Äquivalenzklassen

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26.10.2008, 14:57	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen Hallo, ich habe eine Frage zu Äquivalenzklassen, nämlich: Wenn x und y ganzee Zahlen ungleich Null sind und das gleiche Vorzeichen haben, was wäre dann ihre Indexmenge, also wieviele Äquivalenzklassen gibt es dann davon? Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch, falls mir jemand Tipps geben könnte, würde mir das sicherlich schon weiterhelfen! :-)
26.10.2008, 15:35	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Also ich verstehe es so: Gegeben ist die Äquivalenzrelation R auf Z* mit der folgenden Definition: $\begin{eqnarray} x\,R\,y \ \Longleftrightarrow\ \mathrm{sgn}(x) = \mathrm{sgn}(y) \end{eqnarray}$ Und gesucht ist die Anzahl der Äquivalenzklassen? Ich zähle zwei.
26.10.2008, 16:13	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, danke, hätte es mir auch fast schon so gedacht. Aber wie würde man diese Äquivalenzklasse in Worte fassen bzw. beschreiben?
26.10.2008, 16:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wärs mit $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\mathbb N \end{eqnarray}$ Oder positive ganze Zahlen und negative ganze Zahlen?
26.10.2008, 16:35	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Symbole dafür sind $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{+}^{\ast} = \mathbb{Z}_{> 0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{-}^{\ast} = \mathbb{Z}_{< 0} \end{eqnarray}$
26.10.2008, 16:45	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, natürlich; ist ja viel einfacher, als ich gedacht habe Vielen Dank euch!
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26.10.2008, 16:56	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall ist es vielleicht ganz sinnvoll, sich die Äquivalenzklassen als Zusammenfassungen aller im Sinne von R äquivalenten Objekte vorzustellen. Und nicht auf einzelne Objekte bezogen à la „die von -1 erzeugte Äquivalenzklasse“ u. s. w. Äquivalent im Sinne der Relation R sind alle positiven ganzen Zahlen. Und zum zweiten alle negativen ganzen Zahlen.
26.10.2008, 19:43	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ich werd's dann so machen! Ich habe aber gerade gesehen, dass ich doch noch eine weitere Frage habe, nämlich zum Beweis einer Aussage, die lautet: " Für eine Relation R gilt $\begin{eqnarray} R = R^{C} \end{eqnarray}$ genau dann wenn R symmetrisch ist." Wie ich das verstanden habe muss also gelten, dass xRy => yRx. Aber wie soll ich davon auf " $\begin{eqnarray} R = R^{C} \end{eqnarray}$ " kommen?
26.10.2008, 20:05	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet denn R^c ? Das ist wahrscheinlich die Umkehrrelation oder? Wenn R symmetrisch ist, dann liegt mit jedem Paar (a, b) auch das umgekehrte Paar (b, a) in R. Wenn man dann die Umkehrrelation bildet, also bei jedem Paar die Komponenten vertauscht, dann ändert sich die Relation überhaupt nicht. Umgekehrt: Wenn eine Relation R ihre eigene Umkehrrelation ist, dann muss zu jedem Paar (a, b) auch das umgekehrte Paar (b, a) Element von R sein. Denn gäbe es ein (a, b) in R, bei dem das nicht der Fall ist, dann würde sich R beim Bilden der Umkehrrelation verändern: (b, a) würde (a, b) ersetzen. R und R^c würden also nicht übereinstimmen -- im Widerspruch zur Annahme.
26.10.2008, 20:17	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also an sich sah die Fragestellung folgendermaßen aus: http://img357.imageshack.us/img357/7775/rrcpt1.jpg http://img357.imageshack.us/img357/rrcpt1.jpg/1/w500.png Ich wusste nicht, wie ich dieses "Wok"-Zeichen darstellen sollte, deswegen habe ich das Komplementzeichen genommen - ich dachte, dass sei das Gleiche. Aber ich bin mir jetzt nicht sicher, ob man so eine Umkehrrelation bezeichnet...?
26.10.2008, 20:28	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus der Zeichnung kann man nicht viel erkennen. Aber sowohl ein Bogen als auch ein kleines c bezeichnen die Umkehrrelation: http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_relation
26.10.2008, 20:32	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, okay; Danke dir jedenfalls für deine (vorherige) Antwort!

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