Ein merkwürdiges Paradox...

10.08.2006, 22:40

akechi90

Ein merkwürdiges Paradox...

Ich bin auf ein merkwürdiges Paradox gestoßen, als ich nebenher über ein Zahlensystem mit der Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{2} \end{eqnarray*}$ nachgedacht habe, es lautet folgendermaßen:

Nehmen wir an, wir definieren das System folgendermaßen:

Es sei A eine Kernzahl, von welcher jeweils zwei Zweigzahlen B und C ausgehen; diese zwei Zweigzahlen sind wieder jeweils Kernzahlen für die neuen Zweigzahlen D und E bzw. F und G. Dieses System setzt sich unendlich fort. Jede Zahl nimmt entweder den Zustand 0 oder 1 an.

Von der Kernzahl aus kann man stets eine Zweigzahl wählen, von der aus man wieder eine weitere Zweigzahl wählt. Man bewegt sich also stets nach rechts. Dieser Weg sei als "Pfad" bezeichnet. Die Menge der Zweigzahlen, die auf einem Pfad liegen, hat dementsprechend die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{0} \end{eqnarray*}$ .

Eine derartige "Zahl" kann also zum Beispiel so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 0^{1^{0...}_{1...}}_{0^{1...}_{1...}} \end{eqnarray*}$

Das alles muss man sich jetzt unendlich weit nach rechts fortgesetzt vorstellen.

Rechnerisch gesehen, ist die Kardinalität der Anzahl aller möglichen Konfigurationen von 0 und 1 in diesem System folgendermaßen zu berechnen:

Jede Kernzahl hat zwei Gabelungen; da die Menge der Punkte auf einem Pfad die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{0} \end{eqnarray*}$ besitzt, muss die Menge aller Kern- bzw. Zweigzahlen die Kardinalität $\begin{eqnarray*} 2^{ \aleph _{0}} = \aleph _{1} \end{eqnarray*}$ besitzen.
Da jede Kernzahl zwei Zustände annehmen kann, ist die Menge aller Gesamtzustände $\begin{eqnarray*} 2^{ \aleph _{1} }= \aleph _{2} \end{eqnarray*}$ .
Demnach hat das Zahlensystem die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{2} \end{eqnarray*}$ .

Jedoch:

Man kann jeder Zweig- bzw. Kernzahl eine natürliche Zahl zuordnen:

$\begin{eqnarray*} 1^{2^{4...}_{5...}}_{3^{6...}_{7...}} \end{eqnarray*}$ .

Die Menge aller Kern- bzw. Zweigzahlen hat demnach die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{0} \end{eqnarray*}$ , das Zahlensystem hat folglich die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{1} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein krasser Widerspruch!

Aber wie kommt er zustande?

10.08.2006, 22:56

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RE: Ein merkwürdiges Paradox...

Zitat:

Original von akechi90
Da jede Kernzahl zwei Zustände annehmen kann, ist die Menge aller Gesamtzustände $\begin{eqnarray*} 2^{ \aleph _{1} }= \aleph _{2} \end{eqnarray*}$ .
Demnach hat das Zahlensystem die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{2} \end{eqnarray*}$ .

Diese Argumentation kann ich nicht nachvollziehen, und halte ich für falsch. Die Formulierung deiner Kern- und Zweigzahlen ist mir auch etwas zu schwammig...

Zitat:

Original von akechi90
Man kann jeder Zweig- bzw. Kernzahl eine natürliche Zahl zuordnen:

$\begin{eqnarray*} 1^{2^{4...}_{5...}}_{3^{6...}_{7...}} \end{eqnarray*}$ .

Die Menge aller Kern- bzw. Zweigzahlen hat demnach die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{0} \end{eqnarray*}$ , das Zahlensystem hat folglich die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph _{1} \end{eqnarray*}$ .

Zustimmung.

10.08.2006, 23:04

akechi90

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Nach der Cantor'schen Kontinuumshypothese gilt doch $\begin{eqnarray*} 2^{ \aleph _{n}}= \aleph _{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Die Kern- bzw. Zweigzahlen muss man sich eher wie Knotenpunkte in einem Baum vorstellen. Und kombinatorisch betrachtet gilt doch: Wenn jeder Punkt einer Menge k Zustände annehmen kann, dann kann die gesamte Menge mit n Elementen $\begin{eqnarray*} k^{n} \end{eqnarray*}$ Zustände annehmen.
Oder gelten kombinatorische Ansätze bei unendlichen Kardinalitäten etwa nicht mehr?

10.08.2006, 23:06

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Das bestreitet ja auch keiner.

Im Grunde genommen betrachtest du unendliche Binärbrüche, also sowas wie

$\begin{eqnarray*} [0,110100101101001000100011101001011\ldots]_2 \end{eqnarray*}$

Ob du die nun wie gewohnt schreibst, oder die Stellen so in der Ebene gruppierst wie du in 1, 2, 4, 8, ... Positionen pro Spalte,

$\begin{eqnarray*} [0,1\quad 10\quad 1001\quad 01101001\quad 0001000111010010\quad 11\ldots]_2 \end{eqnarray*}$

ist völlig wurst.

Deine Verwirrung in der ersten Betrachtung resultiert m.E. daraus, dass du nirgendwo klar definiert hast, was du unter Kernzahl und Zweigzahl verstehst: Sind das nur die Nullen und Einsen an bestimmten Positionen? Sind das ganze Unterpfade, oder wie, oder was...

10.08.2006, 23:20

akechi90

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Ich verstehe das so, dass wir da einen Baum haben, bei dem die Zweige nicht direkt eingezeichnet sind, wie bei Wahrscheinlichkeitsbäumen.

Das heißt, dass wir einen Knoten haben, und von dem gehen zwei Zweige aus, an deren Ende jeweils ein weiterer Knoten ist. Und von diesen Knoten gehen wieder jeweils zwei solche Zweige aus, usw.

Eine Kernzahl definiere ich wie folgt: Es ist die Zahl, von der zwei Zweige ausgehen. (diese Aussage ist immer bezogen auf die zwei Endknoten der Zweige).
Eine Zweigzahl ist eine Zahl, die am Endpunkt eines Zweiges liegt (vom Knoten aus gesehen)

Also ist eine Zahl stets Kern- und Zweigzahl. Die Definition einer Zahl entsteht aus der Position, von der aus man die Zahl betrachtet.

10.08.2006, 23:21

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$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f:\,A \to B \end{eqnarray*}$ gibt. Du beschreibst in deinem ersten Ansatz nur eine injektive Abbildung, und da hat man nur $\begin{eqnarray*} |A|\leq |B| \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} \aleph_1\leq 2^{\aleph_1}=\aleph_2 \end{eqnarray*}$ ist ja kein Widerspruch.

Denk nochmal genau drüber nach, das ist der Knackpunkt!

10.08.2006, 23:27

akechi90

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Natürlich, jetzt habe ich mich erstmals von Unendlichen aufs Glatteis führen lassen Hammer

Danke, ArthurDent

Bin übrigens noch immer an dem alten Problem dran, keine Sorge Augenzwinkern

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