Teilbarkeit |
| 02.11.2008, 17:16 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Teilbarkeit wie kann ich zeigen, dass es unendlich viele natürliche Zahlen n gibt, so dass 4n²+1 durch 5 und 13 teilbar ist ? Finde leider keinen brauchbaren Ansatz, der mich weiterbringt 
Hat jemand eine zündende Idee ? Gruß Björn |
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| 02.11.2008, 17:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Meine Idee... Wann ist das denn durch 5 teilbar. Testen wir 0,1,2,3,4. Die Gewinner sind: 1 und 4 (mod 5). Wann ist das durch 13 Teilbar? |
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| 02.11.2008, 17:22 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
5 und 13 sind prim. Es ist also äquivalent dazu zu fordern das wir Teilbarkeit durch 5*13 = 65 fordern. Wir betrachten . Finden wir eine Zahl die, die Gleichung erfüllt, so werden auch... Der Ansatz bricht das Problem auf lächerliche 65 zu testende Zahlen runter 
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| 02.11.2008, 19:14 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Uiii, direkt 2 Helfer....so muss das sein
@ bine Für n=4 oder n=9 (mod 13) Wolltest du darauf hinaus, dass man sich statt direkt mit 65 erstmal die kleineren Primfaktoren herausnimmt und damit auf das n kommt, was für beide module eine wahre Aussage liefert ? @ kiste n=4 erfüllt diese Bedingung Also auch für alle z=4+65k mit k aus Z oder ? |
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| 02.11.2008, 19:19 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau und damit hast du auch unendlich viele gefunden 
.Kannst ja zum Beweis nochmal modulo rechnen, falls dir nicht direkt klar ist warum das so ist. |
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| 02.11.2008, 19:30 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es reicht ja, wenn wir eine Restklasse finden. Man kann auch (modulo 65) starten, bis man den ersten Treffer landet.
Oder man bestimmt die Lösungsmengen bzgl. der Primfaktoren und bildet dann deren Schnitt. Ist egal. Beides mal kommen wir auf die Restklasse 4 (mod 65) |
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| 02.11.2008, 19:35 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ kiste Wie meinst du das genau ? Ist doch eh nur eine andere Schreibweise für oder ? Mir fällt gerade noch eine Argumentation mit quadratischen Resten QR ein : 4n²+1=(2n)²+1 Insofern steht da ja mit 2n auch eine Quadaratzahl und man könnte kurz testen, ob 1 auch QR mod 65 ist, was ja auf jeden Fall stimmt und somit ja sicher ist, dass der Rest 1 bei Division einer Quadratzahl durch 65 auch wirklich auftauchen kann, wodurch es auf jeden Fall eine Lösung x0 geben muss und wegen modulo Rechnung ja dann auch unendlich viele der Form x0+65k mit k aus Z. Ist das so in sich schlüssig ? @ bine Dank dir
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| 02.11.2008, 19:38 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meine . Je nach Vorkenntnisse sollte man das meiner Meinung nach schon ausschreiben. Mit quadratischen Resten kenne ich mich leider nicht aus, habe keine Zahlentheorieerfahrung. |
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| 02.11.2008, 19:44 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so meinst du das, ok
@ bine Kannst du etwas zu meiner Argumentation mit den quadratischen Resten sagen ? |
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| 02.11.2008, 20:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider kann ich dir da nicht weiterhelfen. |
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| 02.11.2008, 20:14 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mach nichts, die Lösung hab ich ja, vielleicht schauen tmo oder Arthur Dent nochmal rein wenn ich Glück hab 
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| 03.11.2008, 11:15 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der schaut rein, und hat gegen das natürlich nichts einzuwenden.
So wesentlich komplizierter wird die Aufgabe auch nicht, wenn nicht nur nach unendlich vielen, sondern tatsächlich nach allen Lösungen gefragt wird: Das wären dann und . |
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| 03.11.2008, 11:52 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bezog sich das jetzt auch auf diese Sache hier oder war das eher noch ein allgemeiner Kommentar?
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| 03.11.2008, 12:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es bezog sich eher auf
Aber mit der Argumentation über hast du auch Recht, da du ja substituieren kannst, was durch die Teilerfremdheit von 2 und 65 möglich ist. |
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| 03.11.2008, 12:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank Arthur 
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