nochmals Minimalpolynom und Jordanform |
| 31.07.2006, 08:32 | Janko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| nochmals Minimalpolynom und Jordanform ich habe mir die Threads zu Minimalpolynom durchgelesen und auch die Newsgroup durchforstet, jedoch bleiben noch einige Fragen offen. Eigentlich möchte ich nur wissen, ob ich die Vorgehensweise bei der Findung des Minimalpolynoms richtig mache und wie ich bei der Jordanform weitergehen muss. Also ausgegangen davon, dass ich eine Matrix A habe (z.B. 4x4), deren chrakteristisches Polynom habe ich berechnet (z.B. (x-1)^4). So damit weiß ich über das Minimalpolynom schonmal folgendes: - es enthält nur (x-1) - die Potenz von (x-1) liegt zwischen 1 und 4 Nun würde ich rg(A-1E) rechnen und dann normalerweise rg((A-1E)^2) und so weiter, bis sich der Rang nicht mehr ändert. Das heißt doch aber, wqenn z.B. rg(A-1E)=1, so bin ich schon fertig, da der Rang doch bei jeder Berechnung nur niedriger werden kann und er eben immer min. 1 ist, oder? Oder geht rg=0 und ich muss einfach nur einen drauf zählen? Das hieße dann für mich, dass das Minimalpolynom folgendermaßen lautet: (x-1) Soweit so gut. Nun zur Jordanform. Ich hatte es leider nie, muss es jedoch trotzdem fürs Examen können. Ich will auch gar nicht groß die Theorie dahinter verstehen (keine Ingoranz, einfacher Zeitmangel), sondern eine Möglichkeit an einfachen Beispielen damit zu rechnen. Wenn ich das bis hierhin richtig angelesen habe, stehen auf der Hauptdiagonalen der Jordanform die Eigenwerte, bei mir also alles Einsen. Auf der oberen Nebendiagonalen steht dann von oben runter a,b,c und diese können nun 0 oder 1 sein. Ich weiß, dass meine algebraische Vielfachheit von1 gleich 4 ist (da 4-facher Eigenwert). Das bedeutet ja, dass die Länge des Jordansblocks zu 1 gleich 4 ist und wenn man 4-rg(A-1E)=4-1=3 ausrechnet, so erhält man die Kästchen im Block zu 1. So und da hört mein Verständnis auf. Was ist mit den Blocks und den Kästchen gemeint? Woher weiß ich jetzt, welchen Wert a,b oder c haben? Vielen Dank für eure Mühen Gruß Janko P.S.: Hier mal das vollständige Beispiel für alle, die mitlesen und nachrechnen wollen: charPol: rg(A-1E) = 1 MinPol: Jordanform: |
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| 31.07.2006, 12:28 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: nochmals Minimalpolynom und Jordanform
Rang Null geht auch.
Falsch, denn Rang=1 bedeutet, dass die Dimension des Eigenraumes 3 ist, also gibts 3 Jordankästchen, was wiederrum bedeutet, dass es ein 2 x 2 Kästchen geben muss.
mit anderen Worten: du hast 3 Kästchen. das heißt, dass es auf jeden Fall ein 2 x 2 Kästchen geben muss, also dass z.B. a=? und b=? sein muss. Was muss denn jetzt c sein, damit das mit der Anzahl der Kästchen hinkommt? Hilft dir das so? guck dir nochmal an, wie du an die potenz des minimalpolynoms kommst, und was sie aussagt. mfg 20 PS: ich hoffe, ich verwirre dich nicht, meine Gedanken sind grade etwas konfus glaube ich *g* |
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| 31.07.2006, 18:04 | Janko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, erstmal danke für die Antwort. Also dann mal der Reihe nach. 1. Rang 0 gibt es doch aber nur bei der Nullmatrix oder habe ich den Rang falsch verstanden. Für mich war das immer die Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren. Also sobald ich einen Eintrag ungleich null habe, ist der Rang mindestens eins, richtig? 2. Natürlich kann nun meine Matrix durch wiederholtes Multiplizieren mit sich selbst irgendwann zur Nullmatrix werden, das sehe ich ein. Dies ist doch aber, wenn ich mir das recht überlege nur der Fall, wenn min. 2 Einträge in der Matrix unterschiedliche Vorzeichen haben, oder? Soll heißen, wenn ich eine Matrix habe, die nur positive (bzw. negative) Elemente und Nullen hat und sie Rang 1 hat, so kann ich sie nur mehrmaliges Multiplizieren mit sich selbst nicht auf Rang 0 bringen und wäre also in diesem Falle fertig, da sich der Rang nicht mehr ändert. Und ich hatte es so gelesen, dass mein Linearfaktor eben genau die Potenz k hat, bei der erstmals rg((A-1E)^k) = rg((A-1E)^k+1). Klar wenn es positive und negative Einträge gibt, so muss ich das überprüfen, wenn aber nur positive müsste doch Rang 1 ausreichen. 3. Das mit den Jordankästchen habe ich ja noch nicht so drin, versuche mal das ganze umzufomulieren, ob ich es verstanden habe. Also die Dimension des Eigenraums ist drei, da 4-1=3 (Dim der Matrix - rg(A-1E) = Dim des Eigenraums) ? So und nun wirds kniffelig. Was genau ist mit 3 Jordankästchen gemeint? Die Joranblöcke? Davon habe ich doch 4, da 1 4-facher Eigenwert ist, oder? Und warum folgt daraus, das es ein 2x2 Kästchen geben muss? Wie sieht so ein Kästchen aus? Ist mit dem 2x2 Kästchen in meinem Fall gemeint?? 4. Ja ich glaube die Aussage der Potenz des Minimalpolynoms ist mir noch nicht klar. Wo kann ich das gut nachschauen? Habe im Netz keine brauchbaren Infos gefunden und meine Bücher geben leider nchts her. Danke nochmals und nein es ist nicht konfus, nur noch etwas zu hoch für mich. Aber das schaffe ich schon noch mit eurer Hilfe. Gruß Janko |
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| 31.07.2006, 18:11 | Janko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Sache habe ich zur Bedeutung des Minimalpolynoms gefunden: Somit ist die Größe des größten zu » gehörenden Jordanblocks der Jordanschen Normalform von A identisch mit der Vielfachheit von » im Minimalpolynom p. Also die Vielfachheit von » im Minimalpolynom gibt mir die größe des größten Jordanblocks an? Wo wird da genau die Größe gemessen? Wenn es also eine Vielfachheit von 1 hat, wie kann ein Matrixblock dann 1 groß sein oder ist 1x1 gemeint? Und noch etwas zur geometrischen Vielfachheit (bisher habe ich ja die ganze Zeit die algebraische gemeint): Ist die gegeben durch rg(A-»E) ? also in meinem Fall 1? Danke und Gruß Janko |
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| 31.07.2006, 22:14 | Janko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Abend, ich habe noch einmal etwas gesurft und glaube jetzt die Begriffe Jordanblock und Jordankästchen kapiert zu haben. Hoffe es ist in Ordnung, wenn ich die Adresse poste, falls irgendwe später einmal diesen Beitrag liest und die gleichen Probleme hatte. Ansonsten bitte löschen oder Bescheid geben: http://www.matheraum.de/read?t=164350&v=t So nun zu dem, was ich glaube verstanden zu haben. Also ein Jordanblock besteht aus den Eigenwerten auf der Hauptdiagonale und Einsen auf der Nebendiagonale. So ich weiß nun in meinem Beispiel, dass ich einen Jordanblock der Größe 4 habe, also eine 4x4 Matrix. Auf der Hauptdiagonalen 1. So nun habe ich 3 Kästchen, dass heißt ich muss die Hauptdiagonalelemente so aufteilen, dass ich drei Jordanblöcke habe. Dabei muss es zwei 1x1 Matrizen und eine 2x2 Matrix geben. Wenn ich es richtig verstanden habe, ist es dabei egal, wie ich diese anordne. Bei den 1x1 habe ich ja keine Nebendiagonale und somit ergibt sich für mich folgendes Bild: Sehe ich das so richtig? Gruß Janko P.S.: Noch eine Frage am Rande. Mein Beispiel mit A wie unten definiert gibt in der Lösung als geometrische Vielfachheit 2 für EW 1 an. Das habe ich noch nicht verstanden. Meine Argumentation mit Rang 1 hat wohl irgendwo einen Fehler. Vielen Dank für Eure Mühe |
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| 31.07.2006, 23:31 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich antworte nur auf den letzten post, hab grad keine zeit für mehr... die JNF ist richtig. (Vorrausgesetzt, du hattest vorher alles richtig gerechnet, habs nicht nachgeprüft) die geometrische Vielfachheit ist gleich der Dimension des Eigenraumes, also in diesem Falle 3, und gleich der Anzahl der Kästchen... vielleicht hast du dich verrechnet? mfG 20 |
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| 01.08.2006, 07:32 | Janko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Morgen, super danke. Freut mich, dass sie richtig ist. Wie errechne ich denn die Dimension des Eigenraums? Gruß Janko |
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| 01.08.2006, 11:20 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
die dimension vom kern von A-xI, also n-rang(A-xI), wobei n das Format ist. mfg 20 |
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| 01.08.2006, 11:49 | Janko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ok, dann habe ich noch einen Denkfehler. Also n-rg(A-E)=3, d.h. mein Eigenraum hat die Dimension 3. Das ist aber nicht die Potenz von (x-1) im Minimalpolynom, oder?? Wie komme ich denn jetzt auf die Potenz des Linearfaktors? Gruß und Dank Janko |
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| 01.08.2006, 15:24 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
richtig, das ist nur die anzahl der kästchen.
du musst schauen, wie oft du A-xI potenzieren kannst, bis sich der rang nicht mehr ändert (in deinem fall 2 mal, denn beim zweiten mal ist der rang wieder gleich.) Das ist dann die Dimension des größten kästchens und damit die potenz im minimalpolynom. mfG 20 |
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| 01.08.2006, 23:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nur zur Anmerkung: man nennt diese Zahl auch den Riesz-Index des Eigenwertes. |
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