Realtion symmetrisch & transitiv, auch immer reflexiv?

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26.10.2008, 08:19	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Realtion symmetrisch & transitiv, auch immer reflexiv? Hey Ist eine Realtion, die symmetrisch und transitiv ist, auch immer reflexiv? Aus der Symmetrie folgt ja: $\begin{eqnarray} xRy \Rightarrow yRx \end{eqnarray}$ Kann aus der Transitivität dann auch $\begin{eqnarray} xRy \wedge yRx \Rightarrow xRx \end{eqnarray}$ folgen?
26.10.2008, 09:02	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte meinen es wäre so, aber bei der Reflexivität gibt es eine Sache, die alles kaputt macht. Beispiel: $\begin{eqnarray} M=\{1,2,3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\subseteq M\times M \end{eqnarray}$ Überprüfe mal die genannten Eigenschaften.
26.10.2008, 09:46	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M\times M = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \end{eqnarray}$ Das wäre die Menge des kartesischen Produktes... Die Relation R ist Teilmenge davon. So... Symmetrie: $\begin{eqnarray} (1,2)R(2,1)= (2,1)R(1,2) \end{eqnarray}$ Transitivität: $\begin{eqnarray} (1,2)R(2,1) \wedge (2,1)R(1,2) \Rightarrow (1,2)R(1,2) \end{eqnarray}$ Oder wie macht man das?
26.10.2008, 10:24	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, deine Menge R ist schon die Relation, geschrieben als Menge von Tupeln aus MxM. $\begin{eqnarray} (1,2) \in R\Leftrightarrow 1R2 \end{eqnarray}$
26.10.2008, 10:30	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
ok Also dann: Symmetrie: $\begin{eqnarray} 1R2 \Rightarrow 2R1 \end{eqnarray}$ Transitivität: $\begin{eqnarray} 1R2 \wedge 2R1 \Rightarrow 1R1 \end{eqnarray}$ Was sagt mir das jetzt?
26.10.2008, 10:35	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfe doch, ob diese Relation R der Frage die du im ersten Posting gestellt hast, standhält. Ist die Relation symmetrisch, transitiv und reflexiv? bzw. Folgt aus symmetrisch und transitiv immer reflexiv?
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26.10.2008, 10:38	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrisch: ja Transitiv: ja? Reflexiv: nein (weil aus $\begin{eqnarray} 1R2 \end{eqnarray}$ plötzlich $\begin{eqnarray} 1R1 \end{eqnarray}$ ) wird...
26.10.2008, 10:45	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie: Okay Transitivität: Okay So wie mir scheint, ist dir die Eigenschaft reflexiv nicht ganz klar. Wann ist denn eine Relation reflexiv(, symmetrisch, transitiv)?
26.10.2008, 10:50	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht.
26.10.2008, 10:57	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauer, was für Elemente? Schau dir die Defintion in deinem Script oder woher du sie hast, genau an.
26.10.2008, 11:01	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann nicht mehr dazu finden
26.10.2008, 11:06	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es oben steht, ist die Defintion unvollständig: Reflexivität: $\begin{eqnarray} \text{R ist reflexiv}\Leftrightarrow \forall x\in M: xRx \end{eqnarray}$ Schau dir die Definition drüber nocheinmal genau an und sag mir dann, ob das für unser Beispiel zutrifft.
26.10.2008, 11:16	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, bin mir nicht sicher, aber $\begin{eqnarray} 1 R 2 \end{eqnarray}$ ist ja schon mal überhaupt nicht reflexiv, oder?
26.10.2008, 11:31	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
1R2 stellt ein Element aus deiner Relation dar und ist nicht die Relation selber. Die Defintion besagt: Du nimmst ein beliebiges x aus der Menge M heraus, in unserem Beispiel wären das die Elemente 1,2 oder 3 und prüfst, ob 1R1, 2R2, 3R3 ist. Der Allquantor ( $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ ) besagt, das alle Element aus M in Relation zu sich stehen müssen, d.h. (1,1), (2,2), (3,3) müssen in R sein. Ist das nun klar? Trifft das denn nun auf unser Beispiel zu?
26.10.2008, 12:01	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt ist es klar. Nein, es trifft nicht zu. (3,3) ist ja nicht in der Relation.
26.10.2008, 12:56	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nun zu deiner Frage am Anfang zurück. Wir haben eine transitive, symmetrische Relation, die nicht reflexiv ist. Also folgt aus transitiv und symmetrisch nicht zwangsläufig reflexiv.
26.10.2008, 12:59	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok kapiert DANKE

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