Analytische Geometrie mit Vektoren

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21.10.2008, 16:37	motte86	Auf diesen Beitrag antworten »
Analytische Geometrie mit Vektoren Hallo, ich scheitere in der Uni an 3 von 7 Aufgaben. Vielleicht könnt ihr mir ja bei der einen oder anderen Sache in bisschen helfen. 1. Aufgabe: Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Punkten A (3;2;-1) B (4;-3;-2) C (-3;-4;2) D (-1;-4;-2) a) Geben Sie jeweils die Parameterdarstellungen der verbindungsgeraden benachbarter Seitenmitten an b) Zeichen Sie das Viereck ABCD sowie die Seitenmitten in ein XYZ Koordinatensystem. Was fällt ihnen auf? 2. Aufgabe: Berechnen Sie eine Gleichung der Schnittgarden von E1 und E2. E1: X(vektor) =r (3;4;3) + s (1;-4;-1) E2: X(vektor) =(2;0;1) + t * (0;4;-1) + u * (-3;0;1) 3. Aufgabe: In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein rechteck ABCD durch die Eckpunkte A(6;0;3),B(6;4;0),C und D festgelegt. Der Punkt C liegt auf der y- Achse. Bestimmen Sie die Koordinaten der fehlenden Rechteckpunkte C und D. Stellen Sie die gefundenen Ergebnisse in einem Schrägbild dar und berechnen Sie den Flächeninhalt. Mein Abitur ist mittlerweile 4 Jahre her und daher habe ich einige schwieirgkeiten mich an den alten Stoff zu erinnern. Würde mich über jede Hilfe freuen. Vielen Dank, Anika
21.10.2008, 20:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, im Forum! Auch wenn du dich an den Stoff nicht mehr so gut erinnern kannst, würde dir dessen Auffrischung aus eigener Initiative gewiss nicht schaden. Natürlich helfen wir dir dabei. Deine eigenen Ansätze, Ideen und Überlegungen, bisherige Rechnungen und Beschreibung der Problemlage wären schon mal eine Basis, auf welcher die Hilfe aufgebaut werden könnte. Wir sind nämlich kein Aufgabenforum, sondern wir streben an, dass du diese Dinge online verstehen lernst. Also schreibe einmal, was du schon weisst und welche Kenntnisse eventuell hier verwendet werden könnten. Z.B. bei 1, wie man den Mittelpunkt einer Strecke finden kann und wie sich die Parameterform der Geradengleichung aus zwei Punkten ergibt. Und bei 2 du wirst doch sicher (noch) wissen, dass man Schnittpunkte von Kurven findet, indem man deren Gleichung gleichsetzt. Auch der Aufgabe 3 kann man mit den einfachen Überlegungen beikommen, welche Eigenschaften ein Punkt auf einer Koordinatenachse hat und welche Bedingung gilt, wenn zwei Vektoren normal aufeinander stehen. Also dann mal ran an den Feind, bei der Auseinandersetzung mit den Aufgaben deinerseits werden auch deine Fähigkeiten wachsen, diese zu lösen. Für konkrete Fragen stehen wir sicher zur Verfügung. mY+
25.10.2008, 18:28	motte86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe mich mittlerweile an die Lösungsansätze gewagt und eine der drei Aufgaben schon alleine lösen können. Bei den anderen beiden habe ich zumindest schon Ansätze. Ich wäre euch für neue Hilfe dankbar: Hier meine Ansätze: Aufgabe2: um die Schnittgerade zu bestimmen, muss ich beide gleichungen der Ebenen miteinader gleichsetzen und diese dann im LGS lösen. Hier meine 3 Gleichungen: I: 3r + 1s = 2 + (-3u) II: 4r - 4s = 4t III: 3r - 1s = 1 - t + u Wie kann ich das jetzt lösen. Den Gauss, der in vielen Büchern vorgeschlagen wird, hatte ich (wegen Mathe Grundkurs) leider nicht. Andere Ideen? Aufgabe 3: Punkt B liegt senkrecht über Punkt A; C senkrecht über D ( C als Y- Koordinate y=0) Wie komme ich jetzt weiter? Habe folgende Punkte ermitteln können: D (12;4:3) ; C (12;8;0) Ist das richtig? Den Flächeninhalt rechne ich aus mit A = l AB + l AD wie berechene ic´h die länge einer gearden, wenn ich nur Andfangs und Emndpunkt in Vektorschreibeweise gegeben habe? Ich danke euch für euere Unterstützung. Anika
25.10.2008, 19:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2) Da 3 Gleichungen in 4 Variablen vorliegen, ist eine der 4 Variablen frei wählbar, mit anderen Worten, du kannst sie so behandeln, als wäre sie schon bekannt (natürlich bleibt sie nach wie vor ein Parameter). Löse also das System nach den anderen 3 Variablen auf, dabei wird letztendlich jede dieser drei Variablen als Term ausgedrückt in jener als bekannt vorausgesetzten Variablen erscheinen. Alle die vorkommenden setzt du nun in eine der beiden Ausgangs-Ebenengleichungen ein - zur Kontrolle (Probe) in beide. Beide Male bekommst du nun den Vektor X, ausgedrückt in dem nur noch einem bewussten Parameter, damit liegt eine einparametrige Lösung (in drei Zeilen) vor, welche die gesuchte Schnittgerade darstellt. Zu 3) Bei diesem Rechteck liegt eher der Punkt C "über" B und D über A! Deine ermittelten Punkte können auch aus einem anderen Grund nicht stimmen, denn C soll auf der y-Achse liegen. Die Eigenschaften dieses Punktes sind - überlege dir dies bitte einmal -, dass alle Koordinaten ausser der y-Koordinate Null sein müssen. Die Beziehung für die y-Koordinate erhalten wir auf Grund der Orthogonalität der beiden Vektoren AB und BC (das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren hat dann einen bestimmten Wert ..). Die Länge einer Strecke ermittelt man aus dem Betrag jenes Vektors, den man aus dem Anfangs- und Endpunkt dieser Strecke gewinnt. Und: Beim Flächeninhalt gibt es kein "PLUS", sondern ein "MAL". mY+
26.10.2008, 14:45	motte86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe das LGS folgenedermaßen aufgelöst: I: 3r + 1s = 2 + (-3u) II: 4r - 4s = 4t --> r - s = t III: 3r - 1s = 1 - 1t + 1u I - III: IV: 2s = 1 - t - 4u --> s = 0,5 - 0,5 t - 2u II --> t = r - s in III: 3r -1 (0,5 - 0,5t - 2u) = 1 - (r-s) + u verinfacht: 4r + 0,5t + u = 1,5 + s Wie mache ich jetzt weiter, jetzt habe ich immer noch alle 4 Variablen? Aufgabe 3: Punkt C: (0; yc; 0) --> AB undn BC sind ontrhogonal, d.h. senkrecht... Skalarprodukt = 0?? Wie berechne ich jetzt das Skalarprodukt? (xa + xb) (ya+ yb) (za + zb) verglichen mit ( xb + xc(=0)) (yb + yc) (zb + zc(=0)) ??? Flächeninhalt: A = lAB * l BC AB = (6+6; 4+0; 0+3) --> l = 12+4+3 = 19 ?? BC = ( 6+0; 4+ yc; 0+0) --> l = 6 + 4+yc + 0 = 10+yc ??? Freue mich über weitere Anregunegn. Viele Grüße Anika
26.10.2008, 17:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du aus drei Gleichungen eine machst, ist das noch kein Auflösen des Systemes. Wie beschrieben, kannst du auf herkömmlichem Wege nach drei Variablen auflösen und die vierte als bekannt (als Parameter) voraussetzen. Dann drückst du jede der drei Variablen in diesem Parameter aus. Lies bitte nochmals, wie das beschrieben wurde. Du kannst beispielsweise s und dann u eliminieren, dann erhältst du $\begin{eqnarray} r = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} t \end{eqnarray}$ r ist also als Term in t ausgedrückt. In der Folge kommt dann u = .. (Term in t) und s = (Term in t) __________________ Das Skalarprodukt wird nicht so berechnet, wie von dir geschrieben ..., es beginnt mit xa.xb + ya.yb + .... Von beiden Vektoren sind alle Koordinaten bekannt, ausgenommen die z-Koordinate von C (z_c). Durch das Nullsetzen des Skalarproduktes entsteht eine Gleichung in z_c .... Den Betrag (die Länge) des Vektors hast du bereits als Formel leider auch nicht richtig, er ist nämlich die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten. mY+
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26.10.2008, 20:00	motte86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schon sehr knifflig, muss ich zugeben: Hier meine neuen Gleichungen: u = 0,35 + 3,1t - s s = 0,2 + 5,7t s setze ich dann in die U- Gleichung ein, dann bekomme ich: u = 0,15 - 2,6t Wie mache ich dann weiter? AUfgabe 3: Skalarprodukt: AB = (xaxb) + (yayb) + (zazb) = 36+0+0 = 36 BC = (xbxc) + (ybyc) + (zbzc) = 0+(4* yc)+0 = 4yc AB = BC, dh 36 = 4yc --> yc = 9 ??? Punkt C (0;9;0) Wie komme ich jetzt zum Punkt D?? Flächeninhalt: A = l AB * l BC AB = (xaxb)+(yayb)+(za*zb) = 36 --> l AB = Wurzel 36 ?? BC = -"- = 36 --> l BC = Wurzel 36 ?? Danke für deine weitere Hilfe... Dann kann ich am Dienstag endlich alles richtig abgeben Liebe Grüße Anika
26.10.2008, 20:45	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Gleichungen stimmen nicht. Da ich vorher einen Fehler gehabt hatte und diesen editiert habe, schreibe ich mal den Anfang des Gleichungssystemes auf: $\begin{eqnarray} 3r + s = 2 \ \ \ \ \ - 3u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r - s = \ \ \ \ \ \ \ t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3r - s = 1 - t + u \end{eqnarray}$ ------------------------------------ (die zweite Gleichung wurde durch 4 dividiert) $\begin{eqnarray} 4r = 2 + t - 3u \end{eqnarray}$ (1. Gl. + 2. Gl.) $\begin{eqnarray} 2r = 1 - 2t + u \end{eqnarray}$ (3. Gl. - 2. Gl.) ------------------------------------- Eliminiere nun u, um die vorhin genannte Beziehung (r als Term von t) zu bekommen. Natürlich könntest du auch t eliminieren und alles weitere in u ausdrücken, nur ab dann müsstest du eben bei dieser Variablen bleiben und die fehlenden anderen auch darin ausdrücken. _______________________________ Zum anderen: Diese Aufgabe ich wirklich nicht schwer, denn die Angaben sind angenehm. Dass du da so viele Fehler machst ... ? Berechne bitte den Vektor AB richtig, seine Länge ist nicht 6 LE! Auch die fehlende Koordinate des Punktes C ist nicht 9! Ich habe den Eindruck, dass du schlampig bzw. plan- und ziellos herumrechnest. Übrigens, was könnte man statt Wurzel aus 36 denn noch schreiben? Wenn du mal den Punkt C richtig hast, dann gilt für den fehlenden Punkt D: Vektor AB = Vektor DC, oder auch Vektor BC = Vektor AD mY+
28.10.2008, 18:16	motte86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, gestern hat mich eine Magen- Darm- Grippe ans Bett gefesselt. Deswegen erst heute meine Antwort: Hier nun weiter meine Lösungen: u eliminiert als: IV: 4r = 2 + t -3u V: 2r = 1 +u --> multipliziert mit 3 IV + V : 10r = 5 + t --> r = t + s II: --> r - s = t in I: 3t + 4s = 2 - 3u Jetzt habe ich 2 Gleichungen, die dasselbe aussagen. U ist eliminiert... Wie löse ich weiter auf? andere Aufgabe. A( 6;0;3) B (6;4;0) C ( 0;yc;0) AB = (6+6) + (0+4) + (0+3) = 19 (12;4;3) Länge AB = Wurzel 19 BC = (6+0) + (yc+4) + (0+0) = 10 + yc ( 6;yc+4;3) Länge BC = Wurzel (10+yc) Vektoren stehen orthogonal, dh, Skalarprodukt = 0 Skalarprodukt: (66 + 4(yc+4)) + (3*3) = 0 36+9+16+4yc = 0 dh: yc = 15,25 ??? Ist das nun besser? Viele, imme rnoch kränkliche Grüße Anika
29.10.2008, 17:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten: Rechenfehler, denn es ist $\begin{eqnarray} 10r = 5 - 5t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = \frac{1 - t}{2} \end{eqnarray}$ wir sagten ja, du mögest alle 3 Variablen in t ausdrücken! Dann ist noch (aus: r - s = t) $\begin{eqnarray} s = \frac{1 + t}{2} \end{eqnarray}$ So, und nun r, s in eine der Gleichungen eingesetzt: $\begin{eqnarray} u = t \end{eqnarray}$ Dies nun - wie schon beschrieben - einsetzen! Bis zur Parameterform der Geraden (in t) kommst du jetzt allein? ________________________ Zum zweiten: Der Vektor von A nach B ergibt sich aus der Koordinatendifferenz bei den Punkten B und A! Wie hast du denn das gerechnet? Daher stimmt auch das yc nicht. C hat die Koordinaten (0; yc; 0) richtig, vorher meinte ich aus der Angabe, er liegt auf der z-Achse. yc muss übrigens 4 sein. Also nochmals ran! mY+

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