Lipschitz-Bedingung

15.08.2006, 21:08

kingskid

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Lipschitz-Bedingung

... jetzt hab ich noch ne frage, und zwar:

Erfüllt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y):= x y^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ auf ganz R² eine globale bzw lokale Lipschitzbed. bzgl. y?
Ist das zugehörige Anf.wertproblem y'=f(x,y); y(0)=0 eindeutig lösbar?

kann man sagen, dass wenn die funktion stetig diffbar ist, sie eine lokale lipschitzbed erfüllt ?
wie bekommt man das mit der globalen Lbed. heraus?
und wenn sie die bedingugen erfüllt ist das anfproblem eindeutig lösbar, oder?

16.08.2006, 00:52

Abakus

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RE: Lipschitz-Bedingung

Zitat:

Original von kingskid
... jetzt hab ich noch ne frage, und zwar:

Erfüllt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y):= x y^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ auf ganz R² eine globale bzw lokale Lipschitzbed. bzgl. y?

Kritischer Punkt ist die 0. Schau dir die Verhältnisse da mal an.

Zitat:

Ist das zugehörige Anf.wertproblem y'=f(x,y); y(0)=0 eindeutig lösbar?

Zu vermuten wäre nein. Das kannst du durch Berechnung der Lösungen sogleich bestätigen.

Zitat:

kann man sagen, dass wenn die funktion stetig diffbar ist, sie eine lokale lipschitzbed erfüllt ?

Ja. Das folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Am Besten zeigst du das gleich mal.

Zitat:

wie bekommt man das mit der globalen Lbed. heraus?

Durch Abschätzung oder Anschauen der Ableitung (wenn existent) oder sonstwie. Das ist allgemein schwer zu sagen. Hier lässt es sich widerlegen.

Zitat:

und wenn sie die bedingugen erfüllt ist das anfproblem eindeutig lösbar, oder?

Welche Bedingungen genau ? Wenn du zB die aus dem Satz von Picard-Lindelöf meinst, ja.

Grüße Abakus smile

smile

16.08.2006, 01:21

kingskid

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danke für deine tipps!

wie meinst du soll ich die funktion bei 0 untersuchen? versuchen den grenzwert zu bilden...??

hm, mit dem anfwertproblem, hab das mal gelöst und bin auf
$\begin{eqnarray*} y = +/-(\frac{1}{6} x² )^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ gekommen.
d.h. wegen +/- ist es nicht eindeutig?

kannst du mir bitte noch ein hint geben, mit der globalen lipschitzbedingung, hab so was noch nie gemacht und weiß nicht wie man das am besten abschätzt traurig

traurig

... weiß nur dass gelten muss
$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$

also der mittelwertsatz sagt ja, wenn f auf [a,b] stetig und diffbar, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ , d.h $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(x) (b-a) \end{eqnarray*}$ und damit erfüllt sie eine lipschitzbedingung?

aber das problem ist hier ja dann nicht eindecutig lösbar, also können die bedingunegn von picard-l nicht erfüllt sein, oder?

viele grüße

16.08.2006, 01:59

Abakus

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Zitat:

Original von kingskid
wie meinst du soll ich die funktion bei 0 untersuchen? versuchen den grenzwert zu bilden...??

Wie sieht zB die partielle Ableitung nach y aus und was macht die in 0 ? Daraus solltest du zu einer Idee kommen.

Zitat:

hm, mit dem anfwertproblem, hab das mal gelöst und bin auf
$\begin{eqnarray*} y = +/-(\frac{1}{6} x² )^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ gekommen.
d.h. wegen +/- ist es nicht eindeutig?

Das sieht nach einem RF aus. Ich habe als Lösung Polynome.

Zitat:

kannst du mir bitte noch ein hint geben, mit der globalen lipschitzbedingung, hab so was noch nie gemacht und weiß nicht wie man das am besten abschätzt traurig

traurig

... weiß nur dass gelten muss
$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$

also der mittelwertsatz sagt ja, wenn f auf [a,b] stetig und diffbar, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ , d.h $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(x) (b-a) \end{eqnarray*}$ und damit erfüllt sie eine lipschitzbedingung?

Du weißt dann, dass zu x, y ein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ existiert, so dass: $\begin{eqnarray*} f(x) - f(y) = f'(\xi) \cdot (x - y) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ist stetig und auf einem Kompaktum daher beschränkt. Welche Lipschitz-Konstante L bietet sich hier demnach an ?

Zitat:

aber das problem ist hier ja dann nicht eindecutig lösbar, also können die bedingunegn von picard-l nicht erfüllt sein, oder?

Ja, richtig.

Grüße Abakus smile

smile

16.08.2006, 02:30

kingskid

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danke für deine hilfe.

ich hab jetzt versucht die partielle ableitung zu bilden:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{ f(x,0) - f(0,y0)}{|x-0|} =\lim_{x \to 0} \frac{ f(x,0)}{|x|} = 0 \end{eqnarray*}$
y analog...
wenn das stimmt, ist die funktion in 0 partiell diffbar... richtig?
und wie bekomm ich raus ob sie auch stetig diffbar ist?

polynome...? ... am besten ich schreib mal meine zwischenschritte auf:
$\begin{eqnarray*} y ^{-2/3} dy = x dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ y^{-2/3}~dy = 3 y^{1^/3} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} y^{1/3} = 1/6 x² + c \end{eqnarray*}$
und dann komm ich auf diese lösung... was hab ich daran falsch gemacht?

hm, ich würde mal sagen als lipschitzkonstante bietet sich dieses f(?) an ?? (weiß leider nicht wie ich den buchstaben eingeben kann, sorry...)

viele grüße

16.08.2006, 11:14

Abakus

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Zitat:

Original von kingskid
ich hab jetzt versucht die partielle ableitung zu bilden:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{ f(x,0) - f(0,y0)}{|x-0|} =\lim_{x \to 0} \frac{ f(x,0)}{|x|} = 0 \end{eqnarray*}$
y analog...
wenn das stimmt, ist die funktion in 0 partiell diffbar... richtig?
und wie bekomm ich raus ob sie auch stetig diffbar ist?

Ich meine hier die partielle Differenzierbarkeit nach y. Und Wurzelfunktionen haben in 0 eine spezielle Eigenschaft:

Zitat:

polynome...? ... am besten ich schreib mal meine zwischenschritte auf:
$\begin{eqnarray*} y ^{-2/3} dy = x dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ y^{-2/3}~dy = 3 y^{1^/3} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} y^{1/3} = 1/6 x² + c \end{eqnarray*}$
und dann komm ich auf diese lösung... was hab ich daran falsch gemacht?

Soweit ok. Jetzt noch nach y auflösen (du musst die dritte Potenz bilden).

Zitat:

hm, ich würde mal sagen als lipschitzkonstante bietet sich dieses f(?) an ?? (weiß leider nicht wie ich den buchstaben eingeben kann, sorry...)

Der Buchstabe ist \xi. Im Prinzip nimmst du $\begin{eqnarray*} f'(\xi) \end{eqnarray*}$ , ja. Nur da du zu verschiedenen $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ auch verschiedene $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ hast, wählst du dieses so, dass $\begin{eqnarray*} f'(\xi) \end{eqnarray*}$ maximal wird. Und das kannst du, wenn du ein Kompaktum betrachtest und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stetig ist (hier gehen also 2 wichtige Voraussetzungen ein !).

Grüße Abakus smile

smile

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16.08.2006, 17:17

Ambrosius

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Stetige Diffbarkeit ist auf kompakten Mengen äquivalent zur globalen Lipschitz-Bedingung. Die sagt ja, anschaulich gesprochen, eine Beschränktheit der Sekantensteigungen aus.

0 ist hier der "kritische" Punkt. Dort wächst die Funktion "unendlich" schnell, also über alle hypotetischen Grenzen hinaus. So könnte man anschaulich agrumentieren. Natürlich ersetzt das nicht den Beweis.

Allerdings ist dann Picard-Lindelöf in 0 nicht anwendbar, das also vermutlich nicht nur eine Lösung existiert, sondern vermutlich viel viel mehr (Peano)

16.08.2006, 23:34

kingskid

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danke für eure erklärungen-...

also meinst du mit der speziellen eigenschaft der wurzelfunktion, dass man im nullpunkt eigentlich keine eindeutige tangente anlegen kann?
d.h. sie ist dort nicht stetig diffbar, also kann es auch keine lipschitzkonstante (lokal?) geben?
aber wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?

hab noch die dritte potenz gebildet:

$\begin{eqnarray*} y= 1/216 x^6 + 1/12 c x^4 + 1/3 c²x² + c³ \end{eqnarray*}$

hast du das auch raus? das komische ist nur, wenn man jetzt dieses anfwertproblem y(0) = 0 einsetzt bekommt man ja y= 0 ??
und wenn ich die anfangswerte gleich als integralgrenzen nehme bekomm ich
$\begin{eqnarray*} y = 1/8 x^6 \end{eqnarray*}$ ?

aha, okay, das war der satz dass jede stetige funktion auf einer kompakten menge ihr max/min annimmt?

viele grüße

17.08.2006, 01:33

Abakus

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Zitat:

Original von Ambrosius
Stetige Diffbarkeit ist auf kompakten Mengen äquivalent zur globalen Lipschitz-Bedingung. Die sagt ja, anschaulich gesprochen, eine Beschränktheit der Sekantensteigungen aus.

Vorsicht, es gilt nur die Hinrichtung. Aus einer Lipschitz-Bedingung folgt umgekehrt i.A. nicht die Differenzierbarkeit.

Zitat:

Original von kingskid
also meinst du mit der speziellen eigenschaft der wurzelfunktion, dass man im nullpunkt eigentlich keine eindeutige tangente anlegen kann?
d.h. sie ist dort nicht stetig diffbar, also kann es auch keine lipschitzkonstante (lokal?) geben?
aber wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?

Eine solche Wurzelfunktion ist in 0 nicht differenzierbar (senkrechte Tangente). Demzufolge ist es notwendig, dort genauer hinzuschauen.

Nimm einmal an, eine solche Funktion erfülle in 0 eine Lipschitz-Bedingung und schreibe das einmal konkret hin. Dann kannst du versuchen, weiter umzuformen und zu einem Widerspruch zu kommen. (Versuche es einmal selbst.)

Zitat:

hab noch die dritte potenz gebildet:

$\begin{eqnarray*} y= 1/216 x^6 + 1/12 c x^4 + 1/3 c²x² + c³ \end{eqnarray*}$

hast du das auch raus? das komische ist nur, wenn man jetzt dieses anfwertproblem y(0) = 0 einsetzt bekommt man ja y= 0 ??
und wenn ich die anfangswerte gleich als integralgrenzen nehme bekomm ich
$\begin{eqnarray*} y = 1/8 x^6 \end{eqnarray*}$ ?

Statt 1/3 sollte da 1/2 stehen. Beim AWP $\begin{eqnarray*} y(0) = 0 \end{eqnarray*}$ erhälst du $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{1}{216} \cdot x^6 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} y(x) = 0 \end{eqnarray*}$ kennst du noch eine zweite Lösung, und damit kannst du zur lokalen Eindeutigkeit etwas aussagen.

Das was du zuletzt mit Integralgrenzen ausgerechnet hast, erfüllt die DGL nicht (Probe machen).

Zitat:

aha, okay, das war der satz dass jede stetige funktion auf einer kompakten menge ihr max/min annimmt?

Ja, von diesem Satz war in einem bestimmtem Zusammenhang hier die Rede.

Insgesamt hast du jetzt einige Hinweise und Ideen, die du vielleicht erstmal für dich ordnen und zusammenfassen solltest.

Grüße Abakus smile

smile

17.08.2006, 14:06

kingskid

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danke für die hints!

ah, okay da hast du mich auf eine idee gebracht.

diese lipschitzbedingug sagt ja, dass die funktion beschränkt ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq L \end{eqnarray*}$

für die wurzelfunktion f(x) = x im eindimensionalen gilt das in nullpunkt ja nicht, da $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} -> \infty \end{eqnarray*}$
hast du so einen widerspruch gemeint?
ich kriegt das nur nicht mit unsrer funktion hier hin.

weil da bekomm ich dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{x y^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x²+y²}} -> ? \end{eqnarray*}$

wie meinst du das mit der zweiten lösung von y(x) = 0 ?
wie kann ich da etwas zur eindeutigkeit sagen?

kann man das eigentlich nicht auch mit dem satz der impl. funktion, also wenn $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = x \frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3} } \not= 0 \end{eqnarray*}$ ?

viele grüße

17.08.2006, 23:36

Abakus

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Zitat:

Original von kingskid
diese lipschitzbedingug sagt ja, dass die funktion beschränkt ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq L \end{eqnarray*}$

für die wurzelfunktion f(x) = x im eindimensionalen gilt das in nullpunkt ja nicht, da $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} -> \infty \end{eqnarray*}$
hast du so einen widerspruch gemeint?
ich kriegt das nur nicht mit unsrer funktion hier hin.

weil da bekomm ich dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{x y^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x²+y²}} -> ? \end{eqnarray*}$

Ja, das ist es. Betrachte für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} |f(x, y) - f(x, 0)| \leq L \cdot |y - 0| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |x \cdot y^{\frac{2}{3}}| \leq L \cdot |y| \end{eqnarray*}$

Zitat:

wie meinst du das mit der zweiten lösung von y(x) = 0 ?
wie kann ich da etwas zur eindeutigkeit sagen?

Na setze die Nullfunktion einmal probeweise in die DGL ein. Was stellst du fest ?

Neben der Nullfunktion hast du noch eine weitere Lösung (demnach gibt es mindestens 2 Lösungen).

Bei mindestens 2 Lösungen ist die Lösung nicht eindeutig bestimmt.

Zitat:

kann man das eigentlich nicht auch mit dem satz der impl. funktion, also wenn $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = x \frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3} } \not= 0 \end{eqnarray*}$ ?

Auf die Idee wäre ich jetzt weniger gekommen. Was willst du denn genau auf diese Art folgern ? (es geht ja nicht um die Auflösung einer impliziten Gleichung, sondern um eine DGL)

Grüße Abakus smile

smile

18.08.2006, 16:01

kingskid

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hi abakus,
danke für deine erklärungen.
ahja, das mit der eindeutigkeit und dem awp hab ich nun verstanden =)
d.h. es fehlt "nur" noch das mit lipschitz.

leider fehlt mir da noch jede idee wie ich das hier:

$\begin{eqnarray*} |x y^{\frac{2}{3}}| \leq L |y| \end{eqnarray*}$ weiter abschätzen kann um die divgergenz zu zeigen... hast du noch ein tipp für mich?

viele grüße

18.08.2006, 21:23

Abakus

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Naheliegend ist beide Ungleichungsseiten durch $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ zu teilen. Dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{|y^{\frac{1}{3}}|} \leq L \end{eqnarray*}$

Kann das für kleine y sein ?

Grüße Abakus smile

smile

18.08.2006, 23:47

kingskid

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naja, kann sicher nicht sein.d.h. ich muss y->0 gehn lassen und dann wird der bruch immer größer, also nicht beschränkt und daraus folgt der widerspruch?

und ist damit dann sowohl lokale als auch globale lipschitzigkeit widerlegt?

19.08.2006, 00:03

Abakus

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Freude

Genau, so ist es.

Die lokale Lipschitz-Stetigkeit ist damit in y=0 widerlegt, in anderen Punkten ist sie wohl erfüllt. Global geht natürlich erst recht nicht, wenn die Eigenschaft nicht lokal überall vorhanden ist.

Grüße Abakus smile

smile

19.08.2006, 08:26

kingskid

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okay

smile

dann vielen dank nochmal für deine hilfe !! smile

smile

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