angeordneter Körper Beweis

29.10.2008, 18:37

Inductere

angeordneter Körper Beweis

Hallo, ich versuche gerade etwas zu beweisen, mache dabei allerdings leider keine Fortschritte und zwar handelt es sich um folgende Aufgabe:
K sei ein Körper mit
$\begin{eqnarray*} a_1, a_2...a_n, b_1, b_2,...,b_n\in K \end{eqnarray*}$
Dabei gelte:
$\begin{eqnarray*} a_1\geq ...\geq a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1\geq ...\geq b_n \end{eqnarray*}$

Behauptung: Dann gilt
$\begin{eqnarray*} n\sum_{k=1}^n~a_kb_k \geq \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n~a_kb_j \end{eqnarray*}$

Ich komm da jetzt nicht weiter. Dazu habe ich erstmal versucht zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} a_kb_k+a_jb_j-a_kb_j-a_jb_k\geq 0 \end{eqnarray*}$
gilt.
Das gelingt mir aber nicht
Ich weiß wohl, dass entweder
$\begin{eqnarray*} a_kb_k\geq a_jb_j \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_jb_j\geq a_kb_k \end{eqnarray*}$
es werden nämlich einmal die beiden größten und einmal die beiden kleinsten elemente multipliziert, jenachdem ob j größer oder kleiner gleich k ist.
Hilft mir diese Erkenntnis weiter. Ich habe ziemlich viel rumgerechnet, komm aber nicht drauf. Könnte mir jemand einen Ansatz geben. Das wäre sehr nett.

30.10.2008, 10:21

Inductere

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Kann mir denn niemand helfen? Es wäre mir sehr wichtig. Ich komm nämlich nicht drauf. Kann mir jemand einen Ansatz sagen?

30.10.2008, 15:26

Inductere

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Also ich kam jetzt auf folgende Idee:
Ansatz durch vollständige Induktion.
Zunächst werden j und k gleich eins gesetzt.
Es ist also
$\begin{eqnarray*} a_1b_1+a_1b_1-a_1b_1-a_1b_1=0\geq 0 \end{eqnarray*}$
Diese Aussage stimmt offensichtlich
Nun wird j=1 gesetzt und es wird behauptet, dass die folgende Aussage für k gilt:
$\begin{eqnarray*} a_kb_k+a_1b_1-a_kb_1-a_1b_k\geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun wird gezeigt, dass diese Aussage auch für k+1 gültig ist, sofern sie für k wahr ist.
Es ist_
$\begin{eqnarray*} a_{k+1}b_{k+1}+a_1b_1-a_{k+1}b_1-a_1b_{k+1}\geq 0 \end{eqnarray*}$
Nach der Anordnung der Elemente so wie sie vorgegeben war gibt es ein alpha und ein beta, so dass $\begin{eqnarray*} a_k-\alpha=a_{k+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k-\beta=b_{k+1} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \geq 0 \end{eqnarray*}$

Dies wird nun eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} (a_k-\alpha) (b_k-\beta) +a_1b_1-(a_k-\alpha) b_1-a_1(b_k-\beta) \geq 0 \end{eqnarray*}$
Durch umformungen erhält man
$\begin{eqnarray*} a_kb_k+a_1b_1-a_kb_1-a_1b_k+ \alpha b_1+ \beta a_1- \beta a_k- \alpha b_k+ \alpha *\beta\geq 0 \end{eqnarray*}$

Wegen der Induktionsvoraussetzung sind die ersten vier summanden demnach positiv. Außerdem muss der ausdruck alpha mal beta positiv sein, weiterhin gilt
$\begin{eqnarray*} \alpha *b_1 \geq \alpha *b_k \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \beta *a_1 \geq \beta *a_k \end{eqnarray*}$
Dies folgt unmittelbar aus der gegebenen ordnung des körpers. damit ist $\begin{eqnarray*} \alpha b_1+ \beta a_1- \beta a_k- \alpha b_k \geq 0 \end{eqnarray*}$
Damit ist die aussage für j=1 gezeigt

Kann man das so machen? Mir kam der gedanke als ich mich vorhin kurz schlafen gelegt habe. Mir sind jedenfalls derartige beweise nicht vertraut, da ich grad erst mit dem physikstudium angefangen bin und in der schule macht man sowas nicht. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Und kann man jetzt im nächsten schritt als induktionsanfang j=1 setzen und k als k setzen, weil diesen induktionsanfang hätte man gezeigt und dann nimmt man die gültigkeit für ein beliebiges j an und geht genauso oder ähnlich vor wir vorhin. Geht das so? ich habs noch nicht ausprobiert

30.10.2008, 16:10

Dual Space

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Der Beweis scheint nicht so einfach zu sein. Einmöglicher Ansatz wäre evtl. von der wahren Aussage

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0 \end{eqnarray*}$

zu starten und die Behauptung durch äquivalente Umformungen zu gewinnen.

30.10.2008, 16:12

Roflkopter

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Hi!
Uni Osnabrück, Mathematik I?

Ich bin auch in dem Kurs und hab mich shcon mit der Aufgabe beschäftigt.
Ich kam zu folgendem ergebnis

$\begin{eqnarray*} a_kb_k+a_jb_j-a_kb_j-a_jb_k \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = b_k(a_k-a_j)+b_j(a_j-a_k) \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = b_k(a_k-a_j)-b_j(a_k-a_j) \geq 0 \end{eqnarray*}$

die Gleichung dann durch $\begin{eqnarray*} (a_k-a_j) \end{eqnarray*}$ teilen und du bekommst:
$\begin{eqnarray*} b_k-b_j \geq 0 \end{eqnarray*}$
und damit ist $\begin{eqnarray*} b_k \geq b_j \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} (a_kb_k) \end{eqnarray*}$ aus der linken Summe immer größer, als das $\begin{eqnarray*} (a_kb_j) \end{eqnarray*}$ aus den beiden rechten Summen und da beide Summen die gleiche Anzahl von Reihengliedern haben, ist die Annahme bestätigt.

30.10.2008, 17:48

inductere

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danke für die antwort und ja ich studiere in osna. möglicherweise sind wir uns über dem weg gelaufen. ich habe aber dennoch eine frage zu deiner lösung, da es mir noch etwas inkonsistent erscheint und zwar gilt
$\begin{eqnarray*} b_k-b_j \geq 0 \end{eqnarray*}$ nur für den fall, dass $\begin{eqnarray*} a_k-a_j \end{eqnarray*}$ positiv ist, denn ansonsten dividerst du die ungleichung durch eine negative zahl und damit dreht sich das Relationszeichen. Man müsste also hier eine Fallunterscheidung vornehmen. Dann gilt nämlich im fall, dass der ausdruck durch den du dividierst negativ wird $\begin{eqnarray*} b_j \geq b_k \end{eqnarray*}$
Eigentlich ist der ausdruck $\begin{eqnarray*} a_kb_k \end{eqnarray*}$ entweder der größte oder kleinste der vier summanden. umgekehrt ist a_jb_j der größte oder kleinste summand. nie sind aber beide summanden die größten, sondern wenn einer der größte ist, so ist der andere der kleinste. Deshalb kann man dann keine aussage darüber treffen ob die letzten beiden summanden insgesamt kleiner sind, als die ersten beiden summanden, da schließlich einer der ersten beiden summanden kleiner als die letzten beiden summanden sein muss oder ich habe etwas nicht verstanden

30.10.2008, 17:50

Dual Space

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Zitat:

Original von Roflkopter
Somit ist $\begin{eqnarray*} (a_kb_k) \end{eqnarray*}$ aus der linken Summe immer größer, als das $\begin{eqnarray*} (a_kb_j) \end{eqnarray*}$ aus den beiden rechten Summen und da beide Summen die gleiche Anzahl von Reihengliedern haben, ist die Annahme bestätigt.

Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. verwirrt

30.10.2008, 18:01

Roflkopter

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Hmm...stimmt...daran hab ich jetzt garnicht gedacht, dass $\begin{eqnarray*} a_k-a_j\geq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Also muss dann eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Aber das macht die Aufgabe unwies kompliziert. Ich denke nicht, dass die gleich im ersten Übungszettel so einen "2 Seiten" Beweis für eine 5 Punkte Aufgabe haben wollen, aber man weiß ja nie :-P Ich werde Montag mal mit einem Übungsleiter reden.
@Dual-Space: Das ist im mom noch eine Vermutung von mir, aus einem selbst gebasteltem Beispiel. Muss das irgendwie nur noch mathematisch beweisen, aber wie ich das genau machen werde, weiß ich noch nicht.

30.10.2008, 20:00

Inductere

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roflkopter
ich hab die aufgabe jetzt bewiesen. mein beweis ist 1,5 seiten lang, wenn du willst kann ich dir helfen. entweder gibt es einen einfacheren lösungsweg oder die aufgabe ist verdammt schwer für einen ersten übungszettel. also die anderen aufgaben waren viel einfacher. ich habe mehrer stunden gebraucht. Auch die bonusaufgabe war viel einfacher

30.10.2008, 21:02

Dual Space

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Es geht tatsächlich kürzer. Mit diesem Ansatz

Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0 \end{eqnarray*}$

kommt man mit ein paar Zeilen zum Ergebnis muss aber geschickt mit den Summenzeichen arbeiten (Summation vertauschen ala Fubini für Summen).

30.10.2008, 21:14

Inductere

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Das habe ich gemacht
Wie leicht lässt sich denn die angenommene aussage beweisen?
daran habe ich mich noch nicht versucht. ich müsste doch zunächst diese aussage beweisen

30.10.2008, 22:45

Dual Space

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Die Gültigkeit der von mir gegebenen Aussage ist trivial, da $\begin{eqnarray*} j\leq i \end{eqnarray*}$ und die a's und b's monoton fallen.

02.11.2008, 00:30

Roflkopter

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HI Inductere!
Ich hab mich auch nochmal an die Aufgabe gestezt, aber ich bin nicht wirklich auf einen richtigen Beweis gekommen, sondern mehr auf Schlussfolgerungen.

Kannst mich ja gerne mal kontaktieren.

skyet@(w)eb.de klammern weg, dann gebe ich dir auch meine uni mail smile

geb halt ungern meine e-mail im forum preis Augenzwinkern

kennst ja bestimmt die ganzen Spamer

Lieben Gruß

03.11.2008, 08:49

Dual Space

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Wo ist das Problem die Sache hier zu diskutieren?

03.11.2008, 15:44

Roflkopter

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Es gibt keine Probleme die Sache hier zu diskutieren, aber er/sie sollte sich nur mal bei mir melde, weil wir an der gleichen UNi studieren und in der gleichen Vorlesung sitzen^^

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