Vollständige Induktion mit Ungleichung

Neue Frage »

24.10.2008, 00:51

Marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

Vollständige Induktion mit Ungleichung

Hallo
Bitte um Hilfe. Springe hier gleich aussem Fenster böse

habe folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ...+ \frac{1}{2^{n}} ) \geq 1+n*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ind.-Anf.: für A1 = $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{ 2^{1}} \geq 1+1*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
re.S.: 1,5
li.S.: 1,5 (wahr!!)

Ind.-Ann.: Für alle $\begin{eqnarray*} k\in N gilt (1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ...+ \frac{1}{2^{k}} ) \geq 1+k*\frac{1}{2)} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ...+ \frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}} ) \geq 1+(k+1)*\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

nun bin ich auch schon am ende mit meinem latein... habe schon einige Sachen ausprobiert... Jedesmal bleibe ich dabei hängen die
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$ wegzubekommen... Habe allgemein Schwierigkeiten mit den Lösen von vollständigen Induktionen mit Ungleichungen.

Danke vorab.

24.10.2008, 01:55

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Ungleichung

Zitat:

Original von Marcus1
Ind.-Ann.: Für alle $\begin{eqnarray*} k\in N gilt (1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ...+ \frac{1}{2^{k}} ) \geq 1+k*\frac{1}{2)} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ...+ \frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}} ) \geq 1+(k+1)*\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Vielleicht schaust du dir nochmal genau das Prinzip der vollst. Induktion an, denn weder deine Induktionsannahme noch das, was angeblich zu zeigen ist, stimmt.

24.10.2008, 13:35

Marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Ungleichung
Tut mir Leid aber ich wüsste jetz nicht was bis dahin falsch wäre. Ich habe den Folgeschritt von K, also K+1, hinzuaddiert.

24.10.2008, 13:50

Marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Ungleichung
Ach und das k+1 kommt nich auf der rechten seite hin :
$\begin{eqnarray*} zu zeigen: (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ... + \frac{1}{2^{k} } + \frac{1}{2^{k+1}} ) \geq 1+ k*\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 14:33

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Ungleichung
Oh ha... unglücklich

Zu zeigen ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ...+ \frac{1}{2^{k}}+ \frac{1}{2^{k}+1} + \dots + \frac{1}{2^{k+1}} \geq 1+(k+1)\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und die Induktionsannahme lautet wie folgt:

Für ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ \dots + \frac{1}{2^{k}} \geq 1+k\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 15:16

Marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Ungleichung
Ok danke schon einmal... jetz habe ich aber das grundlegende Problem, dass ich keine Logik in den $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k+1} \end{eqnarray*}$ sehe, denn wenn ich für K= 0 in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ einsetze kommt zwar 1 heraus. Aber im Folgeschritt muss ich doch die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k+1} \end{eqnarray*}$ verwenden und dort die 2 eingesetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^2+1} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , welches jedoch in der Zahlenanordnung an Stelle K01 steht. verwirrt

So sieht gerade meine, wahrscheinlich etwas unlogische, Ansicht aus...

24.10.2008, 16:03

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ja ein ganz schwieriger Fall. Schreiben wir mal die linke Seite für die ersten paar $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auf, damit du endlich erkennst, dass beim Übergang $\begin{eqnarray*} k\to k+1 \end{eqnarray*}$ im Induktionsschluss nicht nur der Summand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$ , sondern insgesamt $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Summanden zur bisherigen Summe dazukommen:

$\begin{eqnarray*} k=0 &:& 1\\ k=1 &:& 1+\frac{1}{2}\\ k=2 &:& 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\\ k=3 &:& 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}+\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 19:08

marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du evtl. kurz erklären wie die 2/3 in k3 zustande kommen? Ich gehe irgendwie falsch an der ganzen sache heran...

24.10.2008, 19:15

marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

k=2 mein ich sorry bin schon ganz verwirrt...

24.10.2008, 19:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo siehst du hier 2/3 ? Du hast ein seltsames Talent, Dinge wegzulassen und dafür andere zu sehen, die gar nicht da sind. unglücklich

24.10.2008, 19:17

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du hast auch ein Augenproblem. Wo stehen da 2/3?

EDIT: Zu spaet. Big Laugh

24.10.2008, 19:38

marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich nerv wahrscheinlich schon aber ich möcht das jetz ehrlich verstehen!
meine Theorie ist jetzt folgende:

Für K=0 : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

Für K=1: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

Für K=2: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k+1} + \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

Für K03: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k+1} + \frac{1}{2^k+2} + \frac{1}{2^k+3} + \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

Es muss sich doch irgendeine gesetzmäßigkeit ergeben oder nicht?

24.10.2008, 19:40

marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

Oah 1/3 mein ich Hammer

24.10.2008, 20:14

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht tust du dich mit der Summenschreibweise leichter. Es ist zu zeigen, dass fuer alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2^k} \,\frac 1 j \;\;\ge\;\; 1 + \frac k 2. \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 17:59

Marcus1

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap Prinzip verstanden danke.
Um zum Beweis zu kommen:
$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k+1}+...+\frac{1}{2^{k+1}}\geq 1+\frac{k}{2} + \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Soweit noch richtig?
Bin mir nicht so sicher weil das ja nicht die vollständige Summe von K+1 ist.
Falls richtig müsste ich jetzt soweit umformen bis ich 1+ $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2} \end{eqnarray*}$ erhalte oder?

25.10.2008, 18:10

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Marcus1
Jap Prinzip verstanden danke.
Um zum Beweis zu kommen:
$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k+1}+...+\frac{1}{2^{k+1}}\geq 1+\frac{k}{2} + \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Soweit noch richtig?

Nope.

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion mit Ungleichung

Verwandte Themen