Grenzwert n-ter Wurzel einer Folge

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Elubie Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert n-ter Wurzel einer Folge
Hallo, ich bin froh dieses Forum entdeckt zu haben. Da ich schon so viel aus dem Studium vergessen habe, habe ich angefangen mich wieder an einige Analysis Aufgaben zu machen und stehe bei einer Aufgabe auf dem Schlauch.

Man beweise:

Aus und folgt

Ich habe probiert zu bewesen, dass es ein gibt, so dass , mir fehlt aber irgendwie der richtige Ansatz.
Elubie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert n-ter Wurzel einer Folge
Irgendwie komme ich immer noch nicht weiter.

Was ich bisher habe ist:


Dabei habe ich die Dreiecksungleichung benutzt.

Für den zweiten Term gibt es für ein so dass

Für den ersten Term sehe ich aber nicht, wie ich weiterkommen kann.

Über einen kleinen Tip für den richtigen Ansatz würde ich mich freuen.

PS: das LateX im Forum hier ist klasse, auch wenn ich schon lange nichts mehr damit gemacht habe!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einen Beweis, der allerdings sehr aufwendig ist, da er 2 weitere Aussagen verwendet. Desweiteren klappt er nur für (der Fall L = 0 ist aber sowieso sehr einfach)

Es ist .
Dann mache ich so weiter:

.

Erster Faktor konvergiert gegen 1. Zu zeigen ist also nur noch, dass der zweite gegen L konvergiert.
Dies würde aus der Aussage folgen, dass das geometrische Mittel der Folgenglieder einer konvergenten Folge gegen den selben Grenzwert wie die Folge konvergiert.

Da dies für das arithmetische Mittel der Fall ist (Der elementare Beweis dafür mit und so ist recht einfach, muss aber natürlcih geführt werden) ist dies auch für das harmonische Mittel der Fall, denn es ist:


Wegen (Beweise dafür findet man z.b. auf Wikipedia) ist die Aussage bewiesen.
Elubie Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Danke!
Auf den ersten Teil hätte ich irgendwie selber kommen können, wie gesagt, ich stand irgendwie auf dem Schlauch Augenzwinkern

Heute ist schon spät, werde mich aber morgen nochmal an dem vollständigen Beweis versuchen, ich denke mit Deinen Hinweisen komme ich erstmal ein gutes Stück weiter.
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