Surjektiv, injektiv oder bijektiv?

22.10.2008, 20:25

Odania

Surjektiv, injektiv oder bijektiv?

Hallo ich bin verzweifelt ich sitze schon eine halbe Ewigkeit an diesen blöden Aufgaben und mir will die zündende Idee und der Weg einfach nicht "erscheinen".
Ich denke ich weiß was die Lösungen sind aber ich kann es einfach nicht beweisen.

BITTE HELFT MIR traurig

-Untersuchen sie (mit Beweis), ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.

1. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \setminus \{ 3 \} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \setminus \{ 2 \} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , x \mapsto \frac {2x-1} {x-3} \end{eqnarray*}$

Ich denke diese Abbildung ist bijektiv ich weiß jetzt auch, dass ich ihre Surjektivität und Injektivität beweisen muss aber wie um alles in der Welt mache ich das???

Könnte es sein, das ich zeigen muss, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{2\} =f^{-1}\{ \mathbb R \setminus\{3\}\} \end{eqnarray*}$
und da in der Definition von der Urbildmenge schon gesagt ist, dass
$\begin{eqnarray*} f^{-1}\{B\} \subset A \end{eqnarray*}$
muss ich nur noch die andere Richtung zeigen?

Für die Injektivität muss ich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \Rightarrow a=b \end{eqnarray*}$

Wenn ja wie mache ich das und wenn nein was muss ich überhaupt machen??

2. $\begin{eqnarray*} f: \mathcal P(M) \rightarrow \mathcal P (M), N \mapsto M \setminus N \end{eqnarray*}$ wobei M eine beliebige Menge ist und $\begin{eqnarray*} \mathcal P (M) \end{eqnarray*}$ ihre Potenzmenge bezeichnent.

Ich sage die ist bijektiv, weil ja jeder Teilmenge ihr Komplement zugeordnet werden kann und ed davon immer nur eins gibt und umgekehrt.

Aber wie beweise ich das denn?

22.10.2008, 20:59

Romaxx

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Hallo Odania,

Du weisst, was Injektivität ist. Was hindert dich daran die Defintion zu verwenden?

Setze $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ und bringe die Gleichung durch erlaubte Umformungen auf $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ .

Zur Surjektivtät musst du für jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus \{2\} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Defintionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ finden.
Stelle doch deine Funtkion einfach mal unter erlaubten Umformungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ um und überlege, was dir das sagt.

Bei 2. versuchst du für die Injektivität folgendes zu zeigen $\begin{eqnarray*} M\setminus X=M\setminus Y\Rightarrow X=Y \end{eqnarray*}$ .
Wenn du das genau betrachtest, siehst du, dass es genau die Definition von injektiv widerspiegelt.

Die Surjektivität macht du am Besten über den indirekten Beweis.
Angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht surjektiv, dann gibt es eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ für die gilt: ...

22.10.2008, 21:03

mYthos

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Hi,

siehe dir doch mal dies an:

Frage zur Funktion

Ich denke, du hast vorwiegend Schwierigkeiten mit den Begriffsbestimmungen.

mY+

22.10.2008, 22:02

Odania

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Wie mach ich denn von
$\begin{eqnarray*} b(2a^{2}+3)-6(a^{2}+2a)=a(2b^2+3)-6(b^{2}+2b) \end{eqnarray*}$
aus weiter oder bin ich schon auf dem Holzweg und hab alles falsch verstanden?

und yx-3y=2x-1 bringt auch nix oder da geh'ts ja nicht weiter

Danke an Mythos aber ich hab mir schon so viele Beschreibungen angesehen und Diagramme angesehen das das leider auch nicht mehr geholfen hat.

22.10.2008, 22:08

Jacques

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Hallo,

Kannst Du Surjektivität und Injektivität nochmal in eigenen Worten definieren? Also was bedeuten die Eigenschaften letztendlich?

Und hast Du Dir den Graphen der Funktion schonmal zeichnen lassen?

22.10.2008, 23:12

Romaxx

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Zitat:

Wie mach ich denn von
$\begin{eqnarray*} b(2a^{2}+3)-6(a^{2}+2a)=a(2b^2+3)-6(b^{2}+2b) \end{eqnarray*}$
aus weiter oder bin ich schon auf dem Holzweg und hab alles falsch verstanden?

Wie bist du auf diese Gleichung gekommen? Kannst du mir deinen Rechenweg verdeutlichen?

Zitat:

yx-3y=2x-1 bringt auch nix oder da geh'ts ja nicht weiter

x auf eine Seite und ausklammern...

22.10.2008, 23:24

mYthos

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Zitat:

Original von Odania
...
und yx-3y=2x-1 bringt auch nix oder da geh'ts ja nicht weiter
...

Doch, stelle jetzt nach x um (ich nehme an, du willst die Umkehrfunktion berechnen):

$\begin{eqnarray*} yx - 2x = 3y - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(y - 2) = 3y - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \ldots \end{eqnarray*}$

Nicht umsonst hat der Aufgabensteller die 2 aus der Bildmenge der ursprünglichen Funktion ausgeschlossen, somit existiert eine (injektive) Umkehrfunktion für alle Elemente der Bildmenge der ursprünglichen Funktion. Was bedeutet dies nun für die Sur-/ Bijektivität der gegebenen Funktion?

mY+

23.10.2008, 11:25

Odania

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1.
AAAAAAAAH war ich verblendet natürlich ich muss zuerst -2x und 3y tauschen! Idee!

dann ist das Ergebnis natürlich:

$\begin{eqnarray*} x=\frac {3y-1} {y-2} \end{eqnarray*}$

Ich hatte den Graph auch schon gezeichnet und mir war klar warum einmal 2 und einmal 3 ausgeschlossen werden.

Zitat:

Kannst Du Surjektivität und Injektivität nochmal in eigenen Worten definieren? Also was bedeuten die Eigenschaften letztendlich?

Und hast Du Dir den Graphen der Funktion schonmal zeichnen lassen?

Injektivität: Kein f(x) wird mehr als einmal an ein x vergeben (einem x mit hilfe der Vorschrift zugeordnent)
Surjektivität: Jedes f(x) hat mindestens ein x (ist mindestens einem f(x) zugeordnet)

Ich muss also jetzt dieses $\begin{eqnarray*} f(y)=x=\frac {3y-1} {y-2} \end{eqnarray*}$
darauf testen, ob jedem f(y) mindestens ein x zugeordnet wird.
wie mach ich das denn?

Zitat:

Wie bist du auf diese Gleichung gekommen? Kannst du mir deinen Rechenweg verdeutlichen?

Na klar gerne:

Zu Zeigen:
f(a)=f(b) ==> a=b

$\begin{eqnarray*} \frac {2a-1} {a-3} = \frac {2b-1} {b-3} ~~ \mid \cdot (a-3) ~~ \mid \cdot (b-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-3)(2a-1)(a-3)=(2b-1)(a-3)(b-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-3)(2a^2-3a-a+3)=(2b^2-3b-b+3)(a-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-3)(2a^2-4a+3)=(2b^2-4b+3)(a-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a^2b-4ab+3b-6a^2+12a=2a^2a+3a-6b^2+12b ~~ \mid +9 \mid +4ab \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(2a^2+3)-6(a^2+2a)=a(2b^2+3)-6(b^2+3)-6((b^2+2b) \end{eqnarray*}$

2.

Zitat:

versuchst du für die Injektivität folgendes zu zeigen $\begin{eqnarray*} M\setminus X=M\setminus Y\Rightarrow X=Y \end{eqnarray*}$ .

das versteh ich vom logischen her ist mir das jetzt klar wo du's sagst aber wie gehts dann weiter mit einem element daraus oder auf der Mengenebene?und wenn dort wie forme ich das dann um?

Zitat:

Die Surjektivität macht du am Besten über den indirekten Beweis.Angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht surjektiv, dann gibt es eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ für die gilt: ...

$\begin{eqnarray*} M\setminus X \not \subset \mathcal P (M) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X \subset M \end{eqnarray*}$ aber dann ist ja ausgeschlossen, das das Komplement nicht in $\begin{eqnarray*} \mathcal P (M) ist \end{eqnarray*}$ wie beweise ich das jetzt oder ist diese Erklärung Beweis genug??

Das ist bis jetzt immer mein Problem wo hört der Beweis auf wo fängt er an?

Danke für eure bisherige Hilfe Blumen

23.10.2008, 19:12

Romaxx

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Zitat:

Injektivität: Kein f(x) wird mehr als einmal an ein x vergeben (einem x mit hilfe der Vorschrift zugeordnent)

Okay, kann man gelten lassen.
Besser: Kein y aus dem Bild von f wird mehr als einmal an ein x aus dem Defintionsbereich vergeben.

Zitat:

Surjektivität: Jedes f(x) hat mindestens ein x (ist mindestens einem f(x) zugeordnet)

Nein, diese Aussage trifft für jede Funktion zu.
Was muss für das Bild f(X) gelten?

Zitat:

Ich muss also jetzt dieses $\begin{eqnarray*} f(y)=x=\frac {3y-1} {y-2} \end{eqnarray*}$
darauf testen, ob jedem f(y) mindestens ein x zugeordnet wird.
wie mach ich das denn?

Nein sollst du nicht. Deine y waren vorher deine Bilder der Funktion f. Du hast diese Funktion nun nach x umgestellt. Nun teste doch, ob für jedes y aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{2\} \end{eqnarray*}$ die Gleichung definiert ist.

Wenn dem so ist, hat jedes y aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{2\} \end{eqnarray*}$ ein x aus dem Defintionsbereich, logisch oder?

Im Allgemeinen würde ich eine neue Funktion, wie du Sie definieren wolltest, nicht nocheinmal f nennen, sonst kommt man durcheinander.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac {2a-1} {a-3} = \frac {2b-1} {b-3} ~~ \mid \cdot (a-3) ~~ \mid \cdot (b-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-3)(2a-1)(a-3)=(2b-1)(a-3)(b-3) \end{eqnarray*}$

In dieser Umformung steckt schon ein Fehler.

Zitat:

versuchst du für die Injektivität folgendes zu zeigen $\begin{eqnarray*} M\setminus X=M\setminus Y\Rightarrow X=Y \end{eqnarray*}$ .

das versteh ich vom logischen her ist mir das jetzt klar wo du's sagst aber wie gehts dann weiter mit einem element daraus oder auf der Mengenebene?und wenn dort wie forme ich das dann um?

$\begin{eqnarray*} X, Y\subseteq M \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x\in X\Rightarrow x\notin M\setminus X=M\setminus Y\Rightarrow x\in Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X\subseteq Y \end{eqnarray*}$

Die andere Richtung kannst du zeigen.

Zitat:

Nein. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ soll ein Element aus dem Zielbereich $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ sein.

...
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall N\subseteq M: M\setminus N\neq X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\cdots \end{eqnarray*}$

Jetzt du. Es muss ein Widerspruch zu Annahme entstehen.

26.10.2008, 19:25

Odania

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Sorry das ich erst jetzt wieder antworte, ich hab ziemlich viel um die Ohren mit den Aufgaben und so muss 50% der Aufgaben richtig haben sonst darf ich die Klausur nicht schreiben.

Zitat:

Nein, diese Aussage trifft für jede Funktion zu. Was muss für das Bild f(X) gelten?

Das Bild muss gleich der Zielmenge sein

Zitat:

Ich weiß es ist so aber wie mach ich das denn?

Ich probier mal:
Beh: $\begin{eqnarray*} \forall y \in \mathbb R \setminus \{2\} \exists x\in \mathbb R \setminus \{3\}\mid f(y)=x \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} f(y)=x=\frac {3y-1} {y-2} \end{eqnarray*}$

Bew: Also ich nehme jetzt an das würde nicht gelten dann gäbe es ja ein $\begin{eqnarray*} j\in \mathbb R \setminus \{2\} \end{eqnarray*}$ für das es kein $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \setminus \{3\}\mid f(y)=x=\frac {3y-1} {y-2} \end{eqnarray*}$ gibt. Das muss ich jetzt widerlegen.

$\begin{eqnarray*} x \ne \frac {3j-1} {j-2} \end{eqnarray*}$
ist das jetzt richtig bis jetzt??Ich bin mir da nie sicher. und wie mach ich weiter? muss ich jetzt nach j auflösen?

Zitat:

Zitat:
$\begin{eqnarray*} \frac {2a-1} {a-3} = \frac {2b-1} {b-3} ~~ \mid \cdot (a-3) ~~ \mid \cdot (b-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-3)(2a-1)(a-3)=(2b-1)(a-3)(b-3) \end{eqnarray*}$

In dieser Umformung steckt schon ein Fehler.

$\begin{eqnarray*} \frac {2a-1} {a-3} = \frac {2b-1} {b-3} ~~ \mid \cdot (a-3) ~~ \mid \cdot (b-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-3)(2a-1)=(2b-1)(a-3) \end{eqnarray*}$
so muss es ja weiter gehen ich bin aber echt verpeilt meine Nachhilfeschüler hätte ich dafür nur schief angesehen meine Güte ich brauche echt Gehirntraining.

Und das Ärgerlichste ist ich hab das für die Übung noch mal gerechnet es kam mir dann aber komisch vor sodass ich noch mal auf meinen Zettel gesehen habe und es dann wieder falsch gemacht hab.

$\begin{eqnarray*} 2ba-b-6a=2ab-6b-1a+3 \mid -2ba \mid +a \mid +b \mid \cdot \frac {-1} {6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in Y\Rightarrow x\notin M\setminus Y=M\setminus X\Rightarrow x\in X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Y\subseteq X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X=Y \end{eqnarray*}$
qed

Zitat:

Zitat:
$\begin{eqnarray*} M\setminus X \not \subset \mathcal P (M) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X \subset M \end{eqnarray*}$ aber dann ist ja ausgeschlossen, das das Komplement nicht in $\begin{eqnarray*} \mathcal P (M) ist \end{eqnarray*}$ wie beweise ich das jetzt oder ist diese Erklärung Beweis genug??

Nein. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ soll ein Element aus dem Zielbereich $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ sein.

...
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall N\subseteq M: M\setminus N\neq X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\cdots \end{eqnarray*}$

Jetzt du. Es muss ein Widerspruch zu Annahme entstehen.

Ja $\begin{eqnarray*} X\in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ aber die Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal P (M) \end{eqnarray*}$ sind ja per Definition alle Teilmengen von M also stimmt meines auch. Ich versteh aber jetzt auch, dass ich das nicht so sagen darf weil es ja sonst nicht zur Abbildung passt.

$\begin{eqnarray*} \forall N\subseteq M: M\setminus N\neq X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \complement _{M} N \ne X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \not \subset M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \not \subset \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$

Widerspruch
qed

Ich bin mir nicht so sicher,ob das jetzt richtig ist. Ich weiß nie was ich direkt aufeinander folgen lassen darf, weil es ja eigentlich total offensichtlich ist.

Könntet ihr mir hinführende Aufgaben für Beweise geben, damit ich nicht immer so auf dem Schlauch stehe??

26.10.2008, 22:03

Romaxx

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Zitat:

Das Bild muss gleich der Zielmenge sein

Richtig.

Zitat:

So kompliziert brauchst du das nicht machen. Man sieht doch mit einem Blick, dass die Gleichung für y aus dem Zielbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{2\} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Der Rest sieht gut aus. Freude

27.10.2008, 06:27

Odania

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Danke Roman und ihr anderen!!!!!!! Tanzen

Woher weiß ich denn, das ich da nichts weiteres machen muss??

Habt ihr ein Paar Übungsaufgaben für mich???? Die mich an Beweise heranführen??

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Surjektiv, injektiv oder bijektiv?

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