Kurvendiskussion

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Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion
Hallo Leute, ich soll folgende Funktion diskutieren

f: x ---> 4x^4 - 4x^2


Ich hab damit schon angefangen:

Also:

Benötigte Ableitungen:

f(x) = 4x^4 - 4x^2
f '(x) = 16 x^3 - 8x
f''(x) = 48x² - 8
f'''(x) = 96x

Nullenstellen:

f'(xN) = 16x^3N - 8xN = x (16x²N - 8)=0
liefert xn1 =0 ; xn2 = wrz 1/2 und xn3 = - wrz 1/2

Wie berechne ich jetzt die Extremstellen und die Wendestellen sowie die Asymptoten und Polstellen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen dank im voraus. Gruß Juliane
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Da es eine Ganzrationale Funktion ist gibts keine Polstellen, Wendestellen sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, für Extrempunkte einfach die erhaltenen richtigen x-werte in die funtkionsgleichung f(x) einsetzten, sowie durch die Zweite Ableitung Art der Extrema überprüfen.
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion
Also ich habe miich da eben noch mal dran gesetzt weiß aber nicht ob meine lösungen richtig sind, ich bitte wenn nicht um korrektur und erklärung

Extremstellen

f(x) --> 4x^4E - 4x²E

x- Werte der Nullstellen einsetzen in f(x)

dann erhalten ich fur xE1,2,3 jeweils 0

Also existiert weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Wendestellen:

f'':x= 48x² -8 =0
Auflösen nach x

48x² - 8 = 0
48x² = 8
x² = 6
x1 = wzr 6 und x2 = - wrz 6

Einsetzen in f(x)

y = 4 (wrz 6)^4 - 4 (wrz 6)² = xw1 = 120

y = 4 (-wrz6)^4 - 4 (wrz6) = xw1 = 120

d.h. die wende stelle ist bei 120.

Das kommt mir ein bisschne Spanisch vor, hab ich da was falsch gemacht?

Ich bitte um Antwort.

Gruß Juliane
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
du musst für Extremstellen die erste Ableitung gleich 0 setzen und dann dort nach auflösen.

die y-Koordinaten der Extremstellen erhälst du mit derAusgangsfunktion, in dem du dort einfach für deine Werte aus der ersten ableitung einsetzt.


Für wendepunkte benötigst du die zweite ableitung und musst ei gleich 0 setzen. anschließend wieder nach x auflösen.

danach setzt du die x-Werte aus der zweiten ableitung ein und schaust, ob die Funktion dann ungleich 0 ist. Ist sie es, so hast du einen Wendepunkt.




Hilfts dir weiter??

edit: du hast bei der Extremstellenbestimmung die falsche Funktion genommen. du benötigst

edit2:

Zitat:
f'':x= 48x² -8 =0
Auflösen nach x

48x² - 8 = 0
48x² = 8
x² = 6
x1 = wzr 6 und x2 = - wrz 6
was hast du denn hier gemacht??du hast doch daraus folgt durch ausklammern:damit hast du so nun bist du wieder dran.

edit: derkochs fehlersuche hat sich wieder einmal gelohnt hab sein gemarkertes bei mri verbessert. danke
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
Zitat:
Original von brunsi
du musst für Extremstellen die erste Ableitung gleich 0 setzen und dann dort nach auflösen.

die y-Koordinaten der Extremstellen erhälst du mit der zweiten ableitung, in dem du dort einfach für deine Werte aus der ersten ableitung einsetzt.


Für wendepunkte benötigst du die zweite ableitung und musst ei gleich 0 setzen. anschließend wieder nach x auflösen.

danach setzt du die x-Werte aus der zweiten ableitung ein und schaust, ob die Funktion dann ungleich 0 ist. Ist sie es, so hast du einen Wendepunkt.




Hilfts dir weiter??

edit: du hast bei der Extremstellenbestimmung die falsche Funktion genommen. du benötigst



Na, ob da mal was richtiges raus kommt? Augenzwinkern

Das bezweifle ich aber sehr!! unglücklich
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
sorry hab mich da verschieben @derkoch: die y-Koordinaten erhölst du indem du die x-Werte der 1.Ableitung in einsetzt
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion
Hallo noch mal, ich glaub ich komm da so nicht weiter! Bitte also noch mal um Hilfe.

Also was ich bis jetzt habe ist:

f(x) --> 4x^4 - 4x^2
f'(x) --> 16x^3 - 8x
f''(x) --> 48x^2 - 8
f'''(x) --> 96x

Nullstellen:

f'(x) ) 16x^3N - 8xN = x (16x^2N - 8) =0
liefert xN1 = 0 ; xN2 = wrz 1/2 und xN3= - wrz 1/2

Ich hab das jetzt leider immer noch nicht verstanden mit den Extremstellen und Nullstellen.

Welche Ableitung muss ich nehmen, und was muss ich nach x auflösen?
Ich blick da echt nicht mehr durch. Sorry.

Wäre toll wenn hier mir irgendjemand das mal erklären kann, so das ich das verstehen kann.

Vielen Dank
Juliane
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

also...

um die nullstellen deiner funktion zu bekommen, setzt du einfach

um die extrema zu erhalten, setzt du

schau vielleicht auch nochmals hier
Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du kein Mathebuch, bzw. Internet ( Augenzwinkern )?

Also, Extremwerte.

Zuerst berechnest du die Nullstellen aus f ' (x).
Da gibt es meistens 3 Standard-Prozeduren, z.B.

x^3 - 4x ---> x ausklammern: x(x^2 - 4)
x^2 + 2x -15 ---> pq-Formel
x^3 - 6x^2 + 3x + 10 ---> Polynomdivision

Dies nennt man dann 'Notwendige Bedingung'.

Danach überprüfst du die Extremwerte durch Einsetzen in f '' (x).

f '' (x) < 0 ---> Hochpunkt
f '' (x) > 0 ---> Tiefpunkt

Dies wäre dann die 'Hinreichende Bedingung'.

Nun musst du die y-Koordianten berechnen. Dazu setzt Du dann einfach die x-Koordinaten der Extrempunkte in f (x) ein.

Letztendlich kannst du die Koordianten dann in Form von H (x|y) ; T (x|y) angeben.

Eigentlich ist die Kurvendiskussion eine ziemlich stupide Sache.
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht die Nullstellen berechnet, sondern die Extrema.

Schau' dir einfach den Graphen an.



Dann weisst du wenigstens, was du zu erwarten hast, wenn du rechnest.

Ausgangspunkt ist doch die Funktion: . Das bedeutet: Packe X rein und bekomme Y raus. (Sorry Augenzwinkern )
Also musst du entsprechend setzen. (Du suchst ja die Punkte in denen die schneidet.)
Außerdem siehst du sofort, das du durch Substitition mit an die Nullstellen kommst.

Und wenn du setzt, dann kannst du der Einfachheit halber auch gleich ausklammern und musst nur noch setzen, damit du deine 3 X-Koord. der Extrema erhälst.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zahlentheorie



Außerdem siehst du sofort, das du durch Substitition mit an die Nullstellen kommst.



wenn man ausklammert, geht es noch schnellerAugenzwinkern
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

Auf ein Neues Augenzwinkern :

Du bildest zuerst einmal die ersten drei Ableitungen. Die sind auch korrekt!!

Dann willst du berechnen, wann deine Funktion die x-Achse SCHNEIDET.
Dazu musst du deine Funktion gleich 0 setzen --->



Da es sich hier um eine Funktion 4.Polynoms handelt, die auch glücklicherweise nur gerade Exponenten enthält kannst du einfach den ggT (größen gemeinsamen teiler ) ausklammern:



Hier bestimmst du mittels Nullproduktsatz und 3.Binomischer Formel( nur für den Klammerausdruck) die Nullstellen . Das machst du jetzt einmal bitte.

Nun möchtest du die Extremstellen berechnen. Dazu benutzt du die 1.ABleitung und setzt sie gleich 0:




Auch hier klammerst du wieder den ggT aus:

und berechnest nun hier wieder mittels Nullproduktsatz und für den Klammeruasdruck die dritte Binomische Formel anwenden.

Nun hast du die EXTREMSTELLEN
Weißt aber noch nicht, ob es sich um ein Tief-, Hoch- oder Sattelpunkt handelt.

Dazu benötigst du nun die 2.Ableitung

Für die Bestimmung der Art des Extremums muss gelten:

-->Tiefpunkt TP
--->Hochpunkt HP
--->Sattelpunkt (aber nur mit einschränkung möglich, denn hier sind im allgemeinen noch weitere ableitungen möglich, es ei denn du operierst mit (Vorzeichenwechsel)

Du setzt dann einfach deine Extremstellen aus der 1.Ableitung in die 2.Ableitung ein.

und berechnest sie ganz normal und triffst dann deien entscheidung nach obigen Bedingungen.

Um die Zweite Koordinate (y-Koordinate) des Extremums zu berechnen setzt du dann einfach in ein und berechnest.

Für einen Wendepunkt gilt:

2.Ableitung gleich 0 setzen: mit = Wendestelle
Auch hier löst du dann wieder nach auf.

Die Wendestelle setzt du dann in die 3.Ableitung ein für sie gilt lediglich, dass sein muss.

Die y-Koordinate bestimmst du, indem du deine Wendestelle in einsetzt udn ausrechnest. Nun verstanden ???


edit: danke @Zahlentheorei, hab mich schon gewudnert wie ich sonst erklären könnte, das bei f(x) und f'(x) sonst die gleichenw erte rauskämen.
Gruß Dennis
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marci_wenn man ausklammert, geht es noch schnellerAugenzwinkern


Sag ich doch! Wink

@ brunsi: kleiner Fehler in Augenzwinkern

Vllt. sollten wir den Threadersteller erstmal zu Wort kommen lassen. Augenzwinkern
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

@Zahlentheorie: wo hab ich mir denn wieder einen kleinen Fehler einheimsen müssenverwirrt ?
zt Auf diesen Beitrag antworten »


sollte

heißen. Augenzwinkern

Edit: Dann kann man auch wie marci_ richtig gesagt hat ausklammern.

brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank, sonst hätte cih ganzs chön erklärungsnot gehabt, wenn ich es nicht korrigiert hätte, sie hätte sonst zu recht gefragt, weshalb Ausgangsfunktion und 1.Ableitung identisch gewesen wären. Sind sie aber glücklicherweise niemals!!
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Hallo noch mal
#

so ich denke ich habe es

Nullstellen:

f(xN) => 4x^4N - 4x²N ---> 2xN ( 2x³N - 2xN) =0
liefert Nullstellen xN1 =0; xN2 = 1 und xN3 = -1

Extremstellen:

f'(xE) --> 16x³E - 8xE = xE ( 16x²E - 8) =0
liefert die Extremstellen: xE1 = 0, xE2 = wrz 1/2 und xE3 = - wrz 1/2

Um festzustellen ob da Tief- oder Hochpunkte sind die x-werte in f'' einsetzen

f''(xE1) --> 48 *(0)² -8 => -8, d.h also bei xe1 --> lokales Maximum
f''(xE2) --> 48 * (wrz 1/2)² - 8 => 16, also lokales Minimum
das selbe ist auch bei xE3

Wendestellen:
f''(xw) = 48x²w - 8 =0
nach xw auflösen
xw1 = wzr 1/6 und xw 2 = - wrz 1/6

x-werte einsetzen in f'''

f'''(xw1) = 96 * wrz 1/6 => 39,2, d.h. die 3. ableitung ist für xw1^ungleich 0, es liegt eine wendestelle vor

f'''(xw2) = 96* -wrz 1/6 => - 39,2, d.h. die 3. ableitung ist für xw2 ungleich 0, es liegt eine Wendestelle vor.

Symmetrie: Der Graph ist achsensymmetrisch.

So ich hoffe ich habs jetzt gerallt.

Vielen dank schon für evt. Korrekturen

Gruß Juliane
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brunsi
Sind sie aber glücklicherweise niemals!!


Und was ist mit und ?

Edit: Jul.. schau' dir mal an, was wir dir zum Thema ausklammern geschrieben haben. Dein Ansatz ist zwar nicht falsch, aber unnötig kompliziert.

Edit: Extrema sind korrekt.. zumindest die X-Koord.
Den Rest habe ich mir nicht angesehen.
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage
Wie was soll damit sein?

Was muss ich denn damit noch machen?

Bitte um Erklärung

Danke Juliane
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Alles komplett richtig! Freude
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ja also wenn du die e-Funktion und die Funktion wählst, deren Term 0 ist, dann sind natürlich die ABleitungen gleich, aber das sind spezialfälle, alle anderen sind es nicht!!
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Hallo noch mal, vielen Dank für eure Hilfe, ich habs jetzt endlich verstanden. Aufgabe ist gelöst. Lieben Gruß Juliane
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