Beweis bestimmter Relationseigenschaften

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31.10.2008, 20:30	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis bestimmter Relationseigenschaften Hallo, ich habe da ein Problem mit folgender Aufgabe: http://img123.imageshack.us/img123/7162/geschwisterrelationcc3.jpg http://img123.imageshack.us/img123/geschwisterrelationcc3.jpg/1/w582.png Bei mir kommt irgendwie bei a) für beide raus, dass es Äquivalenzrelationen sind. Ich dachte mir, dass wenn x und y M und V als Elternmenge haben und y und z eine Elternmenge haben, dann muss diese ebenfalls M und V sein, da y ja nur eine einzige Elternmenge haben darf. Nun heißt das aber, dass z ebenfalls M und V als Elternmenge hat, also auch Bruder/Schwester von x ist. Laut Aufgabenstellung soll man aber zeigen, dass die Relation "geschwister" nicht transitiv sein darf. Es wird wohl was mit dem y /= y zu tun haben, aber mir fällt beim besten Willen nicht ein,was... Ich wäre also für eure Hilfe sehr dankbar!
31.10.2008, 20:49	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Eine Äquivalenzrelation ist die Geschwister-Relation nicht, weil die Reflexivität nicht gilt: Es kann nicht x geschwister x gelten, denn x und x sind ja nicht verschieden. Aber bei der Transitivität wundere ich mich auch -- wie Du sagtst: Wenn x geschwister y und y geschwister z gilt, dann haben x und y, y und z dieselbe Elternmenge. Also sollten doch auch x und z dieselbe Elternmenge haben. Oder gelten in der Mathematik andere Regeln?
31.10.2008, 21:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Geschwister-Relation ist offenbar symmetrisch. Haben $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ dieselbe Elternmenge, so gilt also sowohl $\begin{eqnarray} x\sim y \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} y\sim x \end{eqnarray}$ . Nach Transitivität müsste dann auch was gelten? Da steckt der 'Widerspruch'.
31.10.2008, 21:47	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann müsste doch gelten, dass aus x ~ y und y ~ z auch x ~ z als auch z ~ y gelten müsste. Falls das so stimmt, sehe ich ehrlich gesagt keinen Widerspruch...
01.11.2008, 01:26	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder meinst du, dass dann gelten muss, dass x ~ x, was bedeuten würde, dass die Relation reflexiv ist, was sie allerdings nicht ist (da nur dann ein Bruder/ eine Schwester existieren kann, wenn die Eltern dieses Kindes noch mindestens ein weiteres Kind haben)?
01.11.2008, 11:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das. Aus $\begin{eqnarray} x\sim y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\sim x \end{eqnarray}$ müsste mit Transitivität auch $\begin{eqnarray} x\sim x \end{eqnarray}$ folgen, Widerspruch.
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01.11.2008, 13:14	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, super, vielen Dank für die Hilfe! Da hätte ich aber auch gleich eine weitere Frage: Wie genau sieht denn die Menge hiervon aus: (0, 1) allg parallel, wenn gilt: http://img507.imageshack.us/img507/9919/aufgabeog2.jpg http://img507.imageshack.us/img507/aufgabeog2.jpg/1/w444.png Bin mit der Schreibweise nämlich noch nicht sonderlich vertraut; wenn ich ein konkretes Beispiel habe kann ich sicherlich mehr mit der Aufganestellung anfangen.
01.11.2008, 13:24	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Für diese Relation brauchst du jeweils ein Zahlenpaar. $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ stehen zB in Relation. Ein etwas besseres Beispiel wäre, dass auch $\begin{eqnarray} (6,3) \sim (1,0.5) \end{eqnarray}$ gilt, denn: $\begin{eqnarray} 6 \cdot 0,5 = 3 \cdot 1 ~\Leftrightarrow 3 = 3 \end{eqnarray}$ air
01.11.2008, 14:09	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, dann hab' ichs mir anfangs doch richtig gedacht... Warum ich meine "Idee" jedoch wieder verworfen habe, war ein Teil der Aufgabenstellung, nämlich: Bestimmen Sie die Bildmengen (0, 1) allg parallel und (2, 1) allg parallel. Zeigen Sie,dass der Schnitt dieser beiden Mengen nichtleer ist. a) Wenn ich nun 0 für x und 1 für y habe, dann ist die linke Seite ja null. Dann muss die rechte Seite auch null sein, also beispielsweise mit u = 0 und v = 5. b) Wenn man aber (2,1) betrachtet, dann wird die linke Seite doch 2, und die rechte Seite muss auch zwei ergeben - nur wäre dann die Schnittmenge zwischen a) und b) nicht null - im Gegensatz dazu,was gezeigt werden muss?
01.11.2008, 14:46	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich sehe grade, dass ich mich verschaut habe: Es muss richtiger heißen: x * v = y * u, also 0 * v = 1 * u; u muss demnach u sein, v kann aber jede belibige Zahl element aus N sein.
01.11.2008, 20:16	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
So, im Nachhinein betrachtet war das eine eher leichte Aufgabe im Vergleich zu der nächsten: Seien R1 [Teilmenge von] M2 und R2 [Teilmenge von] M2 zwei Äquivalenzrelationen über einer beliebigen Menge M. Zeigen Sie, dass auch der Schnitt R1 [GESCHNITTEN MIT] R2 eine Aquivalenzrelation über M ist. Gilt eine analoge Aussage auch für die Vereinigung von zwei Aquivalenzrelationen? Ich habe bislang leider keine Idee, wie ich da anfangen soll; ich hätte vielleicht zuerst definiert, dass x, y sowohl in R1 und R2 liegen, aber wie soll ich damit nun Äquivalenzen beweisen?
02.11.2008, 20:42	Hephaestos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, keiner eine Idee?

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