Bestimmen ganzrationaler Funktionen

24.10.2008, 18:28

Scott

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Bestimmen ganzrationaler Funktionen

Eine Parabel 3.Ordung hat in P(1;4)eine Tangente parallel zur x Achse und in Q(0;2) ihren Wendepunkt.

Ges . Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)= a*x^{3}+ b*x^{2} +c*x+d \end{eqnarray*}$

Also d =2
und Punkt P ist ein extrema da Steigung in 1 Ableitung Null sein muss

Und weiter?

24.10.2008, 18:29

Jacques

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Hallo,

Na ja, ein paar zusätzliche Gleichungen wirst Du bestimmt aufstellen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ergibt sich, wenn P(1|4) ein Punkt des Graphen ist?

24.10.2008, 18:30

Q-fLaDeN

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[Artikel] Steckbriefaufgaben

Nur nebenbei, sollte hilfreich für dich sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2008, 18:37

Scott

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Na klar ist es ein Punkt vom Graphen,Extrempunkt? Aber?

24.10.2008, 18:38

Scott

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Sorry der Steckbrief steht auch so ungefähr im Mathebuch unglücklich

unglücklich

24.10.2008, 18:40

Jacques

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Wenn ein Punkt P(a|b) auf dem Graphen der Funktion f liegt, dann gilt f(a) = b.

OK?

Und welche Gleichung erhältst Du aus der Tatsache, dass die Tangente in diesem Punkt parallel zur x-Achse ist?

Nur um es nochmal zu sagen: Um alle vier Unbekannten a, b, c und d bestimmen zu können, brauchst Du vier Gleichungen.

Du hast bisher eine: d = 2

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24.10.2008, 18:46

Scott

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f `(1)=0

24.10.2008, 18:47

Jacques

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Genau.

Freude

Und wenn Du das mit der Funktionsgleichung formulierst?

Außerdem fehlt noch die Gleichung zum Punkt P(1|4).

24.10.2008, 18:57

Scott

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$\begin{eqnarray*} f(4)=a*1^{3} +b*1^{2} +c*1+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4)=a+b+c+2 \end{eqnarray*}$

und 1.Ableitung

24.10.2008, 18:58

Scott

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f `(1) = 0

$\begin{eqnarray*} 0= 3a+2b+c \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 19:01

Jacques

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Die Gleichung zu f'(1) = 0 stimmt.

Aber die zum Punkt noch nicht: Wenn P(a|b) ein Punkt des Graphen von f ist, dann gilt f(a) = b.

24.10.2008, 19:03

Scott

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hab doch für alle x die 1 eingesetzt
was stimmt da nicht?

24.10.2008, 19:06

Jacques

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Wenn P(1|4) ein Punkt des Graphen ist, dann gilt f(1) = 4.

Und das ist gleichwertig mit

$\begin{eqnarray*} a + b + c + d = 4 \end{eqnarray*}$

Du hast geschrieben

$\begin{eqnarray*} f(4) = a + b + c + d \end{eqnarray*}$

Damit kommt man ja nicht weiter.

Du brauchst übrigens nicht jetzt schon den für d ermittelten Wert einzusetzen. Das kommt später, erstmal solltest Du alle vier Gleichungen aufstellen.

Welche drei hast Du bis jetzt? Und wie lautet die vierte?

24.10.2008, 19:14

Scott

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Versteh ich nicht bisher hab ich nur die 2 ,weil Schnittpinkt mit y-Achse und mehr noch nicht.
Amsonst hab ich noch ne 4 und eine 0 definiert-oder?
NA die 4 Zahl über den Wendepunkt?

Nullstellen der 3.Ableitung eingesetzt in der gesuchten Funktion sin der Wendepunkt (0;2)

$\begin{eqnarray*} 2=a*0^{3} +b*0^{2} +c*0+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=0+0+0+d \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 19:21

Jacques

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Moment, jetzt geht es durcheinander.

Q(0|2) ist ein Punkt des Graphen, also gilt

$\begin{eqnarray*} f(0) = 2 \ \Longleftrightarrow\ d = 2 \end{eqnarray*}$

Dies ist Gleichung 1

P(1|4) ist ein Punkt des Graphen, also gilt

$\begin{eqnarray*} f(1) = 4 \ \Longleftrightarrow\ a + b + c + d = 4 \end{eqnarray*}$

Dies ist Gleichung 2

Die Tangente im Punkt P(1|4) hat die Steigung 0, also gilt

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(1) = 0 \ \Longleftrightarrow\ 3a + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

Dies ist Gleichung 3

Im Punkt Q(0|2) liegt ein Wendepunkt, also gilt

$\begin{eqnarray*} ?? \end{eqnarray*}$

Dies ist Gleichung 4

24.10.2008, 19:21

Scott

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wart mal kurz,gerade alles bissle Blödsinn von mir

24.10.2008, 19:26

Scott

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Also 4.Gleichung über die 2.Ableitung

die lautet

f ``(x)=6a*x+2b

24.10.2008, 19:27

Jacques

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Zitat:

Original von Scott

f ``(x)=6a*x+2b

Das ist doch nur die Funktionsvorschrift der zweiten Ableitung. Aber damit setzt Du noch nicht die Wendepunkt-Eigenschaft um.

24.10.2008, 19:31

Scott

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aber Nullstellen in der 3.Ableitung sind doch meine Wendepunkte (also die x Werte dazu) in der gesuchten Funktion?

24.10.2008, 19:35

Jacques

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Zitat:

Original von Scott

aber Nullstellen in der 3.Ableitung sind doch meine Wendepunkte (also die x Werte dazu)

Das ist so nicht korrekt formuliert (wobei es hier eigentlich keine Rolle spielt).

Richtig ist: Wenn an einer Stelle a ein Wendepunkt vorliegt, dann gilt f''(a) = 0. Die Umkehrung gilt nicht allgemein.

Aber Du hast bisher auch nur die Funktionsvorschrift der zweiten Ableitung aufgeschrieben.

24.10.2008, 19:38

Scott

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Wartmal-nun bin ich komplett durcheinander,
Meint natürlich die Nullstellen der 2.Ableitung geben die Wendpunkte an

24.10.2008, 19:40

Jacques

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Sorry, das mit der Ableitung habe ich nicht gesehen.

Aber die Aussage ist falsch -- wie ich schon geschrieben habe. Und sie würde Dich hier auch nicht weiterbringen.

Nochmal: Wenn P(a|b) ein Wendepunkt ist, dann gilt f''(a) = 0. Welche Gleichung erhältst Du also?

24.10.2008, 19:43

Scott

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Meine Wendepunkt ist doch aber Q mit (0;2)
der Punkt P (1;4) ist doch ein Extrema

deshalb versteh ich deine Frage nun nicht

24.10.2008, 19:51

Jacques

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Ah, Du dachtest, ich rede jetzt von dem Punkt P. Nein, ich habe „P“ einfach als Variable für irgendeinen Punkt genommen.

Also umformuliert:

Wenn ein Punkt M(a|b) ein Wendepunkt des Graphen einer Funktion g ist, dann gilt g''(a) = 0.

Welche Gleichung erhältst Du also, wenn Du den Satz auf die konkrete Funktion anwendest?

24.10.2008, 19:58

Scott

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Sorry Jacques,kann dir irgendwie nicht mehr folgen...
hab doch die 2.Ableitung hingeschrieben
der punkt ist (0;2)

f``(0)=2

2=6*a*0+2b

??

24.10.2008, 20:05

Jacques

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Zitat:

Original von Scott

hab doch die 2.Ableitung hingeschrieben

Ja, aber es ist doch nicht die Funktionsvorschrift der zweiten Ableitung von Interesse, sondern was es für die Vorschrift von f bedeutet, wenn Q ein Wendepunkt ist.

Zitat:

Original von Scott

der punkt ist (0;2)

f``(0)=2

Das bitte sofort wieder vergessen! Das ist ein typischer Fehler.

Wenn M(a|b) ein Wendepunkt ist, dann gilt f''(a) = 0.

Und hier angewandt:

Weil Q(0|2) ein Wendepunkt ist, gilt f''(0) = 0

So, und jetzt nur noch f''(0) durch den konkreten Term ersetzen.

24.10.2008, 20:11

Scott

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Danke für deine Mühen-aber ich streiche nun die Segel...
Ich versuche es morgen früh nochmal
Erstnochmal Danke

24.10.2008, 20:15

Jacques

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OK, ich schreibe Dir derweil eine Auflistung der Gleichungen:

24.10.2008, 20:19

Jacques

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Gleichung 1

$\begin{eqnarray*} d = 2 \end{eqnarray*}$

(ergibt sich daraus, dass Q(0|2) ein Punkt des Graphen ist)

Gleichung 2

$\begin{eqnarray*} a + b + c + d = 4 \end{eqnarray*}$

(ergibt sich daraus, dass P(1|4) ein Punkt des Graphen ist)

Gleichung 3

$\begin{eqnarray*} 3a + 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$

(ergibt sich daraus, dass die Tangente in P waagrecht verläuft)

Gleichung 4

$\begin{eqnarray*} 2b = 0 \end{eqnarray*}$

(ergibt sich daraus, dass Q ein Wendepunkt ist)

Soweit nachvollziehbar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2008, 23:49

Scott

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das ganze lies mir keine ruhe,dank deiner Hilfe
bin ich auf folgende Funktion gekommen...

f(x)= $\begin{eqnarray*} -x^{3} +3x+2 \end{eqnarray*}$

hab die Funktion mal mit CASIO-Table funktion und Hilstools überprüft-sollte stimmen
nun versuch ich mich an der Probe-und scheitere dabei kläglich
Nullstellen der Funktion und Nullstellen 1.Ableitung?
HAst da morgen nochmal Zeit?

24.10.2008, 23:58

Jacques

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Also das Ergebnis ist korrekt. Freude

Freude

Zitat:

Original von Scott

nun versuch ich mich an der Probe-und scheitere dabei kläglich

Meinst Du damit, dass Du prüfst, ob die Funktion wirklich die geforderten Eigenschaften hat? Wo klappt etwas nicht?

Zitat:

Original von Scott

Nullstellen der Funktion und Nullstellen 1.Ableitung?

Ist das die nächste Aufgabe?

Zitat:

Original von Scott

HAst da morgen nochmal Zeit?

Ja, ansonsten sind ja auch genügend andere Helfer im Forum. smile

smile

Bis morgen. Wink

Wink

25.10.2008, 00:14

Scott

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ja versuche ich..
als erstes die Nullstellen der funktion
f(x)= $\begin{eqnarray*} - x^{3}+3x+2 \end{eqnarray*}$
weiß die NST sind x=(-1) und x= 2-aber wie ausrechnen??

25.10.2008, 00:21

Jacques

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Du musst zuerst eine Nullstelle x0 „erraten“. Dann kannst Du den Funktionsterm durch den Linearfaktor x - x0 dividieren (--> Polynomdivision).

Du erhältst dann einen quadratischen Term, dessen Nullstellen Du dann einfach über eine der beiden Lösungsformeln oder die Methode der quadratischen Ergänzung herausfindest.

25.10.2008, 00:31

Scott

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mhh polynomdivision?? lieber nicht
ok -1 durch probieren
da ganzer teiler von 2
und nun Horner?
ich weiß-is ne leichte Aufgabe -geht ums verstehen-für mich

25.10.2008, 00:39

Jacques

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Also beim Horner-Schema kann ich Dir nicht weiterhelfen.

Hast Du den Term schon aufspalten können?

25.10.2008, 00:41

Scott

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nein-und null chance unglücklich

unglücklich

25.10.2008, 00:45

Jacques

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Also dann würde ich eines der beiden Verfahren später nochmal wiederholen und hier erstmal weiterrechnen:

$\begin{eqnarray*} - x^{3}+3x+2 = (-x^2 + x + 2)(x + 1) \end{eqnarray*}$

Kommst Du auf die Nullstellen des quadratischen Terms?

25.10.2008, 00:47

Scott

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ohh dass ist noch schlimmer-habs mal mit poly division versucht
hab mit( x-1) geteilt und komm dann auf

$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+2 \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 00:49

Jacques

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Du musst aber durch x minus x0 teilen.

Also bei

$\begin{eqnarray*} x_0 = -1 \end{eqnarray*}$

dividierst Du durch

$\begin{eqnarray*} x - (-1) = x + 1 \end{eqnarray*}$

Daher der Vorzeichenfehler.

25.10.2008, 00:50

Scott

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mhh kommt raus??

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