Abbildung

20.10.2008, 13:19

"Steffi"

Abbildung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\mapsto P(\mathbb R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x):=\{z|z\in \mathbb R, z\leq x\} \end{eqnarray*}$

Überprüfe auf Surjektivität und Injektivität.
Mein Prof meinte das wäre nicht surjektiv, aber ich habe seinen Gedankengang nicht verstanden.
Er hat geschrieben f ist nicht surjektiv, da alle Bilder f(x) unendliche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind. Was sagt mir das? Wieso schließ ich daraus dass f nicht surjektiv ist?

20.10.2008, 13:34

tmo

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Es gibt doch auch endliche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

z.b. $\begin{eqnarray*} \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

20.10.2008, 13:38

"Steffi"

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Und $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ist nicht im Bild von f?
Das heißt $\begin{eqnarray*} \{\{0\},\{1\}\} \end{eqnarray*}$ ist z.B auch nicht im Bild, weil es eine endliche Menge ist?

20.10.2008, 13:43

tmo

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Zitat:

Original von "Steffi"
Und $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ist nicht im Bild von f?

Schau dir die Abbildung doch noch mal an. Das ist doch offensichtlich.

20.10.2008, 13:43

"Steffi"

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Und wieso sind alle Bilder von f unendliche Teilmengen?
Das verstehe ich auch nicht

20.10.2008, 13:52

"Steffi"

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Wieso ist es offensichtlich? Ich kann mir durchaus vorstellen das $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ im Bild von f ist. Weil es ja Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \{0\}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Ich komme überhaupt nicht klar.

20.10.2008, 13:54

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \{ z \in \mathbb R \mid z \leq x \} = (-\infty , x ] \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir letztere Schreibweise einzusehen, dass alle Mengen im Bild von f unendliche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind. Nämlich Intervalle.

20.10.2008, 14:00

"Steffi"

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Das bedeutet endliche Mengen kommen als Bild nicht in Frage, denn z.B $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{1\})=\phi=\{x|f(x)=\{1\}\} \end{eqnarray*}$ .
Und da es für endliche Mengen kein Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ gibt, istf nicht surjektiv.
So richtig verstanden?

20.10.2008, 14:15

"Steffi"

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tmo könntest du meine Frage bitte noch beantworten?

20.10.2008, 14:19

tmo

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Etwas mehr Geduld. Ich bin doch keine Maschine. Augenzwinkern