Ich habe auch versucht zu schauen, ob man es nicht anders zeigen kann, habe aber keine weitere Idee gefunden ...
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis, dass eine Abbildung nicht surjektiv ist
Zitat:
Original von Wintersun
unter der Vorraussetzung

Welche Voraussetzung? ist klar definiert als eine Teilmenge von .

Also kannst du mit oder argumentieren, aber ist definitiv falsch. unglücklich
Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dumm gelaufen, ich hatte gedacht, dass Y Teilmenge von P(M) ist.
Jetzt ist dann auch der Rest meiner Argumentation (sofern die überhaupt jemals richtig war) hinfällig.

Was diese Aufgabe angeht, bin ich erstmal mit meinem Latein am Ende und bräuchte wohl jemanden, der mir sagt, wie und wo ich ansetzen muss ... Erstaunt2
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

P(M) ist die Menge der Teilmengen von M. Das heißt, die Elemente von P(M) sind Mengen, nämlich die Teilmengen von M. Nun soll es eine surjektive Abbildung f von M nach P(M) geben. Die angegebene Menge Y ist eine Teilmenge von M, also ein Element von P(M). Es gibt also wegen der Surjektivität von f ein a aus M, so dass ...
Jenny2013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das auch beweisen indem man schreibt:

f^(-1)(leere Menge) = leere Menge, leere Menge ist nicht element von M

somit gäb es dann ein element in P(M), dass keinem Element in M zugeordnet wird (sprich kein Urbild hat?)

?

(sorry hier an dem rechner kann ich das plugin um das vernünftig zu schreiben nicht installieren)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jenny2013
Kann man das auch beweisen indem man schreibt:

f^(-1)(leere Menge) = leere Menge


Wieso sollte das so sein?

Du brauchst hier kein Plugin, um LaTeX-Code zu schreiben.
 
 
Jenny2013 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ich glaub ich hab total ins falsche Thema geschrieben, sorry smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub ich nicht. Augenzwinkern
Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Es gibt also wegen der Surjektivität von f ...


ein aus mit ... richtig? Erstaunt2
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Ist dir das denn klar?
Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Ja, genau. Ist dir das denn klar?


Ich weiß nicht so recht ...


Also, die Funktionsvorschrift muss ja lauten: .

In sind enthalten und in sind enthalten.

ist ja die Menge aller Teilmengen von . Da ist, muss auch in als Element enthalten sein.
Daraus kann man nun folgern, dass irgendein bestimmtes ist.


Das stimmt so, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum kannnst du das folgern?

(Es ist übrigens nicht vorausgesetzt, dass M endlich ist.)
Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Und warum kannnst du das folgern?


, da

viel mehr fällt mir dazu nicht ein ...


Wo setze ich voraus, dass M endlich sei? Wenn ich das getan habe, war mir das keineswegs bewusst. Augenzwinkern
Jenny2013 Auf diesen Beitrag antworten »

auch wenn das jetzt gaaaarnix mit dem eigentlichen thema zu tun hat, trotzdem smile :

@Web Fritzi: Irgendwie ging es bei mir um ne Aufgabe
P(M) --> P(M)
M\N
(finde das zeichen für \ nicht smile )

Ich bin schon so verwirrt von all dem Mathe kram, dass ich schon irgendeinen schwachsinn hier reinschreibe

sorry nochma Augenzwinkern
Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich muss (und will) jetzt hier mal langsam zu einem Ergebnis kommen ...


Nochmal ganz von vorne ...

Aufgabe ist ja klar, hier der Beweis:

P(M) ist die Menge der Teilmengen von M. Das heißt, die Elemente von P(M) sind Mengen, nämlich die Teilmengen von M. Nun soll es eine surjektive Abbildung f von M nach P(M) geben. Die angegebene Menge Y ist eine Teilmenge von M, also ein Element von P(M).

Es gibt also wegen der Surjektivität von ein aus mit

Begründung: Also, die Funktionsvorschrift muss ja lauten: . In sind enthalten und in sind enthalten. ist ja die Menge aller Teilmengen von . Da ist, muss auch in als Element enthalten sein. Daraus kann man nun folgern, dass irgendein bestimmtes ist.

- Kann man diese Begründung so stehen lassen und wenn nicht, warum?


Da ich ab hier frei von irgendwelchen Ideen / Ansätzen war, habe ich einfach mal Google bemüht, und bin auf folgendes Ergebnis gestoßen:

Dies werden wir nun zum Widerspruch führen. Für a unterscheiden wir nun zwei Fälle:

a) Widerspruch

b) Widerspruch

liegt also weder in noch in , was nicht möglich ist. Folglich war die Annahme, dass es eine surjektive Funktion von auf gibt, falsch.


- Warum braucht man eine Fallunterscheidung? Kann man nicht einfach schauen, ob dieses in liegt?

- Weshalb ist ??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wintersun
Es gibt also wegen der Surjektivität von ein aus mit


Genau so ist es!


Zitat:
Original von Wintersun
Begründung: Also, die Funktionsvorschrift muss ja lauten: . In sind enthalten und in sind enthalten. ist ja die Menge aller Teilmengen von . Da ist, muss auch in als Element enthalten sein. Daraus kann man nun folgern, dass irgendein bestimmtes ist.

- Kann man diese Begründung so stehen lassen und wenn nicht, warum?


Nein, hier ist alles Kraut und Rüben. Was sollen diese n Elemente a_1,...,a_n? Eine Begründung dafür, dass es ein a aus M mit f(a) = Y geben muss, hast du doch oben schon genannt: f ist surjektiv.


Zitat:
Original von Wintersun
- Weshalb ist ??[/SIZE]


Der erste Pfeil gilt nach Definition von Y. Der zweite Pfeil gilt wegen f(a) = Y.
Jenny2013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso darf man



einfach so definieren?
Wenn Y teilmenge von M ist, dann muss Y ja auch element von P(M)
sein, aber sagt nicht aus, dass Y eben nicht element von P(M) ist?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
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