bestimmung der Knoten

04.11.2008, 18:21

Steffie23

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bestimmung der Knoten

Hallo Leute,

ich soll die Knoten zweier Quadraturformeln bestimmen(1 stufige und 2 Stufige) so das ich:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{0}^{\infty}~e^{-x} f(x) ~dx <br /> \end{eqnarray*}$

aproximieren kann...

nun weiss leider nicht wie die Aufgabe gemeint ist... e^-x jetzt die Gewichtsfkt?! wir haben noch einen Hinweis bekommen:
Man kann zunächst für
$\begin{eqnarray*} I k=\int_{0}^{\infty}~x^{k}*e^{-x}~dx k>=1:<br /> I(k)=k*I k-1<br /> \end{eqnarray*}$

ich hoffe mir kann jemand helfen...

liebe grüße Steffie

04.11.2008, 21:52

tigerbine

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RE: bestimmung der Knoten
Ein bisserl musst du schon mithelfen. Was bedeutet bei einstufig, zweistufig?

Was für Formeln kennst du denn? Denn die Vorgabe "approximieren läßt uns ja eigentlich viel Spiel. hat ja keiner gesagt wie gut wir sein sollen.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\frac{1}{e^{x}} f(x) ~dx \end{eqnarray*}$

Die e-Funktion lässt sich als Gewichtsfunktion auffassen. Würde uns zum Beispiel in den Bereich der Gauss-Quadraturformeln führen. [WS] Numerische Integration -Theorie Und für dich sollte hier der Name Laguerre eine Rolle spielen.

Wie geht es? [WS] Orthogonale Polynome

Dein zweites latex mag ich nicht entziffern, soll wohl die Ordnung (in Exakt integrierten Polynomen für f) darstellen.

05.11.2008, 14:39

Steffie23

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RE: bestimmung der Knoten
also einstufig bedeutet wird haben nur einen Knoten und zweistufig heisst wir haben 2 Knoten. also muss ich nur einen Quadraturformel maximaler Ordnung entwickeln mit diesen Gewichtsfkt?

05.11.2008, 15:12

tigerbine

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RE: bestimmung der Knoten
So sieht es imho aus.

05.11.2008, 19:38

Steffie23

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und wofür brauch ich denn das Orthogonal Polynom?

05.11.2008, 19:57

tigerbine

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Um die Knoten zu bestimmen, damit die QF maximale Ordnung hat.

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05.11.2008, 20:18

tigerbine

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Das maximale was wir an Ordnung reißen können ist 2n+2, wobei wir (n+1) Knoten haben. Ersetzt man in dem Integral f(x) durch ein Polynom vom Maximalgrad 2n+1, so können wir dieses noch exakt integrieren. Danach ist Schluss.

Bei einem Knoten (n=0) ist also bei f(x)=x (vgl. deine Testreihe) Schluss. f(x)=x² bekommen wir nicht mehr exakt hin.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \left(e^ {- x }\right) \dd x=[-e^ {- x }]_0^{\infty} = \lim_{x \to \infty}~(-e^ {- x }) + 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \left(x\,e^ {- x }\right) \dd x=[\left(-x-1\right)\,e^ {- x }]_0^{\infty} = \lim_{x \to \infty}~[\left(-x-1\right)\,e^ {- x }] + 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \left(x^2\,e^ {- x }\right) \dd x=[\left(-x^2-2\,x-2\right)\,e^ {- x }]_0^{\infty} = + 2 \end{eqnarray*}$

code:

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29:
30:

Legendre=0, Tschebyscheff=1, Laguerre=2, Hermite=3: 2
=====================================================================================
  
 
In den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
LAGUERRE-Polynome:
------------------------------------------------------
LaP =
     1     0
     1    -1
 
Die 1 Knoten lauten:
-----------------------
xLa =
     1
 
Die 1 Funktionswerte von f lauten:
-----------------------------------
yLa =
     1
 
Die 1 Gewichte lauten:
-----------------------
wLa =
     1
 
Approximation des Integrals:
-----------------------
IGLa =
     1

[attach]9103[/attach]

[attach]9105[/attach]

[attach]9106[/attach]

05.11.2008, 20:40

Steffie23

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also ich habe jetzt rausgefunden das ist das Laguerre Polynom und das ich einfach die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen muss? nur wie stell ich das Polynom jetzt auf z.b. für n=2?

05.11.2008, 21:30

tigerbine

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Das habe ich dir doch verlinkt.... geschockt

geschockt

Mach es halt erstmal für n=0 (Das ist der erste Knoten) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier stehen doch die Polynome. Nullstellen wirst du doch noch bestimmen können, bei Grad 1 und 2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

[WS] Orthogonale Polynome

05.11.2008, 22:30

tigerbine

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Zum Überprüfen

x^2

code:

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19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:

In den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
LAGUERRE-Polynome:
------------------------------------------------------
LaP =
     1     0
     1    -1
 
Die 2 Knoten lauten:
-----------------------
xLa =
    0.5858    3.4142
 
Die 2 Funktionswerte von f lauten:
-----------------------------------
yLa =
    0.3431   11.6569
 
Die 2 Gewichte lauten:
-----------------------
wLa =
    0.8536    0.1464
 
Approximation des Integrals:
-----------------------
IGLa =
     2

Am schwierigsten scheint mir bei dieser Aufgabe das Berechnen des Integrals (über die Monombasis) um den maximalen Grad der QF zu verifizieren. Mit dem Wissen über die Gaussformeln aber unnötig.

Zitat:

nun weiss leider nicht wie die Aufgabe gemeint ist... e^-x jetzt die Gewichtsfkt?! wir haben noch einen Hinweis bekommen:
Man kann zunächst für
$\begin{eqnarray*} I k=\int_{0}^{\infty}~x^{k}*e^{-x}~dx k>=1:<br /> I(k)=k*I k-1<br /> \end{eqnarray*}$

ich hoffe mir kann jemand helfen...

Kannst du diesen Tipp bitte noch einmal sauber schreiben... verwirrt

verwirrt

06.11.2008, 00:02

Bjoern1982

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Ich sitze grad auch an dem Übungsblatt und poste es einfach mal zum besseren Verständnis und auch zu eigenen Zwecken Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2008, 00:09

tigerbine

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Gleiche Vorlesung? Ok, die Formel lässt die Integrale für die Monombasis leichter berechnen (verlangt aber auch einen Beweis). Wobei ich immer noch nicht verstehe, wozu ich den tatsächlichen Wert brauche. Eigentlich ist dies in der Theorie über die maximale Ordnung abgehandelt und könnte hier nur nochmal der "Visualisierung" dienen.

Da würde mich dann der Kommentar aus eurer Übung interessieren

Wo hast du Probleme bei der Aufgabe Björn?

06.11.2008, 00:20

Bjoern1982

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Joa, gut möglich dass sie auch Numerik bei Professor Witsch hört, kann sie ja mal Stellung zu nehmen Wink

Wink

Joa also ich war die letzten Tage unterwegs (Hochzeit...etc) und habe jetzt 3 Übungsblätter gemacht...und jetzt kommt noch Numerik, letzte Woche ging das ja sehr einfach mit dir zusammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

und ich dachte dass ich dieses Mal auch schnell damit fertig bin, aber ich muss mich bei Vielem erst nochmal im Skript einlesen, wie ich gerade merke...schon mit der Fehlerabschätzung habe ich Probleme, aber jetzt schau ich mir gerade auch die Gauß QF-Konstruktionen an.

Soll ich lieber einen eigenen Thread aufmachen ?

06.11.2008, 00:23

tigerbine

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Andere Aufgabe, anderer Thread. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten kannst du hier mitmachen, dann muss ich es nicht 2mal schreiben. Simpson also in eigenem Thread. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2008, 04:07

Bjoern1982

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So, ich hab jetzt herausgefunden wie das gedacht war:

Im Skript steht eine Anleitung bzw Rekursionsformel (siehe Anhang) wie man die Polynome aufstellen kann und da die Nullstellen dieser (Laguerre)Polynome schon den Knoten entsprechen und ja nicht mehr verlangt war, ist man dann auch schon fertig.

Problem ist jetzt nur noch, dass ich wieder mal nicht in der Lage bin die Vereinfachung mit Induktion nachzuweisen Hammer

Hammer

Denn wenn man es so wie im Skript macht, dann ist dieser Hinweis in der Aufgabe wirklich sehr nützlich, weil man sonst nachher 3x partiell integrieren müsste...

Edit:

Nee, war doch nich so schwer mit der Induktion LOL Hammer

LOL Hammer

06.11.2008, 08:39

tigerbine

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Dann zeig doch bitte die Induktion, und einer von Euch formuliert dann bitte auch die qF-Formeln. Vergleichswerte habe ich ja schon gepostet.

Danke. Wink

Wink

06.11.2008, 10:49

Bjoern1982

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Induktion nach k

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} I_k=k \cdot I_{k-1} \end{eqnarray*}$

k=1:

$\begin{eqnarray*} I_1=\int_{0}^{\infty}~x \cdot e^{-x}~dx= [-x \cdot e^{-x}]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}~e^{-x}~dx=1=1 \cdot I_0=1 \cdot \int_{0}^{\infty}~e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

k --> k+1

$\begin{eqnarray*} I_{k+1}=\int_{0}^{\infty}~x^{k+1}e^{-x}~dx=(k+1) \cdot \int_{0}^{\infty}~x^k \cdot e^{-x}~dx=(k+1) \cdot I_k \end{eqnarray*}$

So, das wars schon.

Wegen den QF:

Wie gesagt waren ja laut Aufgabenstellung nur die Knoten als Nullstellen der entsprechenden Laguerre Polynome verlangt.
Analog zur oben geposteten Rekursionsvorschrift mit der Wahl $\begin{eqnarray*} \gamma_j=1 \end{eqnarray*}$ kam ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \phi_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_1=x-1<=>x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_2=(x-3)(x-1)-1=x^2-4x+2<=>x_{1,2}=2 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das deckt sich also mit deinen Knoten von oben und mit

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) \cdot e^{-x}~dx \approx \sum_{k=1}^s~b_k \cdot f(\lambda_k) \end{eqnarray*}$

würde man dann auch noch an die entsprechenden Gewichte der QF kommen.

Reicht das so ?

Gruß Björn

06.11.2008, 14:37

tigerbine

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Erstmal formal. Du musst erst $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ erklären, bevor du es in einer Formel verwendest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} I_k:= \int_{0}^{\infty}~e^{-x}\cdot x^k ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_0 &&=\int_{0}^{\infty}~e^{-x} ~dx =[-e^ {- x }]_0^{\infty} = \lim_{x \to \infty}~(-e^ {- x }) + 1\\&& = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_1 &&=\int_{0}^{\infty}~e^{-x} \cdot x ~dx \stackrel{\text{part. Int.}}= [-x \cdot e^{-x}]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}~e^{-x}~dx =0+I_0 \\&&= I_0 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} I_1 = 1\cdot I_0 \end{eqnarray*}$ (stimmt)

Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} I_k = k \cdot I_{k-1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

hier ist mir das zu knapp formuliert. Denn so offensichtlich ist der Schritt zwischen den Integralen nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ferner sieht man nicht, wo du die IB benutz hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei der QF Formeln gehen mir die Variablen durcheinander. Eben noch f(x), dann f(lambda), ohne die Variable eingeführt zu haben.

Sicherlich mag das alles in deinem Skript stehen. Jetzt weißt du auch noch wofür es steht, am Ende des Semesters oder gar noch später immer noch? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2008, 00:01

Bjoern1982

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Ich geb dir absolut recht, vieles ist sehr verkürzt und mitunter auch schluderig geschrieben....vor allem auch sowas hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi_1=x-1<=>x=0 \end{eqnarray*}$

Ups

Sollte eher so lauten:

$\begin{eqnarray*} \phi_1(x)=x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_1(x)=0<=>x=1 \end{eqnarray*}$

Ergänzung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) \cdot e^{-x}~dx \approx \sum_{k=1}^s~b_k \cdot f(\lambda_k) \end{eqnarray*}$

beschreibt eine Quadraturformel, die exakt für alle Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 2s-1 \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ mit i=1,...,s die Nullstellen des s-ten Orthogonalpolynoms $\begin{eqnarray*} \phi_s \end{eqnarray*}$ bezüglich des gewichteten L²-Skalarprodukts über (a,b) sind.

07.11.2008, 00:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

hier ist mir das zu knapp formuliert. Denn so offensichtlich ist der Schritt zwischen den Integralen nicht. Augenzwinkern Ferner sieht man nicht, wo du die IB benutz hast. Augenzwinkern

Der fehlt immer noch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ mit i=1,...,s die Nullstellen des s-ten Orthogonalpolynoms $\begin{eqnarray*} \phi_s \end{eqnarray*}$ bezüglich

Dann solltest du aber nicht schreiben... Augenzwinkern

Augenzwinkern

also auf x1, x2 bezogen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi_2=(x-3)(x-1)-1=x^2-4x+2<=>x_{1,2}=2 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

07.11.2008, 11:31

Bjoern1982

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So wirklich benutzt hab ich die IB nicht...

Muss man es eigentlich überhaupt mit Induktion machen oder reicht nich auch einfach so:

$\begin{eqnarray*} I_k:= \int_{0}^{\infty}~e^{-x}\cdot x^k ~dx=[-x^k \cdot e^{-x}]_{0}^{\infty} + k \cdot \int_{0}^{\infty}~x^{k-1} \cdot e^{-x}~dx=k \cdot I_{k-1} \end{eqnarray*}$

da der Term in den eckigen Klammern für x gegen unendlich gegen null strebt ?

07.11.2008, 11:48

tigerbine

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Naja, den Weg den man anfängt, muss man auch zu Ende gehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber viele Wege führen nach Rom. (Das war das Wort zum Freitag) Formal würde ich es dann so schreiben. (Ich weiß, dass ich nun Haare spalte).

Gemäß der Definition ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} I_{k-1}:=\int_{0}^{\infty}~x^{k-1} \cdot e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_k:= \int_{0}^{\infty}~e^{-x}\cdot x^k ~dx \end{eqnarray*}$

Wendet man die Regel der Partiellen Integration an, so können wir folgende Beziehung für k>0 aufstellen:

$\begin{eqnarray*} I_k&&= \int_{0}^{\infty}~e^{-x}\cdot x^k ~dx\stackrel{\text{p.I.}}=[-x^k \cdot e^{-x}]_{0}^{\infty} + k \cdot \underbrace{\int_{0}^{\infty}~x^{k-1} \cdot e^{-x}~dx}_{I_{k-1}} \end{eqnarray*}$

Aus dem Wissen über bekannte Grenzwerte ("e-Funktion wächst schneller als jede Potenz") ergibt sich dann die gesuchte Formel:

$\begin{eqnarray*} I_k&&=\underbrace{\lim_{x\to \infty}[-x^k \cdot e^{-x}]}_{=0} - 0 + k \cdot \underbrace{\int_{0}^{\infty}~x^{k-1} \cdot e^{-x}~dx}_{I_{k-1}} \\&& = k \cdot I_{k-1} \end{eqnarray*}$

Gruß Wink

Wink

07.11.2008, 11:57

Bjoern1982

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Sieht immer ne ganze Ecke schöner aus bei dir mit dem Latex Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab vorhin auch noch total nach diesen geschweiften Klammern gesucht, wo man erklärend dann noch etwas drunter schreiben kann.
Jetzt seh ich ja wie es geht.
Hast du einen Link wo ich diese ganzen Sachen nachlesen kann ?
Der war mal in deiner Signatur aber ich finde diese schöne Auflistung nicht mehr unglücklich

unglücklich

07.11.2008, 11:59

tigerbine

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Ich übe hier ja auch genug. Lol. Big Laugh

Big Laugh

Die hab ich mir als Lesezeichen im Browser gesetzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:T...tischer_Symbole

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