"Wertigkeit" der leeren Menge, Potenzmengen

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bappi Auf diesen Beitrag antworten »
"Wertigkeit" der leeren Menge, Potenzmengen
Huhu!

Die Aufgabe ist:

a) Wie viele Elemente hat die Menge

b) Geben Sie die Potenzmenge von an.



a) Hier ist mein Problem. Die leere Menge an sich enthält ja keine Elemente, also kann die Menge nicht mehr als "nichts" enthalten. Oder ist die leere Menge in diesem Kontext als Element der Menge aufzufassen?

b) Die leere Menge an sich hat ja die Mächtigkeit 0. Also ist



Schon mal danke im Voraus!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Wertigkeit" der leeren Menge, Potenzmengen
a) Die leere Menge hat zwar keine Elemente, sie kann aber sehr wohl Element anderer Mengen sein.

b) M ist nicht identisch mit der leeren Menge! Deshalb werden deren Potenzmengen wohl kaum gleich sein.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Wertigkeit" der leeren Menge, Potenzmengen
Hallo,

Zitat:
Original von bappi

a) Hier ist mein Problem. Die leere Menge an sich enthält ja keine Elemente, also kann die Menge [...] nicht mehr als "nichts" enthalten. Oder ist die leere Menge in diesem Kontext als Element der Menge aufzufassen?


Letzteres! Die oben aufgeschriebene Menge hat sehr wohl Elemente, und zwar





u. s. w.

Also die leere Menge ist genauso ein Objekt wie eine Zahl o. ä. Wenn man z. B. die Menge



bildet, dann ist das nicht etwa die leere Menge, sondern eine Einermenge.



Auch bei b):

Du darfst nicht glauben, die leere Menge wäre „Nichts“ und würde quasi überall „verschwinden“.

Schreibe Dir die Elemente der Menge nochmal ordentlich auf.

Tipp: Ersetze sie durch Buchstaben, dann wird es übersichtlicher beim Aufschreiben der Teilmengen.
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mir war nur nicht klar welche Wertigkeit die leere Menge hat!

D.h.

a) 4 Elemente.

b) ist dann
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt! Freude
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Oki, danke euch beiden für die Hilfe schon mal!

Jetzt habe ich noch eine Frage zur Richtigkeit:

c) Falls Elemente hat (), wie viele Elemente hat dann

i)
ii)


i)

ii) Das kartesische Produkt zweier Mengen ist definiert als und besteht demnach aus geordneten Paaren . Somit enthält das Produkt auch exakt geordnete Tupel bzw. Elemente.
 
 
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung zu i) ist richtig [ich würde sie aber anders aufschreiben: |M| = n => |P(M)| = 2^n oder so]

Bei ii) hast Du Unrecht:

{2, 4} x {2, 4} = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}

Das Produkt hat also nicht 2 Elemente!
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja i) hab ich auch so aufm Papier stehen sry.

Zu ii) habe ich nicht bedacht, dass Reihenfolge in den Tupeln vertauschen darf.

Für z.B. also demzufolge ...

Also für die Menge M mit n Elementen

Elemente
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bappi

Also für die Menge M mit n Elementen

Elemente


Richtig. Es gilt allgemein



[zumindest für endliche Mengen, bei unendlichen weiß ich es nicht]


Man kann sich das über eine Tabelle klarmachen: Senkrecht trägt man die n Elemente der einen Menge an, waagrecht die m Elemente der anderen. Dann steht jedes Kästchen der Tabelle für ein Paar, insgesamt gibt es also m*n Paare.
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage hab ich noch, ob ich das so schreiben kann Big Laugh :

Zu zeigen:



Beweis:




Zu zeigen:



Beweis:



Sollte ich noch irgendwas ergänzen?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt alles. Freude

Man könnte die einzelnen Schritte aber noch ausführlicher hinschreiben.


// edit: größere Abstände in LaTeX kannst Du übrigens mit z. B. /quad oder /qquad machen, dann brauchst Du nicht so viele kleine Abstände hintereinanderzusetzen.
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Oki danach hab ich auch schon gesucht Big Laugh

Danke dir!
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich noch eine Frage, ob der Schritt erlaubt ist:



Ich meine von Zeile 2 auf 3.

Mfg.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar oben schon in ähnlicher Form gesagt worden, allerdings kenne ich eine besonders anschauliche Erklärung, wieso nicht leer ist.

Und zwar kann man eine leere Menge entweder so darstellen oder so . Eine leere Menge ist etwas wie eine leere Tüte, oder eine leere Kiste. Stellt man in eine leere Kiste, aber wieder eine leere Kiste, so ist die erste Kiste ja nicht leer. Sie entählt ja eine leere Kiste.

Ich hoffe es konnte noch zum Verständnis des Fragestellers beitragen.
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Hoffentlich geht meine Frage jetzt nicht unter Big Laugh
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