Vollständige Induktion

25.10.2008, 22:18

Angel87

Vollständige Induktion

Hey,
habe ein kleines Problem mit der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^2 = 1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das Schema für die vollständige Funktion angewandt:
Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^1~i^2=1=\frac{1*(1+1)*(2*1+1)}{6} = 1 \end{eqnarray*}$ Das ist erfüllt.

Induktionsvorausetzung: Hier muss man doch das schreiben oder?:
$\begin{eqnarray*} 1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss: Man schließe nun von n auf n+1:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^i+1~i^2 = \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2n^3+9n^2+10n+6}{6} \end{eqnarray*}$

Jetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+3n^2+7n+6}{6} \end{eqnarray*}$ Das ist ja nicht das gleiche wie das ergebnis, wie von n auf n+1. Ist meine Rechnung falsch?

Dann wurde in b gefragt: Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N\ \end{eqnarray*}$ oder n = 0 und sei M eine Menge der Mächtigkeit |M| =n. Dann gilt |P(M)|=2^n.

Hier habe ich leider überhaupt keine Idee. Ich hoffe mir kann geholfen werden...

LG

25.10.2008, 22:19

tigerbine

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RE: Vollständige Induktion
Boardsuche. Das ist eine Standardaufgabe. Augenzwinkern

26.10.2008, 09:55

Angel87

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RE: Vollständige Induktion
Habe auch schon Aufgaben aus diesem Forum durchgearbeitet nur kann ich dadurch leider nicht auf die Korrektheit meiner Aufgabe schließen und ähnliche Aufgaben zu Aufgabenstellung b konnte ich leider auch nicht finden. Kannst du mir nicht helfen?? Bitte smile

26.10.2008, 10:03

Svenja1986

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Angel87
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Hier ist ein Fehler... Das hast du etwas vergessen...

26.10.2008, 10:37

Angel87

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hm was mach ich denn da falsch. kannst du mir noch einen Tipp geben? ich komme wieder auf das selbe Ergebnis, wenn ich das auflöse...

26.10.2008, 10:44

Svenja1986

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

So wäre es richtig, denn es geht ja um die Summenformel von j²...

So, und bevor du nun rechnest und umstellst, überlege dir was am Ende überhaupt rauskommen muss... So mach ich das nämlich immer. Das macht die ganze Sache sehr viel einfacher...

Also, was muss am Ende denn raus kommen? Augenzwinkern

26.10.2008, 11:49

Angel87

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Danke, ich hab das richtige raus! Hab vorher noch nen kleinen Rechenfehler gemacht! Dann kommt raus: $\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$ Jetzt hab ich den Sinn auch verstanden... Danke nochmal!

Hast du vllt auch ne Idee zu Aufgabenteil b?

Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N\ \end{eqnarray*}$ oder n = 0 und sei M eine Menge der Mächtigkeit |M| =n. Dann gilt |P(M)|=2^n.

26.10.2008, 11:56

tigerbine

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Wie viele Elemente k aus der Menge M der Mächtigkeit n kannst du denn jeweils in Teilmengen zusammenfassen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

26.10.2008, 12:26

Angel87

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Sry, irgendwie blicke ich da gar nicht durch! Mit 2^n bestimmte ich doch die Potenzmenge oder? also wie viele Teilmengen es gibt. Aber ich weiss leider nicht von was ich hier die Teilmengen bilden soll. Verstehe die Aufgabe überhaupt nicht unglücklich

26.10.2008, 22:51

tigerbine

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http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmenge

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