Schwere Polynomaufgabe

Neue Frage »

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
Schwere Polynomaufgabe
Da gibt es eine Aufgabe, die mich interessiert. Ich kann sie aber nicht lösen:

Man zeige: Es sei f: R->R unendlich oft differenzierbar, und zu jedem x in R gebe es einen Wert n(x), so dass die n(x)-te Ableitung von f im Punkte x gleich Null ist. Dann ist f ein Polynom.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, hab kein Beweis aber vielleicht ne Idee wie es gehen könnte.

Nach den Voraussetzungen gibt es einen Wert



für den



gilt. Eine Stammfunktion von kann

nur konstant sein. Eine Stammfunktion einer konstanten Funktion

ist wieder konstant oder ein Polynom vom grad 1 ... Eine

Stammfunktion eines Polynoms ist wieder ein Polynom.


Ich weiß jetzt allerdings nicht genau wie ich das begründe. (Hauptsatz der Analysis?)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Nach den Voraussetzungen gibt es einen Wert


im Vorwissen, dass wir ein Polynom vorliegen haben (was zu zeigen ist), wissen wir natürlich, dass diese Aussage stimmt.
Aber wie möchtest du das direkt beweisen, dass also diese n(x) nicht über alle Grenzen hinaus wachsen?
es könnte ja z.B. n(1)=1, n(2)=2 usf. sein.

Wenn du obiges bewiesen hast, ist der Rest klar, aber das ist gar nicht so einfach......
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem: wenn für das Paar (n_0, x_0) gilt:

kann trotzdem
sein.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Idee: Idee!

Eine Funktion, die nicht (auf einem Intervall) die Nullfunktion ist, hat höchstens abzählbar unendlich viele Nullstellen (abzählen: die erste rechts von 0, die erste links von 0, die zweite rechts von 0 etc.).
Nach abzählbar vielen Ableitungen (also Durchlaufen von abzählbar vielen Funktionen, also Nullstellenmengen), die nicht die Nullfunktion werden sollen, würden dann auch nur abzählbar viele Nullstellen erreicht, es sollen aber überabzählbar viele Werte (ganz IR) erreicht werden.

Kann man damit irgendwie weiterargumentieren!?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Teilidee: Man betrachte irgendein endliches Intervall mit und darauf dann



Nach Voraussetzung ist , daher ist mindestens eins dieser - sagen wir - überabzählbar, besitzt dann u.a. Häufungspunkte in usw. ...


Hab jetzt nicht weiter drüber nachgedacht, aber vielleicht hilft das jemand weiter.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED:

Ist ein Polynom gilt doch , d.h. aus folgt .

Dann muss aber f nicht unbedingt unendlich oft differenzierbar sein im Widerspruch zur Voraussetzung oder?

Demnach wäre die Menge endlich und besäße ein Maximum.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz folgen kann ich deinem Einwand jetzt nicht.
Erst mal um das klarzustellen: auch für das Polynom f(x)=0 kann ich n(i)=i wählen für alle i aus IN. Steht ja nirgendwo was von minimalem n(x).
Naja, sei ab sofort n(x) je minimal gewählt.

Dann folgt aus der Unendlichkeit der Menge der n(x) tatsächlich, dass f kein Polynom ist.
Aber inwiefern soll das ein Widerspruch zur Voraussetzung sein?
Das f nicht unendlich oft diffbar sein kann, hast du noch nicht gezeigt!?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ich versteh grad auch nicht was ich mir dabei gedacht habe.

Aber ich hab gezeigt das die Aussage oben für nicht erfüllbar ist.

Damit bleibt doch nur der Fall übrig.

Oder wie, oder was ^^
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Aber ich hab gezeigt das die Aussage oben für nicht erfüllbar ist.

wo? wie genau?
welche "Aussage oben"?

Bitte genauer, klingt nach ganz gutem Ansatz. Danke.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal sauber hingeschrieben (mir hilft das immer):

Ist unendlich oft differenzierbar und



dann ist ein Polynom.



Sei das kleinste n für das gilt und sei .

Ich zeige jetzt das unter der Voraussetzung die Aussage falsch ist.

Erstmal gilt für jedes Polynom .

Da die Elemente von minimal gewählt sind gibt es keins das größer als sein kann.

Damit folgt . Das heißt aber auch : Ist kann g kein Polynom sein.



Man kann also bei den Voraussetzungen mit aufnehmen.



Ich schätze jetzt muss noch gezeigt werden das und das es ein gibt mit .
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Ich zeige jetzt das unter der Voraussetzung die Aussage falsch ist.

Das ist richtig, aber:

Möglicherweise bedingt die Existenz eines für jedes , dass gerade dieser Fall gar nicht eintreten kann!

Das kannst du natürlich ganz leicht entkräften, indem du konkret eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit angibst, wo dennoch alle existieren... smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht war das auch dein Einwand, Arthur, ich habe deinen Post nicht ganz verstanden.
Wenn ich dich einfach wiederholt haben sollte, dann verzeih mir.





Zitat:
Original von irre.flexiv
Ich zeige jetzt das unter der Voraussetzung die Aussage falsch ist.

[.......]

Man kann also bei den Voraussetzungen mit aufnehmen.

Wer hat dir denn dieses Beweisverfahren beigebracht!?

Grob:
"Gelte X. zz: Es gilt Y.
Da, falls Z gilt, Y nicht gilt, nehmen wir Nicht-Z noch zu den Voraussetzungen dazu."

Das ist eine falsche Beweisidee, richtig müsste man zeigen, dass aus X eben Nicht-Z folgt (und damit der Fall Z gilt, also gilt die Aussage nicht nicht eintreten kann).

Gruß, Jochen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das habe ich gemeint. Gut, dass du es in aussagenlogischen Begriffen nochmal auf den Punkt gebracht hast. Freude
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt das ist Schwachsinn, schade. traurig


Edit:

Aber auf meinem Weg kann man zumindest die Aussage beweisen.

Dann müsste man "nur noch" zeigen das aus:
1. f: R -> R unendlich oft differenzierbar
2. für jedes x gibt es ein n mit ...

folgt



verwirrt
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub da hilft LOED's Idee weiter.

Angenommen .

Dann muss es zu jedem n ein m>n geben so daß Nullstellen hat und .
(abzählbar viele Ableitungen von f haben Nullstellen)

Jede Ableitung von f kann höchstens abzählbar viele Nullstellen haben.

Damit gibt es nur abzählbar viele x in R für die ein n(x) existiert.

Da R überabzählbar ist muss es ein geben für das kein n(x) existiert.

Widerspruch.


Was haltet ihr davon?
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hat denn eine unendlich oft differenzierbare Funktion f:R->R, die nicht die Nullfunktion ist, nur abzählbar viele Nullstellen?

Gruß
gast1
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Aber auf meinem Weg kann man zumindest die Aussage beweisen.

Wieso das? Du hattest doch gezeigt, daß

gilt.
Dann muß aber doch nicht die andere Richtung gelten?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nur geschrieben das man die Aussage beweisen kann. Jedenfalls glaub ich das.

Und zwar so wie ich es vorhin angedeutet habe.

Annahme :

z.z. und es gibt ein mit .

Dann hätte man .
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Um es mal auf den Punkt zu bringen: es sowas von trivial, dass

gilt.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Warum hat denn eine unendlich oft differenzierbare Funktion f:R->R, die nicht die Nullfunktion ist, nur abzählbar viele Nullstellen?

war ja nur ein Vorschlag oben mit folgender Begründung (dazu darf die Funktion auch nicht auf einem (un)endlichen Intervall die Nullfunktion sein natürlich):
Für zwei verschiedene Nullstellen x0, x1 gilt ja eindeutig x0<x1 oder x1<x0, also sind die NSTen auf dem Zahlenstrahl angeordnet und können da abgezählt werden, indem man irgendeine Nullstelle als 0 definiert und rechts davon durchzählt "1,2,..." und nach links durchzählt mit "-1,-2,..." und bekommt damit eine Injektion nach Z.

Habe ich denn einen Denkfehler, gast1?
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte denn eine angeordnete Teilmenge von R abzählbar sein?
Sowas wie "die kleinste Nullstelle rechts von 0" muss ja keinen Sinn ergeben.
Mit dieser Methode kannst du ja nicht einmal die Menge
{1/n aus R| n aus N} abzählen.
Bzw. würde die Methode funktionieren, so könntest du damit jede Teilmenge von R abzählen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Bzw. würde die Methode funktionieren, so könntest du damit jede Teilmenge von R abzählen.

Stimmt, danke für den Hinweis, gast 1.
Das war dann völliger Unsinn, vergesst, was ich oben als Grundidee vorgeschlagen habe.



(Nachtrag: aber wenigstens dein {1/n | n aus IN} kann ich damit abzählen Augenzwinkern )
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also basierend auf dieser Idee ist es mir bisher lediglich gelungen, für jedes Intervall , a<b, die Existenz eines sowie eines Punktes mit für alle nachzuweisen. Dummerweise darf das noch vom Intervall abhängen, sonst wär's das gewesen.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

ehm wie soll eigentlich eine reelle Funktion aussehen die unendlich oft differenzierbar ist und überabzählbar viele Nullstellen hat? Abgesehen von der Nullfunktion natürlich verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Um es mal auf den Punkt zu bringen: es sowas von trivial, dass

gilt.

Hmm. Für diese Richtung:

habe ich hier noch keine schlüssige Begründung gesehen. Oder? verwirrt

Mal was anderes: hast du dir diese Aufgabe ausgedacht oder ist die von jemand anderem, der die Lösung kennt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
ehm wie soll eigentlich eine reelle Funktion aussehen die unendlich oft differenzierbar ist und überabzählbar viele Nullstellen hat?

z.B. so:

gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur Dent, warum wäre es das sonst gewesen?

In einem Chat hat jemand vorgeschlagen, auf Deinen Ansatz den Baireschen Kategoriensatz anzuwenden:
Die M_n sind abgeschlossene Mengen, die [a,b] überdecken, also ein nichtleeres Inneres haben.
Also muss bereits ein M_k nichtleeres Inneres haben und zum Beispiel das abgeschlossene Intervall [c,d] enthalten. Auf diesem stimmt f dann mit einem Polynom vom Grad <=k überein.
Danach soll es dann wie folgt weiter gehen:
Zitat:

<Sturgeon> oh i recall now. that way you obtain something like this: A cantor set such that on every connected component of its complement, f is a polynomial
<Sturgeon> now you have to show that such thing must be a polynomial
<Polytope> "obviously" you couldn't have different polynomials on different components
<Sturgeon> yes, but that "obviously" is somewhat ticky imo

Ich kann damit nicht wirklich etwas anfangen, aber die meinten, sie hätten diese Aufgabe so schon einmal gelöst, auch, wenn es eine Weile her ist.
Vielleicht bringt es euch ja etwas.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
In einem Chat hat jemand vorgeschlagen, auf Deinen Ansatz den Baireschen Kategoriensatz anzuwenden:

Kenne ich leider nicht ... oder hab ihn vielleicht mal gekannt, und wieder vergessen.

Wenn ich für ein festes in jedem Intervall eine Nullstelle von finde, dann liegen die Nullstellen von dicht in , wegen der Stetigkeit dieser Ableitung ist sie dann identisch Null. Dazu reicht aber übrigens schon meine Ursprungsidee, dazu brauche ich gar nicht meinen letzten Beitrag, wie ich gerade merke. Augenzwinkern
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bairesche Kategoriensatz sagt folgendes:
Ist X ein nichtleerer, lokalkompakter Hausdorffraum und sind (X_n) abzählbar viele abgeschlossene Teilmengen von X, deren Vereinigung einen inneren Punkt hat, so hat bereits eine der Mengen X_n einen inneren Punkt.
Insbesondere lässt sich dies auf X=R anwenden und man erhält das Resultat aus meinem vorigen Beitrag.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's mit registrieren? Etwas Kompetenz können wir hier immer gut gebrauchen, wie du an der Stümperei hier im Thread merkst. Augenzwinkern
Mit "gast1" redet es sich so schlecht...
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Stimmt natürlich, aber auch wenn f überabzählbar viele Nullstellen besitzt, so muss es doch ein Intervall geben in dem höchstens abzählbar viele Nullstellen von f liegen (falls f /= 0). Oder irre ich mich? Wenn nicht greift mein Argument von oben und es liegt ein x in dem Intervall für das kein n(x) existiert.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ansonsten würde die Funktion in jedem Intervall nur abzählbar viele Nicht-Nullstellen besitzen. Dann kann f aber nicht mehr stetig sein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also bevor ich jetzt in Urlaub gehe, werfe ich das mal in den Ring:



Mit der Ergänzung f(x) = 0 für x <= -1 bzw x >= 1 ist die Funktion beliebig oft differenzierbar. Und meine ganz private Meinung ist, daß es zu jedem x ein n gibt mit . Augenzwinkern

EDIT: So ein Mist. War wohl nichts. (siehe nächsten Beitrag von Arthur Dent) traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und meine ganz private Meinung ist, dass das nicht stimmt:

Jede Ableitung von f hat im Intervall [-1,1] nur endlich viele Nullstellen, damit hat sich das schon erledigt.

Aber trotzdem schönen Urlaub. Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic....ynomial&t=47458

Kapier ich aber nicht...
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich hab den Beweis für meine letzte Vermutung gefunden.

Sei stetig und .

Angenommen es gibt kein Intervall in dem nur höchstens abzählbar viele Nullstellen liegen.

Nach Voraussetzung gibt es ein mit .

Sei nun so gewählt das .

Wegen f stetig existiert ein so daß folgendes gilt

Nach Annahme gibt es eine Nullstelle y in der Umgebung von so daß .

Es folgt .

Das ist ein Widerspruch zur Wahl von . Die Annahme ist also widerlegt und der ganze Schmu von oben stimmt doch.

Einwände? Wink



Edit:
Man kann sogar verschärfen. Annahme: Es gibt kein Intervall in dem nur endlich viele Nullstellen von f liegen. Der Beweis ist der selbe.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Um den Rest nochmal sauber hinzuschreiben:

Angenommen .

Dann gibt es zu jedem n ein m>n so daß Nullstellen hat und .

Wegen dem Post gerade gibt es ein Intervall in dem f endlich viele Nullstellen hat.

Da es nur abzählbar viele Ableitungen von f gibt können in diesem Intervall auch nur
abzählbar viele Nullstellen von f bzw. von einer Ableitung von f liegen.

Da R überabzählbar ist gibt es also ein für das kein n(x) existiert.

Widerspruch.




Muss also nur noch gezeigt werden.
Ich glaub WebFritzi wollte das machen oder? =)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »