Diagonalen im Würfel / Schnittwinkel

30.07.2006, 13:19

oerny

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Diagonalen im Würfel / Schnittwinkel

Hi, ich habe folgende aufgabe:
Es soll der Winkel APB berechnet werden. Angaben:
Es Handelt sich um einen Würfel, d2 ist die RAumdiagonale von Punkt B nach H und d1 ist Gerade durch A und den Mittelpunkt S der Seite BFGC. Der Schnittpukt der beiden Geraden ist Punkt P.

Was ich versucht habe:
ich habe mir für die beiden Geraden Richtungsvektoren aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a \\ a \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-a}{2} \\ \frac{a}{2} \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und aus diesen über folgende Formel den Schnittwinkel berechnet:
$\begin{eqnarray*} cos \phi = \frac{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}} {ab} \end{eqnarray*}$ und erhalte $\begin{eqnarray*} \phi = 90° \end{eqnarray*}$ da cos von 0.

Jetzt meine Fragen: 1. Stimmt das soweit?
2. kann man auch anders zu diesem ergebnis kommen (über winkel und Winkelsummen?) müsste gehn, nur komm ich da nie auf 90° sondern auf 118° oder 120°

Danke für die Hilfe!

30.07.2006, 14:30

JochenX

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Zitat:

2. kann man auch anders zu diesem ergebnis kommen (über winkel und Winkelsummen?) müsste gehn, nur komm ich da nie auf 90° sondern auf 118° oder 120°

nicht ganz einfach, da deine Geraden (bzw. die betrachteten Geradenstücke) ja kein Dreieck bilden, sondern windschief aneinander vorbeigehen.
Wie hast du denn diese beiden Werte bekommen (insb. den 118°-Winkel...)

Vektorrechnung ist hier ja gerade das Mittel, um diese Komplizierten Sachen zun umgehen.
Du hättest vielleicht noch etwas genauer angeben können, wie du den Vektor bestimmst (insbesondere in welcher "Reihenfolge" du "nach rechts", "räumlich nach vorne" und "nach oben" angibst!), dann wäre das ganze etwas leichter zu prüfen gewesen.
Sieht aber eigentlich ganz gut aus.

edit: Verzeihung, muss wohl meine räumliche Vorstellung schärfen. Ich hätte relativ sicher gesagt, dass die aneinander vorbeigehen müssten.
Also dann wohl NICHT windschief, danke, Egal. Wink

Wink

30.07.2006, 14:40

Egal

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Wie du auf windschief kommst ist mir ehrlich gesagt schleierhaft. Ich hab mir mal eine Zeichnung der Schnittebene gemacht. Ob die Beschriftung 100% übereinstimmt weiss ich grad nicht aber vom Prinzip her passt es wohl.
Man kann die 90° Winkel optisch auch gut verifizieren.

Sofort sehen tut man auch gewisse ähnliche Dreiecke auf Grund von Strahlensatzbetrachtungen. Im Moment will mir aber noch kein plausibler Grund für die 90° einfallen.

30.07.2006, 15:07

riwe

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mit a = 3: schnittpunkt P(2/1/1) oder so ähnlich, je nach beschriftung, und der schnittwinkel ist ein rechter.
aber ohne vektorrechnung, wohl sehr mühsam verwirrt

verwirrt

werner

30.07.2006, 15:14

oerny

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ja so ähnlich gehts mir auch, die 90° erkennen kann ich mittlerweile auch mit ähnlichen Skizzen wie deiner) mir vorstellen, aber wie das über winkel herleiten soll weis ich leider auch nicht.
zu den 120° und 118° ich habe versucht die figur in einzelne dreicke zu zerlegen und diese dann gedreht, dabei aber vergessen, das sich der winkel ändert wenn ich dreh, deswegen ist dies hinfällig.
wenn also jemand ne gute begründung oder nen weg hat wie man auf die 90° mit winkeln komme wäre super!

30.07.2006, 15:46

riwe

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mit pythagoras?
das dreieck ABC liegt in E: y - z = 0:
A(0/0/0), B(a/0/0) und dem schnittpunkt P= C(a/3(2/1/1)) hast du
AB² = AC² + BC²,
sehr hatschert, zuerst vektoren und dann das Big Laugh

Big Laugh

werner

mit $\begin{eqnarray*} \alpha=\angle{BAS}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta=\angle{ABP}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und dem schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \gamma=\angle{APB} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} tan\gamma=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}\Rightarrow \gamma=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

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30.07.2006, 15:53

oerny

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wie komsmt du auf das mit C? des müsste der Punkt P sein oder?
also das ich das richtig verstehe: als erstes sagste das Dreieck ABP liegt in der Ebene E dann Sind die Punkte A und B klar aber wie kommste auf Punkt C?

Und wenn man den Punkt C berechnet hat (wie lass ich jetzt mal offen) den Phythagoras als beies für den 90° winkel nehmen oder wie?? aber noraml weis ich ja nicht das es ein 90° winkel ist....

oder versthe ich jetzt was flasch

30.07.2006, 16:07

riwe

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habe es schon korrigiert, ich hatte die bezeichner P und S vertauscht.
werner

30.07.2006, 16:34

oerny

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blöde fragen ohne ende!

1. Woher hast du Winkel BAS müsste $\begin{eqnarray*} tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ sein oder? Hab das wie folgt gemacht:
Rechtwinkliges Dreieck ABS und dann Tangens rechter Winkel in B
2. Woher Winkel ABP müsste $\begin{eqnarray*} tan \beta = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein oder? Grundlage rechtw. Dreieck ABH

3. ist die Formel für tan y aus einer foremlsammlung oder woher satmmt die? bzw. ich hab die noch nie gesehen und niergends gefunden
und kenn die nur das im Nenner ein Plus steht und das dann eben tan (...) die Steigung darstellt.

4. Die formel nachrechenn bekomm ich irgendwie auch nicht hin, woher nimmst du wieder das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?
habe einfach für $\begin{eqnarray*} tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan \beta = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und komme dann auf rund 20°

Die einzige begründung für 90° die mir einfällt wäre das [latex] tan \alpha * tan \beta = 1[\latex] wobei hier wieder das Minus fehlen würde. Die könnte aber anhand der Wurzeln begründet werden oder? Bzw. wenn ich die Formel die ich kenne nehmen würde käme raus Division durch null was senkrechtstehn zur folge hat.

30.07.2006, 17:12

AD

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Irgendwie blast ihr hier eine Mücke zum Elefanten auf:

Wegen $\begin{eqnarray*} \overline{AH} : \overline{AB} = \overline{AB} : \overline{BS} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sind die rechtwinkligen Dreiecke $\begin{eqnarray*} ABH \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BSA \end{eqnarray*}$ ähnlich und folglich gilt $\begin{eqnarray*} \overline{\angle AHB} = \overline{\angle BAS} \end{eqnarray*}$ . Und das war's dann im wesentlichen.

30.07.2006, 17:40

riwe

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Zitat:

Original von oerny
3. ist die Formel für tan y aus einer foremlsammlung oder woher satmmt die? bzw. ich hab die noch nie gesehen und niergends gefunden
und kenn die nur das im Nenner ein Plus steht und das dann eben tan (...) die Steigung darstellt.

das hebe ich so in der schule gelernt, also vor ca. 50 jahren. und so was lebensnotwendiges vergißt man doch nicht! Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von oerny

Die einzige begründung für 90° die mir einfällt wäre das [latex] tan \alpha * tan \beta = 1[\latex] wobei hier wieder das Minus fehlen würde. Die könnte aber anhand der Wurzeln begründet werden oder? Bzw. wenn ich die Formel die ich kenne nehmen würde käme raus Division durch null was senkrechtstehn zur folge hat.

da mußt du den komplementärwinkel zu beta verwenden, und dann hast du dein "minus".

aber schau dir doch die lösung von arthur dent an, die ist so elegant wie einfach, oder umgekehrt.
werner

30.07.2006, 23:01

oerny

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also die lösung an sich ist mir jetzt klar, mich würde nur noch interesieren, wie wernerin das gerechnet hat, ich kanns drehn und wenden wie ich will komm da nie auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für den winkel, kann mir das mal jemadn vormachen?? bekomm da entweder division durch 0 oder eben nen Winkel von ca 20°. Oder kann ich aus dem Nenner = 0 schließen das es 90° sind?

Aber die schnellste MEthode für so eine Aufgabe dürften die Vektoren sein oder?

31.07.2006, 00:10

riwe

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ja, das denke ich auch, dass es mit vektoren am "kopflosesten" und damit am schnellsten geht.
der NENNER: $\begin{eqnarray*} 1 -\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=1-1=0 \end{eqnarray*}$
ok verwirrt

verwirrt

na klar: (x<>0)/0 = unendlich
werner

31.07.2006, 11:58

oerny

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und aus dem unendlich schließ ich senkrecht richtig?

31.07.2006, 12:17

riwe

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richtig
werner

01.08.2006, 11:00

oerny

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Dann ists klar!!

Danke an alle die geholfen haben!!

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