Winkel zur Ebene

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rat_suchender Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zur Ebene
Aufgabe
"
Wir suchen eine Gerade im R^3 durch den Ursprung, die mit jeder der folgenden Ebenen den gleichen Winkel einschließt. Wie groß ist der Winkel
E_1: x = 0;
E_2: y = 0;
E_3: 5y + 12z = 0;
"

Ich habe erstmal wild drauf losgerechnet aber immer nur Unsinn herausbekommen. Im moment denke ich: E1 und E2 haben unter anderem den Punkt (0, 0, 0) als Element - die Gerade soll auch durch diesen Punkt (Ursprung) verlaufen - muss der Winkel dann also 90° sein? Stimmt das? Ich bin irgendwie verwirrt und komme nicht weiter...
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher ist der Koordinatenursprung Element von den beiden Ebenen E1 und E2. Aber wieso folgt daraus, dass der Winkel 90° sein muss? Ist es nicht vollkommen unmöglich, eine Gerade senkrecht zu diesen zwei Ebenen zu bilden, wenn die Ebenen schon selbst senkrecht aufeinander stehen...? (Zumal die Gerade dann ja auch noch senkrecht zu einer dritten Ebene sein müsste.)
rat_suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm aber wie löse ich das dann - also wie kriege ich den Winkel raus? Ich habe keine Idee...
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn wie man einen Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden allgemein berechnen kann? Stichwort: Skalarprodukt?
rat_suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - der sin(Winkel) ist der Betrag vom Skalar vom Normalenvektor der Ebene und vom Richtungsvektor der Geraden durch das Produkt der Beträge vom Normalenvektor und dem Richtungsvektor.
So das war jetzt ein langer Satz... wenn ich anfange diesen Ansatz dreimal hinzuschreiben kommen einigermaßen umständliche Ausdrücke raus - insgesamt drei Gleichungen mit drei unbekannten -> Lösbar... aber ich bring das auf Papier nicht hin bzw. meine das das ganze auf Grund der langen Ausdrücke nicht richtig sein kann...
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn bei dir die drei Unbekannten? Der einzige unbekannte ist doch der zunächst mal der Richtungsvektor der Gerade. Die 3 Normalvektoren von den Ebenen hast du doch gegeben. Und wenn du die 3 Gleichungen, die jeweils den Winkel zwischen Ebene und Gerade angeben gleich setzt, dann verschwindet der Winkel ja als unbekannte Größe (schließlich soll doch der Winkel immer gleich groß sein!)...
 
 
rat_suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Normalenvektoren
Betrag 1
Betrag 1
Betrag 13

g ist die Gerade mit

Winkel zwischen Ebene+Gerade


damit ergibt sich

g und n_E1:

g und n_E2:

Daraus ergibt sich oder?

So nun noch g und n_E3:

Ich habe nun Unten eine Gleichung mit drei Unbekannten, wobei ich mit zumindest eine loswerden kann - bleiben also noch zwei... aber wie gehts dann weiter?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme ohne probleme auf



dazu nimmst du den gesuchten EINHEITsvektor



und



und nun eine gerade durch O zu basteln sollte nicht allzu schwer sein

smile
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und nun setzt du die Gleichungen von z.B. E1 und E3 gleich (also die zur Winkelberechnung), um etwas über die "Beziehung" von zu zu erfahren. Dies wird ja netterweise dadurch vereinfacht, dass unter dem Bruchstrich die Wurzel einfach weggekürzt werden kann...
rat_suchender Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich komme auf x_g=1, y_g=1, z_g=1 und damit auf einen Winkel von ca. 35,26...°

Danke für die Hilfe!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rat_suchender
Hmm ich komme auf x_g=1, y_g=1, z_g=1 und damit auf einen Winkel von ca. 35,26...°

Danke für die Hilfe!


das kann doch schon vom hinschauen nicht stimmen,

und warum verweigerst du die probe mit verwirrt
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rat_suchender
So nun noch g und n_E3:


Argh, da hatte ich nicht richtig hingeguckt. Hier hast du schon was falsch gemacht - oben muss doch einfach nur das Skalarprodukt stehen, nichts mit irgendwelchen Wurzeln und so...

Also:


Dann kommt auch die Lösung raus, die riwe schon geschrieben hatte...
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