Mengenlehre und Äquivalenzrelation |
| 31.10.2008, 20:58 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Mengenlehre und Äquivalenzrelation ich bin ein Philosophiestudent im 1. Semester und werde gleich genötigt, dass ich in den Kurs "Einführung in die mathematische Logik" gehe, was dabei rauskommt, kann man sich wohl denken 
Ich habe nächsten Montag eine Übung und habe bei zwei Aufgaben große Probleme und hoffe, dass ihr mir etwas helfen könnt. 
1) Beweise 0,32675 = 0,32674999.... (Tipp: Zwei Zahlen sind gleich, wenn ihre Differenz absolut kleiner als jede noch so kleine positive Zahl ist) So, diese Aufgabe ist doch eigentlich die selbe, wie die immer wiederkehrende Frage: "Ist 0,999... = 1?" nicht? - Dass ich das mit dem Grenzwert beweisen kann, dass 0,999... = 1 ist, habe ich soweit begriffen oder zumindest akzeptiert 
. Aber was könnte mein Professor jetzt meinen mit seinem Tipp? Kann man diese Aufgabe auch noch auf eine ganz andere Art beweisen?2) Beweise, dass die Gleichmächtigkeit bzw. Äquivalenz von Mengen eine Äquivalenzrelation ist. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann haben sowohl Gleichmächtigkeit wie auch die Äquivalenzrelation, die selben Eigenschaften, die da wären: a) Reflexivität b) Symmetrie c) Transivität Aber dies wird wohl als Beweis nicht ausreichen, oder? Wie würdet ihr das am Sinnvollsten beweisen? Danke schonmal im Voraus für eure Mühe und eure Zeit. Ich bin da echt überfordert ... Liebe Grüße Jonathan |
||||
| 31.10.2008, 21:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Mengenlehre und Äquivalenzrelation Halte es wie in Waldis WM Club "Na, i red nur drüber"
1. 0,999... = 1 2. Schlag nach, wie ihr "2 Mengen sind gleichmächtig" definiert habt. Über eine Bijektion zwischen den Mengen? Die angegeben Punkte von dir gilt es dann nachzuweisen |
||||
| 31.10.2008, 21:53 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke erstmals für die Antwort
Zu 1. Ich weiß schon, dass das mit 0,999 ... = 1 geklärt wurde und zwar mit Hilfe der Grenzwert-Formel, dass verstehe ich auch
. Aber das ist doch nicht der selbe Beweis, wie derjenige, den der Professor haben will, wenn er schreibt: "Tipp: Zwei Zahlen sind dann gleich, wenn ihre Differenz absolut kleiner als jede noch so kleine positive Zahl ist." Oder etwa doch?
2. Ja, ich glaube, wir haben das so definiert. Hmm mal schauen, wie ich das nachweisen könnte ... |
||||
| 31.10.2008, 22:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Imho steckt das in der ersten Antwort von Kiste drinnen. Denn eine Differenzbildung ist hier doch nicht wirklich sinnvoll. Wie willst du diese Berechnen. Also nimm den Abstand >0 an, und führe es zum Widerspruch. 2. Dann lass mal sehen.
Zumindest über die Definition kannst du dir mit einem Blick in den Skript ja schnell Klarheit verschaffen. |
||||
| 31.10.2008, 22:20 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Ups, sorry, ja natürlich, der erste Beitrag von Kiste ist perfekt. Damit hab ich jetzt alles für diese Aufgabe, um sie beweisen zu können, wenn ich aufgerufen werde - vielen Dank!
2. Also im Skript steht: "Zwei Mengen A und B heißen gleich mächtig, wenn es eine eineindeutige Abbildung zwischen Ihnen gibt, das heißt, eine eineindeutige Funktion F, deren Vorbereich A und deren Nachbereich B ist und umgekehrt." Dann steht da noch: "Man kann leicht erkennen, dass die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation ist" und das war es mal vorläufig. Also werde ich jetzt beweisen müssen, dass sowohl bei der Gleichmächtigkeit wie auch bei der Äquivalenzrelation gilt: a) aRa b) Wenn aRa gilt, dann gilt auch aRb c) Wenn aRb und bRc gilt, dann gilt auch aRc Ist das so korrekt? Aber, muss ich dann einfach irgendeine Funktion erfinden? Ich hab null Plan. Danke nochmal für deine Hilfe! |
||||
| 31.10.2008, 22:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. feddisch 2. Mit der Bijektion F gibt es auch eine Umkehrabbildung . a. reflexiv: Was ist die billigste Bijektion die man sich vorstellen kann. Gerade wenn man A auf A abbilden will.
b. Symmetrie: Naja, mit der Umkehrabbildung sollte das geklärt sein. c. Transitiv: Hier müssen wir Wissen über die Verknüpfung von Abbildungen Verwenden. F: A -> B bijektiv,~G: B -> C Bijektiv. Ist dann G ° F : A ->C auch eine Bijektion? Das herauszufinden überlasse ich dir. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 31.10.2008, 22:53 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm ich bin wohl doch um einiges blöder, als ich angenommen habe .. 2. a) Die einfachste Bijektion? --> gilt nicht für jede natürliche Zahl aRa? Wobei ich dann auch nicht genau wüsste, wie ich das am besten hinschreibe. b) Ergibt sich dann natürlich, das ist klar. c) Darüber muss ich noch nachdenken
|
||||
| 31.10.2008, 22:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, das sollte dem angehenden Philosophen doch entgegen kommen.
Zu a mal ein Bildtipp: |
||||
| 31.10.2008, 23:07 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
|
Ich wollte mich ja auch nicht beschweren, sondern nur sagen, dass es schon rel. spät ist heute abend *lach*. Und ich hatte heute schon ne tolle Vorlesung über den Unterscheid zwischen "ist" und "sein", was wirklich in komplexen Problemem ausartet. Aber das will ich dir jetzt nicht antun ^^ Soll ich dein Bild so interpretieren, dass jeder Punkt im Koordinatensystem zwei Puntke hat? Also zB A (4/4) oder bin ich da meilenweit daneben? |
||||
| 01.11.2008, 00:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie vieles liegt die Interpretation im Auge des Betrachters. Und da wir bei Abbildiungen sind wird wohl eher F: 4 -> 4 der Sinn meines Bildes gewesen sein. Und den anderen Elementen von A geht es auch nicht besser. Jedes wird auf sich selbst zurückgeworfen.
vielleicht ist es nichts die einfachste Abbildung, ... wenn man sich mit sich selbst auseinandersetzten muss
night, oft kommen einem die besten Ideen über Nacht. 
|
||||
| 01.11.2008, 12:49 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, ich hab gestern nacht und heute morgen noch mal ein bisschen über den ganzen Spaß nachgedacht und hab dann in den Tiefen des Skriptums ein Beispiel gefunden: "Wir gehen von der Menge N der natürlichen Zahlen und der sogenannten ganzzahligen Divison durch 5 aus. Wir können somit definieren: Es soll aRb für zwei natürliche Zahlen a und b genau dann gelten, wenn a und b bei ganzzahliger Division durch 5 den gleichen Rest ergeben." --> das heißt. a) reflexiv --> für jede natürliche Zahl a, gilt natürlich aRa --> das haben wir ja gestern noch besprochen F: 4 --> 4 b) symmetrisch: Wenn aRb gilt, dann muss ja auch bRa gelten, weil bei beiden der gleiche Rest sein muss. c) transitiv: Wenn aRb und bRc gilt, dann gilt auch aRc, weil, wenn a und b bei gannzahliger Division durch 5 jeweils den gleichen Rest ergebe, ebenso b und c, dann müssen auch a und c bei ganzzahliger Divison durch 5 den gleichen Rest ergeben. Sooooo, wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist somit jetzt bewiesen, dass diese Funktion eine Äquivalenzrelation ist und somit auch Gleichmächtig ist. Ich müsste es jetzt einfach noch irgendwie schaffen, dies zu verallgemeinern, so, dass ich es schaffen kann zu beweisen, dass die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation ist? Oder bin ich schon wieder völlig daneben?
|
||||
| 01.11.2008, 13:39 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Wieso sollen wir hier von einer Division ausgehen. 
Wir gehen davon aus, was ich hingeschrieben habe. Die Relation hat die Gestalt:Du solltest dich mit dem Begriff: http://de.wikipedia.org/wiki/Bijektivit%C3%A4t auseinandersetzten. Dann wäre klar, dass wir bei a) natürlich die Menge A und nicht einzelne Elemente betrachten. Die einfachste Bijektion ist die Identität. Und die existiert mit Sicherheit, somit ist A gleichmächtig mit sich selbst. (gemäß der Definition) Für b braucht man die Umkehrabbildung. Für c eben den nachweis, dass eine Verkettung von Bijektionen wieder bijektiv ist. Aber das sagte ich eigentlich schon alles.
|
||||
| 01.11.2008, 14:19 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm Hmm gut, aber dann wäre meine Aufgabe ja jetzt eigentlich nur noch, dass ich die Definitionen für a) reflexiv b) symmetrisch c) transitiv finde? Aber damit habe ich doch noch nicht bewiesen, dass die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation ist, oder schon? Sorry, dass ich mich so "blöd" anstelle, ich versuch das echt zu begreifen ... |
||||
| 01.11.2008, 14:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(Finde keinen Haarausraufen smiley)Nein, die Definitionen stehen doch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)#Attribute_f.C3.BCr_homogene_Relationen Du sollst dich endlich mit dem Begriff Bijektion beschäftigen. Was man dann zeigen muss, damit R eine Äquivalenzraletion ist, sagte ich doch schon x-mal
|
||||
| 01.11.2008, 14:47 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldige bitte, dass ich dich aufrege ... das wollte ich echt nicht
Ich hab mir das zu Bijektion ja durchgelesen und nicht nur hier, sondern auch in Büchern. Was ich herauslesen kann, ist halt folgendes: a) F: A --> B gilt dann, wenn für alle a e A genau ein b e B mit f(a)=b existiert. b) Bei der Umkehrfunktion muss es halt so sein, dass F^-1: B --> A ist c) Ja natürlich ist es auch eine Bijektion. |
||||
| 01.11.2008, 14:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
|
Nicht das gilt dann. Herje, wie soll ich es dir erklären. a) Ist (A,A) Element von R?. Ja, denn wir können die Bijektion F: A -> A,~F(a)=a wählen. F nennt man dann die Identität. Es gibt also eine Bijektion zwischen a und A. b) Sei nun (A,B) in R. Das heißt es gibt eine Bijektion F: A -> B. gibt es dann auch eine Bijektion G: B -> A? Ja die Gibt es. Da F bijektiv ist exisitert die Umkehrabbildung und die ist das gesuchte G, sodass auch (B,A) in R liegt. c) Seien (A,B) und (B,C) in R.. D.h. es gibt Bijektionen F: A->B und G: B ->C . Gibt es dann auch eine Bijektion H: A -> C? Ja, denn die Hintereinanderausführung von Bijektionen ist wieder eine Bijektion. Wählt man H= G°F, so folgt dass auch (A,C) in R ist. Die Fetten Sachen benötigen einen Beweis. Der hat nun nichts mit Äquivalenzrelationen zu tun. Entweder steht das als Korollar bei dir schon im Skript oder du musst es eben Beweisen. Dafür musst du die Definition der Bijektion verwenden. |
||||
| 01.11.2008, 16:24 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, dass ich so langsam dahinter komme, was du meinst. Das hat mir jetzt wirklich geholfen, danke!
Die Definition einer Bijektion ist ja, dass sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, nicht? Und aus diesem Grunde hat sie ja auch immer eine Umkehrfunktion. |
||||
| 01.11.2008, 16:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, das ist zu "schwammig". Aber du bist auf der richtigen Spur. |
||||
| 01.11.2008, 16:42 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich verstehe, was du meinst. Eine Abbildung heißt Bijektion dann, wenn f injektiv und surjektiv ist. Bei einer injektiven Abbildung gibt es zu jedem Element höchstens ein Element mit b = f(a). Deshalb muss es logischerweise eine Umkehrfunktion geben. Das sollte mal eigentlich b) erklären. |
||||
| 01.11.2008, 16:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, nur injektiv reicht bei b) nicht. Denn du musst ja jedem b aus B ein a aus A zuordnen.
|
||||
| 01.11.2008, 17:01 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Argh, die Aufgabe macht mich noch fertig ...
Also, fassen wir nochmal zusammen. Eine Abbildung F: A --> B heißt Bijektion oder bijektive Abbildung genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist. Bei einer injektiven Abbildung gibt es zu jedem Element b e B höchstens ein Element a e A mit b = f(a). F ist surjektiv, wenn für alle b aus B mindestens ein a aus A mit f(a) =b existiert. Ist das jetzt so richtig?
|
||||
| 01.11.2008, 17:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jo. Und was f^-1 angeht. Da f surjektiv ist, finden wir zu jedem b mindestens ein a aus A. Da f injektiv ist, ist dies sogar eindeutig bestimmt. damit ist auch f^{-1} injektiv. Warum ist f^-1 auch surjektiv. (widerspruch konstruieren) |
||||
| 01.11.2008, 20:19 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm damit bin ich scheints schon wieder überfordert ... muss mir das durchdenken ... |
||||
| 01.11.2008, 20:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann denk mal.
|
||||
| 01.11.2008, 22:04 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab da jetzt einiges in Büchern und I-Net Seiten durchgelesen, aber ich komm da nicht drauf. Man merkt jetzt natürlich schon, dass ich halt quasi null Vorwissen habe und ins kalte Wasser geworden wurde. Tut mir echt leid ...
|
||||
| 02.11.2008, 12:04 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab unter Umständen etwas gefunden, was das erklären könnte ... Da f^-1 auch als Injektiv vorrausgesetzt wurde , und es eine Funktion ist, folgt das f und f^-1 surjektiv sind. Daraus folgt dann die Bijektivität. Sie sind surjektiv, weil der Bildbereich von f genau der Urbildbereich von f^-1 ist, und das auch nur weil Funktionen linkstotal sein müssen. Aber das wird wohl nicht das sein, was du gemeint hast, oder?
|
||||
| 02.11.2008, 12:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, wenn man etwas beweisen will, kann man es ja nicht voraussetzen.
Sagen wir es mal so. Da f bijektiv ist (und eine Funktion) finden wir für jedes a in A ein b in B mit f(a)=b. Schreiben wir es als Paar (a,b).Drehen wir nun die bedeutung der Zuordnung um (b,a). Surjektivität folgt aus der Eigenschaft, dass f eine Funktion ist. Aus der sujektivitätvon f folgt, dass wir jedem b mindestens ein a zuordnen können. aus der Injetivität, dass dieses eindeutig ist. Somit ist die Umkehrabbildung eine bijektive Funktion. |
||||
| 02.11.2008, 12:20 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das verstehe ich. Aber dann verstehe ich deine Fragen nicht so ganz: Warum ist f^-1 auch surjektiv? (widerspruch konstruieren) Wo ist denn da der Widerspruch? *verwirrt ist* Jetzt muss ich noch beweisen, dass eine Hintereinanderausführung von Bijektionen ist wieder eine Bijektion ist, nicht wahr? |
||||
| 02.11.2008, 12:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Viele Wege führen zum Ziel. Ich hätte auch sagen können, dass die "Nicht surjektivität von f^-1" im Widerspruch zu der Funktionseigenschaft von f steht.
Genau, das musst du noch zeigen. |
||||
| 02.11.2008, 13:49 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a ~ b und b ~ c = a ~ b Wenn a zu b äquivalent und b zu c äquivalent ist, dann ist a äquivalent zu c Wenn ein Element in Relation zu einem anderen steht und das andere Element in Relation zu einem weiteren Element steht, so steht das erste Element auch in Relation zu dem Weiteren (Letzten). Also f(a)=f(b) und f(b)=f(c) ergo muss f(a)=f(c) sein. Beispiel: Wenn also eine beliebige 1. Person so groß wie eine 2. Person UND diese 2. Person so groß wie eine Dritte ist, so ist die erste Person so groß wie die dritte Person. So ungefähr? |
||||
| 02.11.2008, 14:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist dem Waldi doch sehr ähnlich. Was das reden angeht.
Warum ein Beispiel kreieren, wenn doch genau klar ist, was zu tun ist.F und G sind Bijektionen. Ist G°F surjektiv und injektiv? (g°f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c Nimm an, es gibt ein c in C, für dass es kein a in a mit (g°f)(a)=c gibt. Kann das denn sein? Nein, denn das steht im Widerspruch zur Surjektivität von G und F. Analoge Idee für die Injektivität. |
||||
| 02.11.2008, 14:25 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, für Menschen wie mich, die keine Ahnung von diesen ganzen Formeln etc. haben, sind Beispiele halt wesentlich anschaulicher und logischer
Diese ganzen Formel lösen in meinem Kopf nichts als Verwirrung aus
Danke dir aber vielmals. |
||||
| 02.11.2008, 14:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist eben eine neue Sprache. Das wird schon.
|
||||
| 02.11.2008, 14:42 | Csak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich fürchte nicht
, trotz aller deiner sehr netten Versuche bin ich wohl morgen nicht in der Lage diese Aufgabe an der Tafel zu lösen. Aber naja, mal schauen.Die lustige Sache ist ja, dass dies die einzige Vorlesung sein wird, für die ich die Mathematik brauchen werde und gerade die macht so eine Mühe und Arbeit
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
