Einheiten aus Ring

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten aus Ring
Man beschreibe die Gruppe der Einheiten für jeden der folgenden Ringe.

a)

b)

c)

hi! könnt ihr mir hierbei bitte helfen??

Also Z/ 12 Z bedeutet doch, dass das der Ring der ganzen Zahlen ist außer den Vielfachen von 12, oder??
und die Einheiten sind die Elemente, die ein Inverses haben...??
aber wie kann ich die konkret bestimmen?
Ich weiß nur, dass es bei R = Z 1 und -1 ist...

...viele grüße
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ohoh, schau dir noch mal genauer an, was genau ist.
Wieso sollten das alle ganzen Zahlen außer den 12-Vielfachen sein? das wäre doch nicht mal abgeschlossen bzgl. + und *.

Das ist ein Faktorring, Z wird nach dem Ideal 12Z=Menge aller 12-Vielfachen fatorisiert.
Z/nZ besteht aus n Restklassen und zwar die Restklassen von 0,1,...,n-1.

Einheiten in Z/nZ sind genau die Restklassen der Elemente, die zu n teilerfremd sind.

Aber schau dir noch mal genauer an, wie du mit dem Z/nZ umzugehen hast.
 
 
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ohaa, dankeschön für deine erklärung, da hatte ich ja ein völlig falsches bild davon...

also ich check den unterschied zu z.B. noch nicht. das sind doch die zahlen {0,1,2,3,4}
und da 5 = Primzahl(potenz) ist es ein körper und rechnen kann man damit ganz "normal", teilt das ergebnis durch 5 - grob gesagt...

du sagst Z/nZ besteht aus Restklassen... was kann ich mir da drunter vorstellen? was sind restklassen?

Ist Faktorring das gleiche wie faktorieller Ring? darin kann man doch alles Elemente eindeutig in irreduzible Faktoren zerlegen ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
also ich check den unterschied zu z.B. noch nicht. das sind doch die zahlen {0,1,2,3,4}

ich vermute, dass nur eine Kurzschreibweise für ist.
Das sind die "Zahlen" 0,1,... halte ich aber für Missverständnis, was ist eine "Zahl" in dem Sinne?

Zitat:
und da 5 = Primzahl(potenz) ist es ein körper und rechnen kann man damit ganz "normal", teilt das ergebnis durch 5 - grob gesagt...

nein, 5 muss echtprim sein, damit das ein Körper wird; was du genau mit durch 5 teilen meinst, weiß ich nicht
Du kannst das ganze ale Restrechnung bei teilen durch 5 betrachten, ja.

Zitat:
du sagst Z/nZ besteht aus Restklassen... was kann ich mir da drunter vorstellen? was sind restklassen?

hast du überhaupt schon mal was von Faktorgruppen (Gruppe faktorisiert nach Normalteiler) gehört?

Zitat:
Ist Faktorring das gleiche wie faktorieller Ring? darin kann man doch alles Elemente eindeutig in irreduzible Faktoren zerlegen ?

Hat damit gar nix zu tun.
Ein Faktorring ist ein Ring, der entsteht, wenn du einen Ring nach einem Ideal faktorisierst. Die Ringstruktur..... ähnlich wie bei der Faktorgruppe.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

imho ist Restklasse ein viel einfacherer Begriff als Faktorring, Ideal usw. (viel weniger Theorie zum Verständnis nötig).

Schau mal hier, kingskid.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

many THX für die erklärungen und den link...

...achsoo, ich glaub ich hab die begriffe etwas durcheinander gebracht, bei uns heißt der faktorraum wohl quotientenraum...

also das heißt Z/nZ ist die Menger der Zahlen, die bei Division durch n den gleichen Rest haben? aber die Elemente der Menge Z/nZ sind ja eigentlich selbst wieder Mengen, oder?

hm, nur mit den Einheiten, bei wiki war ein Bsp.:
"Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1,3,7,9."
nur warum?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kingskid,

dazu reicht eine kleine zahlentheoretische Überlegung: ist genau dann eine Einheit, wenn gilt: . Den Grund dafür liefert das Lemma von Bachet (modulo n betrachtet). Weiterhin sollte dich auch der erweiterte euklidische Algorithmus interessieren.


Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
imho ist Restklasse ein viel einfacherer Begriff als Faktorring

Hallo Ben,
Die beiden Begriffe bezeichnen natürlich was ganz anderes Augenzwinkern ,
aber "einfacher"? eigentlich nein, denn imho eigentlich kommt der Begriff "Restklassenrechnung" ja gerade von Faktorisierungen (also der Bildung eines Faktordingsbums bzw. eines Quotientendingsbums).
Das ist also eigentlich Anwenden eines Spezialfalles von Restklassen, die man (weil es die Zahlentheoretiker mögen) auch einfach "Restklassen" nennt.
Da hier von Einheiten und so die Rede ist, finde ich aber, dass man hier die algebraische Struktur Ring sowieso braucht und für eine Mathematikerin kann es nie verkehrt sein, hinter dem Spezialfall Z/nZ nicht nur "Rechnen" zu sehen, sondern eben gerade diese Theorie der Faktorisierung.




@Michi:
hatte ich doch auch schon (exakter) geschrieben:
Zitat:
Einheiten in Z/nZ sind genau die Restklassen der Elemente, die zu n teilerfremd sind.

Insbesondere ist nämlich dieses Gerede von "Zahlen" in dem Restklassenring sehr missverständlich.
Wenn ich an die "Zahl" 5 denke, dann soll 5+5 auch immer 10 geben usf.
Im "Element" 5 de Restklassenringes muss das eben nicht so sein.......

Ich finde die Theorie dahinter nicht schwer und dann wird das ganze doch gleich viel logischer.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Original von Ben Sisko
imho ist Restklasse ein viel einfacherer Begriff als Faktorring

Hallo Ben,
Die beiden Begriffe bezeichnen natürlich was ganz anderes Augenzwinkern ,


Ich meinte auch den jeweiligen Zugang zum Thema.

Zitat:
Original von LOED
aber "einfacher"? eigentlich nein, denn imho eigentlich kommt der Begriff "Restklassenrechnung" ja gerade von Faktorisierungen (also der Bildung eines Faktordingsbums bzw. eines Quotientendingsbums).


Doch, imho einfacher. Um zu verstehen was eine Restklasse ist, muss ich nur die modulo-Rechnung verstehen. Und mit diesem Wissen im Hinterkopf ist es dann viel einfacher das abstraktere Thema Quotientenraum/Faktorraum anzugehen/zu verstehen.

Zitat:
Original von LOED
Da hier von Einheiten und so die Rede ist, finde ich aber, dass man hier die algebraische Struktur Ring sowieso braucht und für eine Mathematikerin kann es nie verkehrt sein, hinter dem Spezialfall Z/nZ nicht nur "Rechnen" zu sehen, sondern eben gerade diese Theorie der Faktorisierung.


Ja, aber in der (aus meiner Sicht) richtigen Reihenfolge.

Davon abgesehen: Du erzählst ja auch regelmäßig Schülern was von Einheiten etc., ob sie wollen oder nicht Big Laugh Augenzwinkern
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi, ... also ich find beides nicht so ganz easy...unglücklich
deshalb würd ich mich freuen, wenn ihr mir das noch erklären könntet,wie man mit diesen Mengen Z/nZ umgehen sollte...
hab zwar schon versucht das in ein paar bücher nachzuschauen, aber hat mir nicht wirklich geholfen traurig


@therisen: danke für deine erklärung. den euklidischen algo kenn ich.
aber wenn ggT(a,n) = 1 gilt, dann versteh ich dieses bsp.:"Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1,3,7,9"
noch nicht so ganz. klar ist der ggt(1,3,7,9 , 10) = 1 , aber man könnte doch noch mehr zahlen hinzunehmen und der ggt wäre immer noch 1... ??

viele grüße
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
@therisen: danke für deine erklärung. den euklidischen algo kenn ich.
aber wenn ggT(a,n) = 1 gilt, dann versteh ich dieses bsp.:"Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1,3,7,9"
noch nicht so ganz. klar ist der ggt(1,3,7,9 , 10) = 1 , aber man könnte doch noch mehr zahlen hinzunehmen und der ggt wäre immer noch 1... ??


Du musst ggT(a,n) für jedes a einzeln betrachten, also ggT(1,10)=1, ggT(3,10)=1 etc.
Und das gilt eben für ggT(2,10), ggT(4,10), ggT(5,10), ggT(6,10), ggT(8,10) nicht.

Hast du den Zusammenhang von ggT und Einheit verstanden?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
klar ist der ggt(1,3,7,9 , 10) = 1 , aber man könnte doch noch mehr zahlen hinzunehmen und der ggt wäre immer noch 1... ??


Lol. Der größte gemeinsame Teiler von 1 und jeder anderen Zahl ist immer 1 Augenzwinkern Man betrachtet ja auch nur . Dabei ist von der Aufgabenstellung her vorgegeben (oder als fest zu betrachten). Dich interessieren alle a, die diese Eigenschaft erfüllen. Ist dir klar, warum dies ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für eine Einheit ist?

EDIT: Mist, Ben war schneller.

Gruß, therisen
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

achso... und warum betrachtet man nur zahlen von 1 bis 10`?
was ist z.B. mit 13? ggt(10,13) = 1 ?

neh, der zusammenhang ggt und einheit ist mir noch nicht wirklich klar... mir kam das nur bekannt vor von der definition "teilerfremd" ( ggt(a_i) = 1)

und hab ich das mit den elementen der menge richtig verstanden, dass z.B. Z/3Z = { a + 3b | a,b aus Z } ?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
achso... und warum betrachtet man nur zahlen von 1 bis 10`?


Da musst du dir die modulo-Rechnung nochmal anschauen. modulo 10 ist 13 dasselbe wie 3 ("sie sind in derselben Restklasse").

Die Restklassen hier sind nämlich



...


Mit diesen Restklassen rechnet man nun in . Dazu kann man sich einen beliebigen (!) Vertreter aus der Restklasse nehmen und damit rechnen wie in und anschließend rechnet man modulo 10. Der Witz an der Sache ist gerade, dass das Ergebnis unabhängig von der Wahl des Vertreters ist. Und warum? Weil der Teil +10k beim mod10-rechnen wegfällt.

Alles klar?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
neh, der zusammenhang ggt und einheit ist mir noch nicht wirklich klar... mir kam das nur bekannt vor von der definition "teilerfremd" ( ggt(a_i) = 1)


Nach dem Lemma von Bachet kannst du den ggT zweier "Zahlen" (bei dir sind es Repräsentanten aus der Restklasse) a und b als Linearkombination darstellen. Kurz: mit geeigneten .
Den Rest überlasse ich dir Augenzwinkern

Gruß, therisen
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Bachet? Meinst du vielleicht Bézout?

edit: ups, fehler, bitte ignoriert was ich gepostet habe smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, warum Fehler? http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_B%C3%A9zout ist ja eigentlich genau das, was ich auch ausgesagt habe. Ich kann hier eine Referenz angeben: http://www.gefilde.de/ashome/vorlesungen...o_abschn23.html

Oftmals ist es ja in der Mathematik so, dass Lemmata falsch oder uneindeutig zugeschrieben werden. Offenbar ist das hier auch der Fall verwirrt Weißt du genaueres?


EDIT: Ich habe gerade die Geburtsdaten der beiden genannten Mathematiker verglichen: In der Tat ist Bachet 149 Jahre vor Bézout geboren, was also eher meine Zuweisung des Lemmas rechtfertigt (vermutlich hast du das auch herausgefunden).

Gruß, therisen
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn das Lemma von Bézout so:



mehr kann ich dazu nicht sagen smile
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi danke für eure hilfe!

@ Ben, danke dass du das mal so aufgeschrieben hast, jetzt kann ich mir das schon besser vorstellen smile
nur was ist mit den negativen Zahlen? gehört in die erste Menge dann auch ... -30, -20, -10... dazu?

@ therisen, danke für den beweisanfang, bin leider noch nicht weitergekommen...

und mal noch ne andre frage, für was sind diese restklassen gut?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
@ Ben, danke dass du das mal so aufgeschrieben hast, jetzt kann ich mir das schon besser vorstellen smile
nur was ist mit den negativen Zahlen? gehört in die erste Menge dann auch ... -30, -20, -10... dazu?


Ja, hätt ich vielleicht auf der linken Seite noch dazuschreiben können. Auf der rechten Seite sieht man es aber daran, dass da steht und nicht

Wegen Beweisanfang: Setze d=1 (denn der Fall ist hier interessant, siehe Def. Einheit) und n=10 um im Beispiel zu bleiben. Und dann die Aussage des Lemmas mod 10 betrachten.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch mal k=-1 ein, dann bekommst du -10; k=-2 liefert -20 usf.

Übrigens ist ja in die Restklasse (also "0+Untergruppe") genau das gleiche wie bei Ben (mach dir das klar!), aber vielleicht kommt dir die Schreibweise so bekannter vor von allgemeinen Faktorisierungen.
Analog sind die anderen Restklassen für z=1,....,9 ; mach dir dann mal selbst klar, dass die Restklassen für z=1 und z=11 gleich sind.



Zitat:
und mal noch ne andre frage, für was sind diese restklassen gut?

Zahlentheoretische Restklassen, also das Modulorechnen in Z?
oder ganz allgemeine Restklassenrechnung?

Vielleicht sagt dir chinesischer Restsatz etwas, da wird modulogerechnet, und das liefert sehr einfach sinnvolle Aufgabenstellungen.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay, sind Restklassen dann eigentlich auch Äquivalenzklassen, d.h. [11] = [1] , dürfte man das so schreiben?

hmm, dann hab ich ggT(a,10) = 1 mit 1 = x a + y 10
bzw 1 x a mod 10
müsste ich jetzt irgendwie zeigen, dass a und 10 teilerfremd sind? *planlos*

edit: ja beides. wir ham den chinesischenressatz mal bei nem beweis gebraucht... aber anscheinend alles "nur" als vorbereitung für die JNF...

an was für aufabenstellungen denkst du da, LOED ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
ah okay, sind Restklassen dann eigentlich auch Äquivalenzklassen, d.h. [11] = [1] , dürfte man das so schreiben?

RICHTIG, eigentlich ist X/Y, wobei Y eine passende additive Unterstruktur von X ist, immer die Menge aller Äquivalenzklassen (aber eben selbst mit alg. Struktur) der Äqui-Relation a~b <=> a-b ist in Y.
In deinem Fall z.B.: Z/10Z, dann gilt a~b, gdw. a-b liegt in 10Z und das ist ja nix anderes als "a und b unterscheiden sich um ein 10 Vielfaches".

Also hat Restklassenbildung immer auch etwas mit der oben genannten Äquirel zu tun.



Zitat:
hmm, dann hab ich ggT(a,10) = 1 mit 1 = x a + y 10
bzw 1 x a mod 10
müsste ich jetzt irgendwie zeigen, dass a und 10 teilerfremd sind? *planlos*

Du musst hier doch nur die zu 10 teilerfremden Restklassenvertreter finden.
Schaue also alle Zahlen aus 0 bis 9 an ({0,...,9} ist ein Vertretersystem!) und schaue, ob ggT(Zahl, 10)=1.
Z.B. ist ggT(2,10)=2, also ist (die Restklasse von) 2 KEINE Einheit, ggT(3,10)=1, also ist (die Restklasse von) 3 Einheit
usf.







edit:
Zitat:
an was für aufabenstellungen denkst du da, LOED ?

hattet ihr da keine auf dem Übungsblatt dazu?
Bei uns gabs da Flugzeuge, Prinzessinnenaufgaben, alles sehr lebensecht....
(edit2: hier z.B. das Übungsblatt 8 von der letztjährigen Algebra1-Vorlesung; letzte Aufgabe ist eine Standardaufgabe zum chinesischen Restsatz, das angenehme daran, wenn man den Algo mal kann, dann sind solche Punkte geschenkt; und das ist z.B. eine sehr wichtige Anwendung von modulorechnen)


edit: "richtige" (allgemeine) Faktorisierungen mit halt notwendigerweise entstehenden Restklassen haben zum Beispiel auch oft einfach den Vorteil, dass das ganze "handlicher" wird.
So macht man z.B. aus einem Vektorraum mal ganz schnell einen kleinerdimensionalen.....
"Sinn" von Restklassenrechnung gibt es also genug. smile
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

mhm, ja, die einheiten sind {1,3,7,9} das ist mir jetzt klar*freu*, dankeschön =)

ah cool, danke für das übungsblatt. bei euch kommt das schon in LA I ?? *help*
muss ich mir mal durchschauen, wir hatten jetzt in LA II nur mal so ne ÜA zu dem euklidischen algo, so wie die erste aufgabe. aber absolut nichts mit prinzessinnen oder flugzeugen...

heißt das in der flugzeugaufgabe bilden die Mallorca-Flüge, Teneriffa-Flüge und Schramberg-Flüge jeweils eine Äquivalenzklasse??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
mhm, ja, die einheiten sind {1,3,7,9} das ist mir jetzt klar*freu*, dankeschön =)

ja, es sind 1 und 9 selbstinvers (d.h. 1*1=1, 9*9=1) und es gilt 3*7=1=7*3







Ich denke, den chinesischen Restsatz solltest du, wenn du ihn später mal brauchst, nochmal anschauen:
Zitat:
heißt das in der flugzeugaufgabe bilden die Mallorca-Flüge, Teneriffa-Flüge und Schramberg-Flüge jeweils eine Äquivalenzklasse??

Das ist nämlich Unsinn, diese Flüge liefern dir die 3 Kongruenzen; insgesamt betrachtest du 3 verschiedene Faktorringe (Quotientenringe) der Form (Z/nZ)......
Beim Anwenden des chinesischen Restsatzes suchst du dann Zahlen aus Z, die 3 gegebene Kongruenzen in den gegebenen Restklassenringen erfüllen.

Vielleicht solltest du doch erstmal bei deinem Stoff bleiben. smile (ansonsten wäre das auch ein ganz neues Thema, hier nicht passend).
War ja nur als Beispiel für den Sinn von Restklassenrechnung.

Achja und das war Algebra1, also nix mehr mit "lineare Algebra".
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

okay,... lassen wir die flüge, achso, hab schon gedacht, für LA I wär das ja grauselig...

also dann kann ich mir das so merken, dass die "Elemente" eines Quotientenraums Äquivalenzklassen sind, also selber wieder mengen?

wir haben den chinesischen restsatz bei solchen zerlegungen von diesen Z/nZ verwendet:

z.B. M isomorph zu Z/6Z +(direkte Summe) Z/8Z

-> M isomorph zu Z/2Z + Z/Z24 (Elementarteilersatz)
-> M isomorph zu Z/2Z + Z/8Z + Z/3Z (chin.Restsatz)

d.h. man hat Z/24Z nochmal zerlegt, aber in Z/4Z + Z/6Z ging ja nicht, oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
okay,... lassen wir die flüge, achso, hab schon gedacht, für LA I wär das ja grauselig...

also dann kann ich mir das so merken, dass die "Elemente" eines Quotientenraums Äquivalenzklassen sind, also selber wieder mengen?


Ja, sollte stimmen.

Zitat:

wir haben den chinesischen restsatz bei solchen zerlegungen von diesen Z/nZ verwendet:

z.B. M isomorph zu Z/6Z +(direkte Summe) Z/8Z

-> M isomorph zu Z/2Z + Z/Z24 (Elementarteilersatz)
-> M isomorph zu Z/2Z + Z/8Z + Z/3Z (chin.Restsatz)

d.h. man hat Z/24Z nochmal zerlegt, aber in Z/4Z + Z/6Z ging ja nicht, oder?


Du meinst wohl die Version für Hauptidealringe: http://de.wikipedia.org/wiki/Chinesische...Hauptidealringe
Darunter findest du auch noch die Deluxe-Version für allgemeine Ringe Big Laugh


Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
also dann kann ich mir das so merken, dass die "Elemente" eines Quotientenraums Äquivalenzklassen sind, also selber wieder mengen?

Es sind eben noch mehr als Mengen.

Die Grundidee von Faktorgruppen/ringen/räumen/algebren.... ist eigentlich immer die gleiche.
Sei X/Y eine solche Faktorisierung von einer Struktur X nach einer Unterstruktur Y.
Das ist dann in erster Linie mal die Menge der Äquivalenzklassen, aber insbesondere liefert das dann wieder selbst eine Gruppe/einen Ring......, man definiert also auch wieder eine VERKNÜPFUNG darauf.

Hast du eine Menge (evtl. mit Verknüpung(en) und so) und eine beliebige Äuvirel., kannst du IMMER nach dieser Äquirel "faktorisieren", bekommst die Menge der Klassen.
Im strukturierten Sinne bekommst du aber eben mehr.


Beipiel:
Z ist ein Ring, es hat 2 Verknüpfungen + und *. Wir nehmen ein sogenanntes Ideal 10Z und bilden die Restklassen Z/10Z.
Wir betrachten also x,y als gleich (bzw. als in der gleichen Klasse), wenn sie sich nur um ein Zehnvielfaches unterscheiden.
Das gibt die Menge von 10 Klassen, die Ben oben aufgeschrieben hat.
Wir schreiben oder für die Restklasse eines Elementes x
NUN machen wir daraus aber noch einen Ring.
Wir definieren (in beiden Schreibweisen):
und dann haben wir nicht nur eine Menge von Restklassen, sondern selbst einen Ring (das das ein Ring ist muss man natürlich noch nachweisen, insbesondere auch, dass das ganze überhaupt wohldefiniert ist !!).



Also merke:
Ein Faktorring (z.B.) ist die Menge der Äquivalenzklassen wie oben, MIT Ringstruktur.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

many tHX für die gute erklärung... habs mir gleich aufgeschrieben smile

jetzt kann ich mir mehr drunter vortsellen!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Als Nachtrag:
wenn du noch eine mal eine anschauliche Vorstellung von einer Faktorisierung bekommen willst, dann bietet sich folgendes Beispiel an, dass übrigens auch eines der ersten Beispiele damals (LA1 smile ) war, das mir jemand erklärt hat und das mir annähernd verständlich gewirkt hat und mir im Nachhinein auch geholfen hat.

Nimm den Vektorraum IR^3={(a/b/c), a,b,c aus IR} (=V) (Anschauungsraum) und betrachte als Unterraum die x1-x2-Ebene={(a/b/0), a,b aus IR} (=U).
Der Faktorraum V/U ist jetzt formal erstmal .

Anschaulich liefert das ganze eine scheibchenweise Zerlegung des Raumes in die ganzen parallel zur x1-x2-Ebene verlaufenden Ebene, wie ein Stapel Papiere, die aufeinander liegen.
Diese vielen Ebenen sind gerade die Äquivalenzklassen.

Und dann kannst du dir auch diese komplexe Schreibweise "(0/0/c)+U" vielleicht besser einprägen: anschaulich sagt das einfach (wenn man die dritte Richtung mal als Höhe bezeichnet) "gehe beliebig hoch und betrachte dann die zu der Höhe gehörige Ebene".

Gruß, Jochen
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

danke für das beispiel! =) wir hatten nur mal eines mit geraden...

aber warum nimmt man (0,0,c)? Muss man da immer so ein ein vektor nehmen, der in V aber nicht in U liegt?

und ist der Repräsentant einer Äquikla dann der vektor (0,0,c) der stellvertretend für alle punkte in der ebene mit höhe c steht??

viele grüße
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Die Richtung (0/0/1) ist die offensichlichste, die du brauchst, aber versuche das ganze mal mit (1/1/1), da kommst du auch in jede Ebene (Also ist {(1/1/1)+U} auch eine Basis.).
(Rechentechnisch ergänzt du bei Faktorräumen eine Basis von U zu eine Basis von V, diese ergänzten Vektoren (natürlich mit +U geschrieben) liefern dann die Basis von V/U).
Hier tut es also auch ein anderer Vektor, aber mit dem obigen finde ich es am anschaulichsten.
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