Körperbeweis

02.11.2008, 01:07

Tabula-Rasa

Körperbeweis

Gegeben ist
$\begin{eqnarray*} K := \{a+b\sqrt{2}|a,b\in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$
Ich soll zeigen, dass K bezüglich der Addition und Multiplikation ein Körper ist.
Darunter steht noch "Sie dürfen verwenden, das $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist."

Was genau muss ich da jetzt zeigen? Also meine Frage ist vor allem wie hilft mir die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist?

02.11.2008, 11:01

klarsoweit

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RE: Körperbeweis

Zitat:

Original von Tabula-Rasa
Was genau muss ich da jetzt zeigen?

Daß K die Eigenschaften eines Körpers, so wie sie definitionsgemäß festgelegt wurden, erfüllt. Welche das sind, solltest du wissen.

02.11.2008, 15:33

Tabula-Rasa

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naja Halt Assoziativität,, Kommutativität, Null/Einselement und negtives/inverses Element

Aber wie zeig ich dass? was mach ich mit diese $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ? ich hab echt keinen Plan wie ich da rangehen soll... ich bräuchte sozusagen ein Beispiel was genau eigentlich von mir erwartet wird... (muss auch nicht durch gerechnet sein, der Anfang würde schon genügen.

02.11.2008, 15:39

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Hallo,
einfach die Körperaxiome durchgehen:

Ist K mit + und * abgeschlossen, also ist $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ wieder in K?
Ist $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (c+d\sqrt{2}) + (a+b\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ?

Usw.

02.11.2008, 16:08

Tabula-Rasa

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achso ich behandle $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ als ein Element von K?
Das hat mir schon sehr weiter geholfen. Ich werd jetzt mal im Zug nach Berlin versuchen das alles zu zeigen.
Freude

Vielen Dank (für den vielen Fisch)

Frage nebenbei warum wurde das Thema verschoben? für mich gehört das eher zu Analysis... (ist auch ein Ana-Blatt).
Egal genau abgrenzen kann man ja imo eh nicht.

02.11.2008, 19:48

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Hallo,
Körper sind eindeutig aus dem Bereich der Algebra, ein Blick bei Google hätte dir das auch gesagt.

Nur weil es auf einem Analysis Blatt steht, gehört es längst nicht zu Analysis. Nur, ohne Körper läuft in Analysis nichts.

02.11.2008, 22:06

Tabula-Rasa

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Kommutativität:
$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (c+d\sqrt{2}) + (a+b\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
kann ich das jetzt so umformen?
$\begin{eqnarray*} (a+c+b\sqrt{2}+d\sqrt{2}) = (c+a+d\sqrt{2}+b\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ Darf ich hier jetzt Die Kommutativität in der Klammer also in dem Objekt von K schon benutzen, weil ich ja benutzen darf das R ein Körper ist?

02.11.2008, 22:18

klarsoweit

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Ja.

03.11.2008, 14:15

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Hallo,
Kommutativität, Assoziativität sowie das Distributivgesetz musst du nicht beweisen, da du weißt, dass $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , und da + und * die gleichen Verknüpfungen sind vererben sich diese Gesetze von R auf K.

Musst also nur Abgeschlossenheit mit + und *, inverses Element zu + und * sowie neutrales Element, also 0, 1, zeigen. Dann ist man fertig.

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