Problem mit Aufgabe (Mengen)

26.10.2008, 10:59

Svenja1986

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Problem mit Aufgabe (Mengen)

Habe ein Problem mit dieser Aufgabe:

[attach]8951[/attach]

Was bedeutet dieser Index "c" und was diese "Dreiecke"?
Wie muss ich mit diesen Dingen umgehen?

Und was ist mit "Veranschaulichen Sie die folgenden Aussagen" gemeint?
Wie soll ich das VERANSCHAULICHEN? Wie würdet ihr das machen?

Danke schon mal für Hilfe Tanzen

Tanzen

26.10.2008, 12:26

Zizou66

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Dieses hochgestellte c bedeutet das hier:

$\begin{eqnarray*} A^c:=\{x \in M | x\notin A\} \end{eqnarray*}$

Das Dreieck bezeichnet die symmetrische Differenz zweier Mengen und ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} A \, \triangle \, B := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) = ( A \cup B) \setminus (A \cap B) \end{eqnarray*}$

Veranschaulichen kannst du dieses Mengen zum Beispiel als Punktwolken.

Wie sehen deine Ansätze nun aus?

26.10.2008, 13:30

Jacques

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Hallo,

Mit dem Veranschaulichen sind wahrscheinlich Mengendiagramme gemeint:

http://de.wikipedia.org/wiki/Mengendiagramm#Beispiele

26.10.2008, 13:31

Svenja1986

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Zitat:

Original von Zizou66
Dieses hochgestellte c bedeutet das hier:

$\begin{eqnarray*} A^c:=\{x \in M | x\notin A\} \end{eqnarray*}$

Ok, das verstehe ich. Aber wenn ich mir die erste Aufgabe anschaue, bin ich schon wieder verwirrt.

$\begin{eqnarray*} M \cap M^{c} = \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M^{c} := \{x \in M|x \notin M\} \end{eqnarray*}$
Das ergibt ja keinen Sinn...

Ansonsten würde ich sagen, diese beiden Mengen haben als gemeinsames Element nur die leere Menge(?).

Zitat:

Veranschaulichen kannst du dieses Mengen zum Beispiel als Punktwolken.

Also, aufmalen Big Laugh

Big Laugh

?
Dann würde ich jetzt hier 2 Wolken malen, die beide verschiedene Elemente haben und als gemeinsames Element nur die leere Menge?

26.10.2008, 13:41

Zizou66

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Das ergibt schon Sinn. In $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ soll x dieser Menge sein, aber zu gleich nicht. Daher ist diese Menge leer, der Durchschnitt einer beliebigen Menge und der leeren Menge ist leer. Das sollst du hier veranschaulichen.

26.10.2008, 13:50

Svenja1986

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Hm...

verwirrt

Dann würde ich jetzt 2 Kreisen malen, die sich schneiden. Der eine Kreis wäre $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und der andere $\begin{eqnarray*} M^{c} \end{eqnarray*}$ und in der Schnittmenge wäre die leere Menge. Würde das ausreichen oder ist es nicht aussagekräftig genug?

Oder nein... Big Laugh

Big Laugh

ich male den Kreis mit der leeren Menge in den Kreis von M Big Laugh

Big Laugh

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26.10.2008, 13:59

Jacques

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Sorry, ein kleiner Einwand:

Zitat:

Original von Svenja1986

Ansonsten würde ich sagen, diese beiden Mengen haben als gemeinsames Element nur die leere Menge(?).

Nein! Sie haben eben gerade keine gemeinsamen Elemente. Außerdem: Wer sagt denn, dass überhaupt eine der beiden Mengen die leere Menge als Element hat?

Es könnte doch sein

$\begin{eqnarray*} M = \{1, 2 \} \end{eqnarray*}$

Wo ist da die leere Menge?

// edit: Du meinst wohl eher: Die Menge der gemeinsamen Elemente ist die leere Menge.

26.10.2008, 14:00

Zizou66

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Wenn die Kreise sich schneiden ist die Schnittmenge nicht leer.

26.10.2008, 14:14

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques
// edit: Du meinst wohl eher: Die Menge der gemeinsamen Elemente ist die leere Menge.

Zitat:

Original von Zizou66
Wenn die Kreise sich schneiden ist die Schnittmenge nicht leer.

Finger1

Finger1

Ok, also die Schnittmenge ist leer. Somit würden die beiden Kreise sich also überhaupt nicht schneiden? Ich zeichne sie einfach nebeneinander?

26.10.2008, 14:16

Zizou66

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Richtig. Weiter, nächste Aufgabe, schaffst du die?

26.10.2008, 14:25

Svenja1986

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Nächste Aufgabe:
Wir haben ja oben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} M^{c} \end{eqnarray*}$ leer ist.
Dann würde jetzt da stehen:
$\begin{eqnarray*} (\emptyset)^{c} := \{x \in M | x \notin \emptyset\} \end{eqnarray*}$

Deswegen als Ergebnis nur M.

So wie zeichnet man das?

26.10.2008, 14:36

Zizou66

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Zitat:

Original von Svenja1986
Nächste Aufgabe:
Wir haben ja oben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} M^{c} \end{eqnarray*}$ leer ist.

Dabei bin ich mir inzwischen nicht mehr so sicher. Konnte nirgendwo eine solche Formulierung finden, kann vielleicht jemand hier das bestätigen?

Allerdings sind die Folgerungen für diese Aufgabe nun korrekt. Hmm, wie zeichnet man das. Es sind ja alle Elemente, die nicht in der leeren Menge sind, aber in M. Ich würde einfach einen Kreis mit M malen.

26.10.2008, 14:53

Jacques

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Zitat:

Original von Zizou66

Dabei bin ich mir inzwischen nicht mehr so sicher. Konnte nirgendwo eine solche Formulierung finden, kann vielleicht jemand hier das bestätigen?

Du hast Recht, das wird nirgendwo gefordert, und diese Festlegung wäre auch sinnlos.

M. E. war das ein Missverständnis von Svenja1986.

@ Svenja1986:

Selbst wenn M^c leer wäre, wie kommst Du dann auf

$\begin{eqnarray*} \varnothing^c \end{eqnarray*}$

?

Soll M jetzt auf einmal auch leer sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2008, 14:56

Svenja1986

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Die Aufgabe lautet doch:

$\begin{eqnarray*} (M^c)^c \end{eqnarray*}$

So, und vorhin sind wir ja davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ leer ist. Also kann man doch auch $\begin{eqnarray*} (\emptyset)^c \end{eqnarray*}$ schreiben. Oder nicht?
Ich finde, dass das logisch ist Big Laugh

Big Laugh

26.10.2008, 15:09

Jacques

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Ach so, Du bist bei der zweiten Aufgabe.

Aber das stimmt trotzdem nicht:

Zwar ist $\begin{eqnarray*} M \cap M^c \end{eqnarray*}$ immer die leere Menge, aber M^c nicht unbedingt. Das hängt davon ab, auf welche Grundmenge sich das Komplement M^c bezieht. Siehe Dir die Definition nochmal an!

Der Fehler ist hierdurch entstanden:

Zitat:

Original von Zizou66

Dieses hochgestellte c bedeutet das hier: $\begin{eqnarray*} A^c:=\{x \in M | x\notin A\} \end{eqnarray*}$

Mit M meinte Zizou66 einfach eine beliebige Grundmenge. Du glaubst aber, er meinte das M in der Aufgabenstellung und kommst dann auf

Zitat:

Original von Svenja1986

$\begin{eqnarray*} M^{c} := \{x \in M|x \notin M\} \end{eqnarray*}$

So kommt natürlich $\begin{eqnarray*} M^c = \varnothing \end{eqnarray*}$ heraus, aber das stimmt gar nicht.

Mache den Beweis am besten nochmal.

Und noch etwas: M wird bei der Aufgabe nur als Platzhalter für Mengen benutzt, damit ist keine bestimmte Menge gemeint.

Also der Schluss

Zitat:

Original von Svenja1986

Die Aufgabe lautet doch: $\begin{eqnarray*} (M^c)^c \end{eqnarray*}$ So, und vorhin sind wir ja davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ leer ist.

ist nicht zulässig. Man nimmt einfach nur aus Bequemlichkeit denselben Buchstaben, aber meint damit nicht immer dieselbe Menge.

26.10.2008, 15:55

Svenja1986

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Ich kann einfach mit dem hochgestellten c nichts anfangen.

Wir hatten das in den Vorlesungen noch nicht und auch im Skript kann ich nirgends etwas dazu finden und dann kommt plötzlich in den Aufgaben sowas (mit diesem "Dreieck" ist es auch so).

Ich kann mir darunter einfach nichts vorstellen... unglücklich

unglücklich

Vielleicht kann mir das mal jemand erklären...? smile

smile

26.10.2008, 16:25

Jacques

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Also

$\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$

ist das „Komplement von A“:

Man hat eine vorher festgelegte Grundmenge G. Wenn man daraus eine Teilmenge A „subtrahiert“, dann nennt man das Ergebnis „Komplement von A“.

D. h. man bildet quasi das „Negativ“ von A.

Die formale Definition hat Zizou66 ja schon aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} A^c := \{ x \in G \, | \, x \notin A \} \end{eqnarray*}$

(wobei A eben eine Teilmenge von G ist)

siehe hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplement_...utes_Komplement

Beispiel:

Die Grundmenge soll {1, 2, 3, 4, 5, 6} sein.

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \{1, 2\}^c = \{3, 4, 5, 6 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}^c = \{ 6 \} \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 17:51

Svenja1986

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Sehr verständlich erklärt Big Laugh

Big Laugh

Danke.

Freude

Könnte man $\begin{eqnarray*} (M^c)^c \end{eqnarray*}$ so darstellen?

[attach]8963[/attach]

26.10.2008, 17:59

Jacques

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Nicht ganz. Zeichne zuerst einen Kreis für die Grundmenge G. Das ist das „Universum“, in dem alles stattfindet.

In den Kreis zeichnest Du einen Kreis für eine Teilmenge M von G:

[attach]8964[/attach]

Wenn Du das Komplement von M bildet, erhältst Du diese Menge:

[attach]8965[/attach]

Wenn Du hiervon wiederum das Komplement bildest, erhältst Du diese Menge:

[attach]8966[/attach]

(also M)

Weitere Komplementbildungen würden dann nur zu einem „Hin-und-her-Schalten“ zwischen den beiden obigen Mengen führen.

26.10.2008, 18:09

Svenja1986

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AAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHH okay Freude

Freude

Gibts auch irgendwas, um dieses "Dreieck" zu veranschaulichen?

26.10.2008, 18:15

Jacques

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Klar.

smile

In der symmetrischen Differenz zweier Mengen A und B liegen genau diejenigen Objekte, die Element von genau einer der beiden Mengen sind:

$\begin{eqnarray*} A \mathop{\Delta} B := \{ x \,|\, \textrm{entweder } x \in A \textrm{ oder } x \in B \} \end{eqnarray*}$

(das ist gleichwertig zu Zizous Definition)

[attach]8967[/attach]

(die symmetrische Differenz ist die grüne Fläche)

27.10.2008, 20:02

Svenja1986

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Hey

smile

Bräuchte nochmal Hilfe zu diesen Aufgaben...

Ist $\begin{eqnarray*} (M \cup N)^c \end{eqnarray*}$ (= rote Fläche) so richtig dargestellt:

[attach]8979[/attach]

?

$\begin{eqnarray*} M^c \cap N^c \end{eqnarray*}$ sieht ja dann genau so aus...

Wie könnte ich das dann noch beweisen?

27.10.2008, 20:33

Jacques

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Zitat:

Original von Svenja1986

Ist $\begin{eqnarray*} (M \cup N)^c \end{eqnarray*}$ (= rote Fläche) so richtig dargestellt:

Ja.

Freude

Zitat:

Original von Svenja1986

$\begin{eqnarray*} M^c \cap N^c \end{eqnarray*}$ sieht ja dann genau so aus...

Wie könnte ich das dann noch beweisen?

Im Prinzip so wie hier:

Beweis

Also nach dem Schema

$\begin{eqnarray*} x \in (M \cup N)^c \ \Longleftrightarrow\ \ldots\ \Longleftrightarrow M^c \cap N^c \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 20:35

Svenja1986

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Gut, ok

smile

Naja, und bei der 3 und 4 weiß ich auch nicht so recht, was ich da machen soll...

1. Soll ich die auch noch "Veranschaulichen" oder gilt das nur für die (1) und (2)?
2. Was ist mit "Verallgemeinern Sie diese Regeln für beliebige Indexmengen." gemeint? Hammer

Hammer

27.10.2008, 20:42

Jacques

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Bei 3 und 4 soll man die jeweiligen Aussagen formal beweisen. Veranschaulichen kann man da auch nicht so gut. ;-)

Zu den Indexmengen:

Ich bin sicher, dass damit Folgendes gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} \left( \bigcup_{M \in G} M \right)^c = \bigcap_{M \in G}M^c \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 20:47

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques
Bei 3 und 4 soll man die jeweiligen Aussagen formal beweisen. Veranschaulichen kann man da auch nicht so gut. ;-)

Ja deswegen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (M \cap N)^c \end{eqnarray*}$ so richtig?

[attach]8982[/attach]

27.10.2008, 20:50

Jacques

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Ja, das ist richtig dargestellt.

27.10.2008, 20:51

Svenja1986

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Juhu

Gott

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