Konvergenz von rekursiven Folgen

05.11.2008, 08:20

eierkopf1

Konvergenz von rekursiven Folgen

Hallo!

Ich untersuche meine erste rekursive Folge auf Konvergenz:

"Zeigen Sie, das die nachstehenden Folgen $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$ konvergieren und bestimmen Sie den jeweiligen Grenzwert:
a)
$\begin{eqnarray*} 0 < a_0 < 1, ~ ~ ~ a_{n+1} = 1 - \sqrt{1-a_n} \end{eqnarray*}$

Ich sehe sofort, dass die Folge monoton fällt und den Grenzwert 0 haben muss.

Jetzt versuche ich, das über das Monotoniekriterium zu zeigen:

Monotonie: Annahme: Folge fällt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n <0 \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt bei $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einsetzen:
$\begin{eqnarray*} 1 - \sqrt{1-(1 - \sqrt{1-a_n})}-(1 - \sqrt{1-a_n}) <0 \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann habe ich so weiter gemacht:
$\begin{eqnarray*} - \sqrt{\sqrt{1-a_n}} + \sqrt{1-a_n} <0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch zeigen, dass die linke Wurzel größer ist (wegen dem Minus davor), als die rechte Wurzel:
Da $\begin{eqnarray*} 1-a_n \end{eqnarray*}$ postiv sein muss (da $\begin{eqnarray*} 0 < a_0 < 1 \end{eqnarray*}$ gilt), ABER kleiner wie 1, gilt folgendes:
$\begin{eqnarray*} 1-a_n < \sqrt{1-a_n}<\sqrt{\sqrt{1-a_n}} \end{eqnarray*}$

Daher ist obige Ungleichung wahr und die Folge fällt monton.

Beschränktheit:
Wie ich das zeige, ist mir nicht ganz klar. Ich habs so versucht:
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-a_n} \end{eqnarray*}$ positiv ist, aber kleiner wie 1. Da aber die Gesamtfolge fällt, muss die Teilfolge mit der Wurzel wachsen. Daher ist 0 eine untere Schranke.

Kann man das so zeigen?

Aus der Beschränktheit und der Monotonie folgt der Grenzwert 0.

Danke schon mal für die Mühe

mfg

EDIT: Ich sehe gerade einen groben Denkfehler. Ich überarbeite es nochmals... Hammer

EDIT2: Jetzt sollte es passen.

05.11.2008, 09:12

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen

Zitat:

Original von eierkopf1
Beschränktheit:
Wie ich das zeige, ist mir nicht ganz klar. Ich habs so versucht:
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-a_n} \end{eqnarray*}$ positiv ist, aber kleiner wie 1. Da aber die Gesamtfolge fällt, muss die Teilfolge mit der Wurzel wachsen. Daher ist 0 eine untere Schranke.

Kann man das so zeigen?

Nee ... das Argument ist schon ziemlich schwammig. Du könntest aber zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} a_n<0 \end{eqnarray*}$ . Dann hast du einen Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} a_0>0 \end{eqnarray*}$ .

05.11.2008, 09:17

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Danke für die Antwort!

Das dachte ich mir, dass das nicht reichen wird. Ich probiers gleich mit deinem Tipp.

Die Monotonie kann ich so zeigen? Vorallem beim "Einsetzen" von a_n bin ich unsicher, ob es "erlaubt" ist.

mfg

05.11.2008, 09:25

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Monotonie kriegt man auch einfacher, da die Folge trivialerweise nach oben durch 1 beschränkt ist. Dann

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}&\leq& a_n\\ \Leftrightarrow 1-\sqrt{1-a_n}&\leq& a_n\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-a_n} &\geq& 1-a_n\\ \Leftrightarrow 1-a_n&\leq& 1\\ \Leftrightarrow a_n&\geq& 0 \end{eqnarray*}$

und letzteres ist nach der Beschränktheitsuntersuchung war. Insbesondere sieht man hier schön, dass die Folge sogar streng fällt.

05.11.2008, 09:34

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Mein zweiter Versuch für die Beschränktheit:

Wir wissen, dass die Folge monoton fällt. Dh, wenn sie KEINE untere Schranke besitzt, dann muss es Folgenglieder geben, die <0 sind.

Daher Annahme:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{1-a_n}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-a_n}>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-a_n>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n<0 \end{eqnarray*}$

Da aber der Startwert zwischen 0 und 1 liegt, gilt diese Ungleichung für das erste Glied schonmal nicht. Daher ist es ein Widerspruch. Daher ist 0 eine untere Schranke.

OK so?

Eine allgemeine Frage noch: Es ist ja möglich für eine beliebige Folge, dass der Startwert zwischen 0 und 1 liegt, aber spätere Glieder kleiner als 0 sind. Würde dann die Annahme $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0 \end{eqnarray*}$ durch Umformen der Ungleichung am Ende keinen Widerspruch erzeugen, oder?

mfg

05.11.2008, 09:39

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Habe deinen Beitrag erst jetzt gelesen.

Danke für den Tipp. Aber diesen Schritt verstehe ich nicht:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-a_n} &\geq& 1-a_n\\ \Leftrightarrow 1-a_n&\leq& 1\\ \end{eqnarray*}$

Wie hast du die Wurzel weggebracht?

mfg

05.11.2008, 09:42

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen

Zitat:

Original von eierkopf1
Es ist ja möglich für eine beliebige Folge, dass der Startwert zwischen 0 und 1 liegt, aber spätere Glieder kleiner als 0 sind. Würde dann die Annahme $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0 \end{eqnarray*}$ durch Umformen der Ungleichung am Ende keinen Widerspruch erzeugen, oder?

Du hast folgendes gezeigt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0\Rightarrow a_n<0 \end{eqnarray*}$ und zwar für alle natürlichen n. Nun kannst du dich induktiv (rückwärts) durchhangeln:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0\Rightarrow a_n<0\Rightarrow a_{n-1}<0\Rightarrow \dots \Rightarrow a_1<0\Rightarrow a_0<0 \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

Zitat:

Original von eierkopf1
Aber diesen Schritt verstehe ich nicht:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-a_n} &\geq& 1-a_n\\ \Leftrightarrow 1-a_n&\leq& 1\\ \end{eqnarray*}$

Wie hast du die Wurzel weggebracht?

Für eine positive reelle Zahl x gilt immer $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}>x\Leftrightarrow x<1. \end{eqnarray*}$

05.11.2008, 11:04

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Danke für die Antwort!

Jetzt ist es mir klar. Freude

Eine Frage noch: Ich weiß, dass 0 eine untere Schranke ist und dass die Folge monoton fällt.

Woher weiß ich, dass dann auch 0 der Grenzwert ist?

Klar ist mal: 0 < a_0 < 1. -> Der erste Wert kann beliebig an Null angenähert werden und da die Folge monoton fällt und 0 aber nicht unterschreitet, muss 0 der Grenzwert sein. Könnte man das auch rechnerisch beweisen zB mit der Definition des Grenzwertes?

mfg

05.11.2008, 11:12

klarsoweit

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen

Zitat:

Original von eierkopf1
Klar ist mal: 0 < a_0 < 1. -> Der erste Wert kann beliebig an Null angenähert werden

Unfug. a_0 ist ein fester Wert. Der bewegt sich kein Stückchen.

Da die Folge also einen Grenzwert a hat, gilt:

$\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty}~a_{n+1} = \lim_{n \to \infty}~(1 - \sqrt{1-a_n}) = 1 - \sqrt{1-a} \end{eqnarray*}$

Löse nach a auf. Fertig.

05.11.2008, 11:30

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Ich habe mich falsch ausgedrückt: Ich meinte, dass der Startwert zB auch 0,0000000001 sein kann oder genau so 0,0000000000001.

Warum gilt das?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(1 - \sqrt{1-a_n}) =1 - \sqrt{1-a} \end{eqnarray*}$

Bzw. wie löse ich nach a auf bzw. was ist die 2. Seite der Gleichung?

Wenn ich es so versuche: $\begin{eqnarray*} a=1 - \sqrt{1-a} \end{eqnarray*}$
dann komme ich auf a=0 und a=1.

Muss ich jetzt zeigen, dass a=1 kein Grenzwert ist?

mfg

05.11.2008, 11:43

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen

Zitat:

Original von eierkopf1
Warum gilt das?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(1 - \sqrt{1-a_n}) =1 - \sqrt{1-a} \end{eqnarray*}$

Grenzwertsätze!

05.11.2008, 11:45

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Klar! Zu kompliziert gedacht... Hammer

06.11.2008, 12:45

eierkopf1

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
@2 Grenzwerte:
Ist klar, warum der zweite "wegfällt".

Zu:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<0\Rightarrow a_n<0\Rightarrow a_{n-1}<0\Rightarrow \dots \Rightarrow a_1<0\Rightarrow a_0<0 \end{eqnarray*}$

Müsste ich das jetzt mit vollständiger Induktion beweisen, dass es ein Widerspruch ist? Eigentlich sollte, doch das Gegenbeispiel genügen, oder?

mfg

06.11.2008, 12:56

klarsoweit

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RE: Konvergenz von rekursiven Folgen
Man kann doch ebenso gut mit vollständiger Induktion beweisen, daß a_n >= 0 gilt. Das ist maximal ein 3-Zeiler.

06.11.2008, 13:58

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Wenn man sich die Struktur $\begin{eqnarray*} 1-a_{n+1} = \sqrt{1-a_n} \end{eqnarray*}$ ganz scharf anschaut, kann man genau genommen auch gleich die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} a_n = 1-(1-a_0)^{2^{-n}} \end{eqnarray*}$

durch Vollständige Induktion nachweisen, womit alles weitere dann einfach wird.

Klar, meistens geht das nicht so schön auf, aber hier schon... Augenzwinkern

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