Mengen Mächtigkeit

28.10.2008, 21:17

Andre12

Mengen Mächtigkeit

Guten Abend,

Hab da ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:

A Teilmenge von B <=> $\begin{eqnarray*} \mid B.. ohne.. A \mid = \mid B \mid - \mid A \mid \end{eqnarray*}$

wie lautet die Differenzregel für A keine Teilmenge von B ?

hab mir folgendes gedacht:

A keine Teilmenge von B <=> $\begin{eqnarray*} \mid B\mid + \mid A \mid - \mid A..geschnitten mit.. B \mid \end{eqnarray*}$

ist das so richtig ?

Sorry hab keine Ahnung wie ich die Mengenzeichen darstellen soll

28.10.2008, 21:22

system-agent

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Was machst du bei unendlichen Mengen?
Dann hast du $\begin{eqnarray*} \infty -\infty \end{eqnarray*}$ dastehen und das ist bekanntliche nicht definiert.

28.10.2008, 21:23

Jacques

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Hallo,

Die Regel ist nicht richtig, man findet ja sofort ein Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \{1, 2, 3, 4, 5 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} |A \setminus B | = |\{1, 2, 3 \}| = 3 \end{eqnarray*}$

Nach Deiner Regel aber:

$\begin{eqnarray*} |A \setminus B| = 5 + 6 - 2 = 9 \end{eqnarray*}$

Also Du bekommst zu große Zahlen.

Die Lösung ist auch viel einfacher. smile

// @ system-agent: Ich glaube nicht, dass man in der Schule schon die Mächtigkeit von unendlichen Mengen bespricht. Und gibt es nicht auch da Differenzierungen? Also verschiende Mächtigkeiten?

28.10.2008, 22:27

Andre12

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re
Warum gilt A\B und nicht B\A[?

28.10.2008, 22:29

Jacques

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Was meinst Du damit? verwirrt

28.10.2008, 22:38

andre12

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re
Ok hab das so gemeint,
A keine Teilmenge von B warum dann |A\B| und nicht |B\A|
bin glaube ich aber selbst drauf gekommen wenn
A keine Teilmenge von B dann muss die Menge B größer sein als die Menge A deswegen |A\B|

28.10.2008, 23:03

Jacques

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Irgendwie bist Du auf der falschen Spur.

Also im Fall, dass A keine Teilmenge von B ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} |A \setminus B| = |A| - |A \cap B| \end{eqnarray*}$

Und diese Formel ist sogar allgemein gültig, also auch wenn A doch Teilmenge von B ist.

Mal Dir doch mal die entsprechenden Mengendiagramme auf:

Fall 1:
B soll Teilmenge von A sein, und es soll gelten |A| = m und |B| = n. Wenn man die Differenz A \ B bildet, dann fallen von den m Elementen von A alle n Elemente weg, die auch in B liegen.

Fall 2:
B ist nicht zwangsläufig Teilmenge von A. Wenn man die Differenz A \ B bildet, dann werden effektiv nur diejenigen Elemente aus A entfernt, die im Durchschnitt von A und B liegen. Daher die Formel: |A \ B| = |A| - |A geschnitten B|.

Beispiel: A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Bei A \ B werden aus A nur 3 und 4 entfernt. Die anderen Elemente von B (5, 6, 7, 8, 9) spielen überhaupt keine Rolle.

28.10.2008, 23:31

Andre12

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erstmal Danke für die Erklärung

was mich nur stört ist folgendes

Zitat:

Fall 1:
B soll Teilmenge von A sein,

müsste dort nicht eigentlich A Teilmenge von B stehen genauso beim 2. Fall da ja im allg. gilt: A Teilmenge von B $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ B Teilmenge von A ?

28.10.2008, 23:42

Jacques

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Bei den Fallunterscheidungen habe ich es richtig, nur oben steht fälschlicherweise „A Teilmenge von B“.

Also die Frage ist, ob die subtrahierte Menge eine Teilmenge ist. D. h. wenn man A \ B bildet, ist von Interesse, ob B eine Teilmenge von A ist.

Im umgekehrten Fall (A Teilmenge von B), erhält man bei der Differenz ja einfach die leere Menge.

Z. B.: A = {2, 4} B = {2, 4, 6, 8}. Dann ist A \ B = { }

29.10.2008, 00:01

andre12

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so nur nochmal zu meinem Verständniss

Ich soll ja laut meiner Aufgabenstellung zeigen:

A keine Teilmenge von B

|B\A|=|B| - |A geschnitten B|

um bei deinem Beispiel zu bleiben A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

|B\A|=|{5,6,7,8,9}|= 5

|B|- |A geschnitten B| = 7-2 = 5

29.10.2008, 00:12

Jacques

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Zitat:

Original von andre12

Ich soll ja laut meiner Aufgabenstellung zeigen:

A keine Teilmenge von B

Das ist nicht richtig formuliert: Du lässt nur die Forderung weg, dass A eine Teilmenge von B ist. A darf sehr wohl eine Teilmenge sein, nur ist es jetzt nicht mehr zwangsläufig.

Das Beispiel ist richtig. Eventuell ist Dir aufgefallen: A ist hier durchaus eine Teilmenge von B, trotzdem funktioniert die Formel.

Augenzwinkern

29.10.2008, 00:24

Andre12

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Ok !! stimmt meine Formulierung ist nicht richtig

Welches Beispiel hast Du gemeint ?
bei diesem Beispiel A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ist A doch keine Teilmenge von B ?

29.10.2008, 00:27

Jacques

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Sorry, ich habe mich vertan, ich dachte gerade an ein vorheriges Beispiel.

Zeit, ins Bett zu gehen, glaube ich. Big Laugh