Gruppe

Neue Frage »

30.10.2008, 18:51	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Ich hab Probleme beim beweisen folgender Sachen. Sei G eine Gruppe. Zeige: a) $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1}=x\forall x\in G \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}\forall x,y\in G \end{eqnarray}$ c) Falls $\begin{eqnarray} x^2=1\forall x\in G \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ kommutativ. d) Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ endlich mit $\begin{eqnarray} \|G\|=2n= \end{eqnarray}$ gerade. Dann $\begin{eqnarray} \exists x\neq 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=x^{-1} \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} x^{-1}x=xx^{-1}=e \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} (y^{-1}x^{-1})(xy)=y^{-1}(xx^{-1})y=y^{-1}ey=y^{-1}y=yy^{-1}=e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (xy)(y^{-1}x^{-1})=x(y^{-1}y)x^{-1}=xex^{-1}=xx^{-1}=e \end{eqnarray}$ c) Hier bin ich mir nicht mehr so sicher. Der Prof. hat uns nur angeschrieben. Gilt $\begin{eqnarray} xy=yx \forall x,y\in G \end{eqnarray}$ so heißt $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ kommutativ oder abelsch. Hier kommt ein absurder Vorschlag: $\begin{eqnarray} x^2=xx=xx \wedge 1=1e=e1 \end{eqnarray}$ d) Hier bräuchte ich einen Tipp: Das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ müsste doch, $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ sein, aber was hat das mit $\begin{eqnarray} \|G\|=2n \end{eqnarray}$ auf sich. Vielen Dank im voraus.
30.10.2008, 19:47	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a) sollst du doch was ganz anderes zeigen. Oder bin ich jetzt auf dem falschen Dampfer? Benutze doch das inverse Element zu $\begin{eqnarray} (a^{-1}) \end{eqnarray}$ und versuch damit was zu machen.
30.10.2008, 19:51	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry ist mir jetzt erst aufgefallen ich weiß noch was und zwar heißt $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ die Mächtigkeit von G (also die Anzahl der Elemente aus G) .
30.10.2008, 20:07	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a habe ich doch das inverse Element benutzt und gezeigt, dass ich das neutrale Element erhalte. d) Ja ich weiß dass das die Mächtigkeit 2n hat, aber wie muss ich das mit in die Aufgabe beziehen?
30.10.2008, 20:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Teile die G in Teilmengen {g,g^-1} auf. Zeige dann das es mind. 2 Mengen dieser Art gibt die nur ein Element enthalten.
30.10.2008, 20:38	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Kiste, ich weiß nicht wie du das meinst? Wie soll ich das denn in Teilmengen aufteilen? Kannst du mir eine Teilmenge konstruieren und ich versuche die andere?
Anzeige

30.10.2008, 20:45	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab doch schon gesagt wie du aufteilen sollst. Betrachte $\begin{eqnarray} G = \bigcup_{g\in G} \{g,g^{-1}\} \end{eqnarray}$ als disjunkte Vereinigung(sprich du vereinigst nur Mengen die noch nicht drin ist). Jetzt schaue für wie viele $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ gilt dass $\begin{eqnarray} \{g,g^{-1}\} = \{g\} \end{eqnarray}$ ist, also $\begin{eqnarray} g = g^{-1} \end{eqnarray}$ gilt.
30.10.2008, 21:08	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie verstehe ich das nicht ganz, du sagst ich soll G in Teilmengen $\begin{eqnarray} \{g,g^{-1}\} \end{eqnarray}$ aufteilen. Meinst du damit z.B: $\begin{eqnarray} \{-1,-1\}\cup \{1,1\}\cup \{2,\frac{1}{2}\}... \end{eqnarray}$ Dann sind die beiden einzigen Mengen die ein Element enthalten: $\begin{eqnarray} {1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{-1\} \end{eqnarray}$ oder nicht?
30.10.2008, 21:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir eigentlich bewusst was eine Gruppe ist? Da müssen nicht unbedingt Zahlen drin vorkommen! Denke nochmal genau über die Definition nach und gehe die Beispiele ohne Zahlen durch die ihr hattet.
30.10.2008, 21:20	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Also unser Prof. hat das heute notgedrungen in den letzten 5 Minuten der Vorlesung eingeführt, weil es in den Übungsblättern vorkommt und wir diese bearbeiten müssen. Dazu hat er gesagt: Eine Gruppe ist eine Menge G auf der eine Verknüpfung definiert ist. Dann hat er uns das Assoziativgesetz gezeigt, das neutrale Element und das inverse Element. Mehr nicht. Beispielaufgaben etc. haben wir auch nicht gesehen, so dass ich nicht wirklich weiß wie ich die Aufgaben angehen soll. Deswegen verzeih mir bitte wenn ich nur Blödsinn aufschreibe, nur es ist für mich schwer deinen Gedankengang nachzuvollziehen, etwa das aufteilen in Teilmengen und zu sagen für welche $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ gilt dass $\begin{eqnarray} \{g,g^{-1}\}=\{g\} \end{eqnarray}$ ist.
30.10.2008, 21:27	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch nicht gefragt für welche, sondern wie viele. Aber okay noch einen Tip: Für das neutrale Element e gilt e=e^-1 also fällt es für dieses schon einmal zusammen. Jetzt weißt du das \|G\| gerade ist und Vereinigung aller Elemente wobei jedes Element mit seinem Inversen zusammengefasst wurde. Nehme jetzt an das e das einzige Element ist das mit seinem Inversen zusammenfällt.
30.10.2008, 21:36	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich annehme dass e das einzige Element ist das mit seinem Inversen zusammenfällt, müsste doch $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ ungerade sein was zu einem Widerspruch führt. Also muss es noch eins geben. Mir fällt jetzt gerade nur $\begin{eqnarray} -e=-e^{-1} \end{eqnarray}$ ein.
30.10.2008, 23:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man von $\begin{eqnarray} g^{-1} \end{eqnarray}$ spricht so wird die Verknüpfung multiplikativ geschrieben. D.h. $\begin{eqnarray} - \end{eqnarray}$ ist gar nicht definiert! Den Widerspruch solltest etwas genauer noch erklären
31.10.2008, 13:58	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bekomme ich doch eine Vereinigung: $\begin{eqnarray} G=\{a,a^{-1}\}\cup \{b,b^{-1}\}\cup ... \cup {e} \Rightarrow \|G\|=2n-1 \end{eqnarray}$ Widerspruch So etwa? Wenn das so wäre müsste es doch also jetzt noch ein Element geben, was mit seinem Inversen zusammenfällt, welches wäre das?
31.10.2008, 14:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist der Widerspruch. Welches das ist kann man doch nicht allgemein sagen, immerhin ist eine Gruppe nur ein abstraktes Konstrukt, nichts mit Zahlen oder so.
31.10.2008, 15:12	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey vielen dank, das hat mir wirklich sehr geholfen Ich hatte in meinem ersten Beitrag, etwas zur c) geschrieben. Was sagst du dazu?
31.10.2008, 15:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 = xx \end{eqnarray}$ ist die Definition bringt also nichts zum Beweis. $\begin{eqnarray} 1e \end{eqnarray}$ verstehe ich nicht. Entweder du nennst das neutrale Element e oder 1 Zu zeigen ist doch $\begin{eqnarray} \forall x,y\in G : xy = yx \end{eqnarray}$ . Also fange an mit $\begin{eqnarray} xy = x(xy)^2y = \ldots \end{eqnarray}$
31.10.2008, 15:25	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt gerade verstehe ich nichts mehr: Ich soll zeigen: Falls $\begin{eqnarray} x^2=1\forall x\in G \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ kommutativ. Ich weiß auch dass für die Kommutativität zu zeigen ist, dass: $\begin{eqnarray} \forall x,y\in G: xy=yx \end{eqnarray}$ Aber wieso ist: $\begin{eqnarray} xy=x(xy)^2y \end{eqnarray}$ ? Wie kann die linke Seite gleich der rechten Seite sein?
31.10.2008, 15:27	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} xy \in G \end{eqnarray}$ also gilt $\begin{eqnarray} (xy)^2 = 1 \end{eqnarray}$ ...
31.10.2008, 15:39	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh weh oh weh, wie hätte ich den auf sowas kommen sollen? Und wieso gilt das überhaupt? Das hat unser Prof garnicht gesagt Dann mach ich Mal bei deiner Gleichung weiter: $\begin{eqnarray} xy=x(xy)^2y=xx^2y^2y \end{eqnarray}$ Hieraus müsste jetzt irgendwie $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ rauskommen, doch wie bekomme ich das hin. Wobei ich schon eingestehen muss, dass es ganz schlecht ist nicht zu wissen, dass $\begin{eqnarray} (xy)^2=1 \end{eqnarray}$ gilt.
31.10.2008, 15:46	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit ein wenig rumprobieren wie ich eben auch Und dein Prof muss dir nicht alles sagen, steht alles in der Definition und der Aufgabestellung. Du hast übrigens falsch ausmultipliziert. Und es muss am Ende $\begin{eqnarray} \ldots = yx \end{eqnarray}$ rauskommen nicht $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ .
31.10.2008, 15:50	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt es muss $\begin{eqnarray} ...=yx \end{eqnarray}$ rauskommen, aber jetzt verstehe ich schon wieder nicht, wieso ich falsch ausmultipliziert habe? Haben sich aufeinmal alle Rechengesetze geändert? Ich dachte immer $\begin{eqnarray} (xy)^2=x^2y^2 \end{eqnarray}$ . Und eine Frage hätte ich auch noch, wie kannst du denn von der Definition ablesen, dass $\begin{eqnarray} (x,y)^2=1 \end{eqnarray}$ ist? Ich sehe das nie und nimmer aus der Definition heraus Danke
31.10.2008, 16:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay durch die Definition der Gruppe ist $\begin{eqnarray} xy \in G \end{eqnarray}$ es gibt also ein $\begin{eqnarray} z \in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z = xy \end{eqnarray}$ . Da nach Vorraussetzung(steht im Aufgabentext!) für alle Gruppenelemente z gilt $\begin{eqnarray} z^2 = 1 \end{eqnarray}$ muss folglich $\begin{eqnarray} (xy)^2 = 1 \end{eqnarray}$ sein. $\begin{eqnarray} (xy)^2 = (xy)(xy) = xyxy \end{eqnarray}$ . Du hast einfach so die Kommutativität angenommen beim Ausmultiplizieren
31.10.2008, 16:21	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, super erklärt kiste, weiß garnicht wie ich dir danken kann. Also ich habs in der Zwischenzeit probiert und bin soweit gekommen: $\begin{eqnarray} xy=x(xy)^2y=x(xy)(xy)y=(xx)(yx)(yy)=x^2(yx)y^2 \end{eqnarray}$ Ist das der richtige Weg? Mich stört jetzt dass $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ wie kriege ich das da weg?
31.10.2008, 16:29	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Element im Quadrat ist nach Vorraussetzung...
31.10.2008, 16:38	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
=1 Also: $\begin{eqnarray} ...=x^2(yx)y^2=1(yx)1=yx \end{eqnarray}$ So?
31.10.2008, 16:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
31.10.2008, 16:42	Bastifantasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Kiste, ich danke dir sehr für deine Geduld. Würde mich gerne irgendwie revanchieren, wüsste aber nicht wie, da ich dir sicherlich niemals in Mathe helfen könnte. Also ein ganz dickes Dankeschön.

Neue Frage »

Antworten »

Gruppe

Verwandte Themen