Tschebyscheff-Approximation

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Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff-Approximation
Hallo zusammen.
gegeben ist und gesucht ist eine Gerade die auf möglichst gut bzgl der -Norm approximiert. Das ganze mit Tschebyscheff-Polynomen. Diese lauten ja einfach


Nun kenne ich auch noch folgende Formel
in diesem Fall mit
So und dann weiß ich auch, dass

In meinem Fall ist das aber

Und dazu findet nichtmal mehr http://integrals.wolfram.com/index.jsp eine Stammfunktion...
Also, wo ist nun mein Denkfehler?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff-Approximation
Gleich vorweg, das Verfahren kenne ich nicht. Frage, woher stammt die Formel mit dm Integral. Und was bringt sie dir eigentlich. Wenn, dann überhaupt nur einen Koeffizienten. Du suchst aber zwei, und im allgemeinen noch mehr.

Also muss doch noch mehr dahinter stecken. Kurzes googeln sagt mir, dass Problem ist Verwand mit den "Kleinsten Fehlerquadraten" von Gauss, nur dass man eine andere Norm nimmt, (||.||_oo statt ||.||_2)

Habt ihr also ein LGS aufgestellt, was zu lösen ist (Vergleichbar mit den Normalengleichungen)

Gruß Wink
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel ist aus dem Skript, und für den zweiten Koeffizienten hätte ich auch noch ne Formel gehabt, keine Angst ;-)
Aber wenn's schon beim ersten scheitert...
Naja, habe mir jetzt sagen lassen, dass ich wohl die Überschrift der AUfgabe falsch verstanden habe und dass man das auf einem anderen Weg lösen kann (Aufgabe habe ich so auch schon erledigt Augenzwinkern ). Nennt man dann wohl auch Tschebyscheff Approximation Big Laugh

Kurze Skizze des Weges:
man minimiere .
kann man ganz analytisch lösen, ich denke so war's gemeint, anschließend soll man das dann nämlich auch mit den Geraden vergleichen, die man durch die Taylorentwicklung nach zwei Gliedern bekommt.

Gute Nacht!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das dürfte dem von mir angesprochen Weg entsprechen...http://www.mathe.tu-freiberg.de/inst/amm.../dis_Tscheb.pdf

Wäre nett, wenn du morgen deine Lösung noch zeigst. Dann hätten wir ein Beispiel zu dem Begriff. Danke. Wink
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Jo sicher.
Jetzt hab' ich Depp das dummerweise gerade eingeworfen, aber ich versuch's Big Laugh

Zu minimieren ist

Als Extremstellen kommen in Frage 0, 1 und ln(a) (letzteres überprüft man mittels der ersten und zweiten Ableitung), wobei a>0, was aus der Tatsache folgt, dass monoton steigend ist.

Dann erhält man folgende Gleichungen:
(1)
(2)
(3)

da (1) = (2) sein muss (sonst wäre die Lösung nicht optimal) folgt
Da nur in (3) vorkommt, kann man dann so wählen dass

Feddisch (glaub ich)
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