Vollständige Induktion

30.10.2008, 18:38

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Vollständige Induktion

Hey Leute, ich kämpfe mit folgender Aufgabe:

Beweisen Sie bitte mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion, dass folgende Identität gilt:

$\begin{eqnarray*} s_{n}:= \sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j+1}}{j}=\sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

So, also den Induktionsanfang mit n=1 hab ich gemacht. Da kommt auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ raus.

Also A(1) = wahr.

Aber jetzt keine Ahnung wie ich weiter machen sollen.
Wie man die vollständige Induktion macht, weiß ich eigentlich.
Aber bis jetzt hatten wir immer auf der einen Seite der zu beweisenden Gleichheit eine Summenformel und auf der anderen Seite irgendeinen anderen Term (einen Bruch oder so).
Naja und dann kommt noch dazu, dass wir bis jetzt immer nur Summenformeln von 1 bis n oder 0 bis n oder so hatten. Und jetzt steht da plötzlich irgendwas von n+1 bis 2n Finger1

Finger1

Finger1

Also, ich hab grad echt KEINE AHNUNG wie man das macht. unglücklich

unglücklich

30.10.2008, 18:41

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sagten schon so oft, keine Hilferufe im Titel! Entfernt!

***

Der Beweis ist viel einfacher, als man vermutet:

Wenn lt. Induktionsvoraussetzung die Formel für n richtig sei, brauchst du links und rechts nur jeweils das (n+1) te Glied addieren. Also ist eigentlich nur zu zeigen, dass diese beiden (n+1) ten Glieder gleich sind:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+2}}{2(n+1)} \ \text{und} \ \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

mY+

30.10.2008, 19:23

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Wir sagten schon so oft, keine Hilferufe im Titel! Entfernt!

***

Sorry

Ups

Zitat:

Original von mYthos
Der Beweis ist viel einfacher, als man vermutet:

Wenn lt. Induktionsvoraussetzung die Formel für n richtig sei, brauchst du links und rechts nur jeweils das (n+1) te Glied addieren. Also ist eigentlich nur zu zeigen, dass diese beiden (n+1) ten Glieder gleich sind:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+2}}{2(n+1)} \ \text{und} \ \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

mY+

DANKE

Tanzen

So einfach Big Laugh

Big Laugh

31.10.2008, 08:13

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Eine Frage habe ich noch:

Wie kommt man von

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j+1}}{j} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+2}}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$ ?

Lesen2

Lesen2

31.10.2008, 08:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Wenn lt. Induktionsvoraussetzung die Formel für n richtig sei, brauchst du links und rechts nur jeweils das (n+1) te Glied addieren. Also ist eigentlich nur zu zeigen, dass diese beiden (n+1) ten Glieder gleich sind:

Also ganz so einfach ist die Gemengelage nun auch wieder nicht. Von n nach n+1 kommen bei beiden Summen am Ende 2 Summanden hinzu und bei der Summe auf der rechten Seite fällt am Anfang ein Summand weg.

@Svenja1986: Schreibe die Summe $\begin{eqnarray*} s_{n+1} \end{eqnarray*}$ mal hin. Spalte die letzten beiden Summanden ab. Dann kannst du die Summe durch die rechte Seite der Behauptung ersetzen.

31.10.2008, 13:19

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich, soo einfach ist das auch wieder nicht, man muss das mit den Indices wirklich ordentlich durchdenken. Sorry & Thx für die Korrektur.

mY+

Anzeige

31.10.2008, 18:45

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} s_{n+1}:= \sum_{j=n+1}^{2n+2} \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} + \frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2}=\sum_{j=n+2}^{2n+2} \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Ist das so schon mal richtig?

Und was jetzt abspalten und ersetzen? verwirrt

verwirrt

31.10.2008, 20:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
unglücklich

unglücklich

Du hast es noch nicht mal geschafft in

$\begin{eqnarray*} s_{n}:= \sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j+1}}{j}=\sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

jedes n durch (n+1) zu ersetzen. Aber bitte nur die n's, nicht die j's. smile

smile

31.10.2008, 20:12

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} s_{n+1}:= \sum_{j=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{j+1}}{j}=\sum_{j=n+2}^{2n+2} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

So? traurig

traurig

01.11.2008, 11:01

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich hab da jetzt schon auf mehrere Weisen dran "rumgedoktert"...
Komme einfach nicht auf ein logisches Ergebnis Finger1

Finger1

Ist denn $\begin{eqnarray*} s_{n+1} \end{eqnarray*}$ überhaupt richtig, so wie ich das oben aufgeschrieben habe?
Und welche Summanden soll ich "abspalten"? unglücklich

unglücklich

01.11.2008, 11:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Induktionsbehauptung hast du jetzt richt geschrieben. Jetzt vergleiche mal $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{j+1}}{j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j+1}}{j} \end{eqnarray*}$ . Welche Summanden hat die erste Summe mehr im Vergleich zur zweiten Summe?

01.11.2008, 11:17

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

2 Summanden mehr...?

01.11.2008, 11:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und welche sind dies?

01.11.2008, 11:29

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n+2} \end{eqnarray*}$ ?

Oder muss ich da jetzt am "j" auch etwas verändern?

01.11.2008, 11:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das richtige, aber es zeigt, daß du das Summenzeichen noch falsch verstehst. Die erste Summe hat zusätzlich die Summanden zu den Indizes j=2n+1 und j=2n+2 mehr. Jetzt spalte von der ersten Summe diese beiden Summanden ab. Welchen Ausdruck hast du dann?

EDIT: muß jetzt mal was einkaufen. Wenn jemand anders will, kann er gerne weiter machen. smile

smile

01.11.2008, 12:14

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{j+1}}{j}+\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

So? Und das wären die beiden Summanden, die ich abspalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

01.11.2008, 13:38

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n+2}\frac{(-1)^{j+1}}{j} = \sum_{j=1}^{2n}\frac{(-1)^{j+1}}{j} + \stackrel{\mbox{2n+1-tes Glied der Summe}}{\overbrace{\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}}} + \stackrel{\mbox{2n+2-tes Glied der Summe}}{\overbrace{\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2}}} \end{eqnarray*}$

EDIT: fehler in formel korrigiert

01.11.2008, 14:14

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das, was ich oben geschrieben habe, richtig?

Und an welche Stelle setze ich jetzt diese beiden Summanden ein? Bzw. was ersetze ich damit?

01.11.2008, 14:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. So wie Duedi es geschrieben hat, ist es richtig. Wenn du die letzten beiden Summanden abspaltest, geht die Summe nur noch bis zum Index j = 2n.

Es muß allerdings heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n+2}\frac{(-1)^{j+1}}{j} = \sum_{j=1}^{2n}\frac{(-1)^{j+1}}{j} + \stackrel{\mbox{2n+1-tes Glied der Summe}}{\overbrace{\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}}} + \stackrel{\mbox{2n+2-tes Glied der Summe}}{\overbrace{\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du für den Summenausdruck $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n}\frac{(-1)^{j+1}}{j} \end{eqnarray*}$ die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung einsetzen.

PS: du tust dich sehr schwer damit. An was für ein Studium hast du dich denn herangewagt?

01.11.2008, 17:01

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe jetzt erstmal die beiden Summanden vereinfacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1} \end{eqnarray*}$ kann ich ja auch einfach als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ schreiben, da der Exponent ja nie ungerade wird.

und

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ , da der Exponent ja immer ungerade sein wird (egal was man für n einsetzt).

Richtig?

Dann setze ich für

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j+1}}{j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ ein.

Habe dann folgendes da stehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt komme ich zu einem Problem:
Habe mir dann mal die andere Summenformel angeschaut, um zu sehen, was am Ende überhaupt rauskommen muss, damit der Beweis richtig ist...

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+2}^{2n+2} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

So und hier steht ja nun nirgends etwas von einer -1 verwirrt

verwirrt

Wo liegt mein Fehler?

01.11.2008, 17:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Svenja1986
Richtig?

Ja.

Zitat:

Original von Svenja1986
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+2}^{2n+2} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

So und hier steht ja nun nirgends etwas von einer -1 verwirrt

verwirrt

Wo liegt mein Fehler?

Der Fehler ist, daß obige Gleichung falsch ist. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+2}^{2n+2} \frac{1}{j} = \sum_{j=n+2}^{2n} \frac{1}{j} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Links fängt die Summe bei n+2 an, also muß die Summe auch rechts bei n+2 anfangen. Du hast ja nur die letzen beiden Summanden abgespalten. Wenn wir nun die Summe bei j=n+1 anfangen wollen, müssen wir genau diesen Summanden wieder abziehen, sonst haben wir zuviel addiert. Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n+2}^{2n} \frac{1}{j} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} = \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt fasse mal $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ zusammen und siehe da ... smile

smile

01.11.2008, 17:57

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

WooooooooooooW smile

smile

Toll

Tanzen

Jetzt nur noch alles ordentlich aufschreiben... Big Laugh

Big Laugh

DANKE

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »