Wie viele Äquivalenzklassen? |
| 18.08.2006, 21:44 | kaffeetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wie viele Äquivalenzklassen? "Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?" Da sich die vorigen Fragen rund um Matrizen bewegten schätze ich, daß auch hier Matrizen im Spiel sind - kann mit dieser wagen Frage aber nicht so richtig etwas anfangen. Also ich weiß, was eine Äquivalenzrelation ist. In einer Äquivalenzklasse sind jene Elemente zusammengefaßt, welche zu einem gewissen Element a äquivalent sind. Wenn ich das auf Matrizen beziehe, so sind A und B genau dann äquivalent, wenn sie den selben Rang besitzen. D.h. es existieren invertierbare Matrizen S und T mit: A = SBT. Allgemein also: Sei A eine nxm-Matrix. Dann gibt es also höchstens min(n,m) Äquivalenzklassen. Das habe ich mir jetzt so ein bischen an der Haaren herbeigezogen - ist das in etwa richtig oder habe die die Frage falsch interpretiert (oder beantwortet 
)? |
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| 18.08.2006, 22:11 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Wie viele Äquivalenzklassen? Die Antwort hängt natürlich von der genauen Äquivalenzrelation ab. Bei der Klassifikation von Matrizen gibt es etwa verschiedene Möglichkeiten. Wenn du Matrizen z.B. über den Rang klassifizierst, hast du recht. Allerdings wären es min(n, m) + 1 -viele Klassen (die Ränge sind ja 0, 1, 2 ... min(n, m)). Grüße Abakus 
EDIT: Text |
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| 18.08.2006, 22:48 | kaffeetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach ja, den Rang 0 habe ich vergessen. Würdest du jetzt "aus dem Bauch heraus" eine andere Äquivalenzrelation nehmen. Ich habe ja auch nur die Frage - und wenn etwas anderes naheliegender ist ... bin ja noch beim Lernen und mögliche Prüfungsfragen sind immer interessant
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| 18.08.2006, 22:57 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, eine weitere auf der Menge der quadratischen (komplexen) Matrizen: Grüße Abakus
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| 18.08.2006, 23:10 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nana, Abakus, fehlt da nicht , also die Invertierbarkeit von R?
Hier noch ein paar weitere, teilweise sinnlose Äquirelationen, nur damit du, kaffeetrinker, mal siehst, wie sinnlos einfach die Frage nach der Anzahl der Äquivalenzklassen ist (ohne Angabe der Äquirel). Alles Äquirelationen auf den m,n-Matrizen über dem Ring R 1) Altbekannt: A~B <=> A=B
2) A ~ B <=> A und B haben gleich viele Einheiten des Rings als Eintrag (warum nicht?) 3) A ~ B immer ...... 1) hat im Allgemeinen sehr viele Klassen, 3) nur eine Die Anzahl der Klassen von 1 und 2 hängt desweiteren enorm von R ab. Die Antwort auf eine solche Frage sollte ohne zu zögern "42" sein. Auf die Gegenfrage "Sind Sie sicher?" würde ich dann "Nein, mir fällt gerade ein Gegenbeispiel ein" sagen.
Dumme Fragen gibt es nicht, aber sie verdienen dumme Antworten. Übrigens ist "42" aber nicht falscher als andere Zahlen (sofern dein Matrizenring groß genug ist). Du kannst nämlich zu jeder Zahl <= der Mächtigkeit deines Matrizenringes eine Äquivalenzrelation angeben, die diese Anzahl der Klassen hat. Du kannst nämlich einfach die Äquivalenzklassen beliebig als Menge ansetzen (so dass jede Matrix in einer beliebigen Menge liegt und keine Menge leer ist). Die zugehörige kanonische Relation ist dann A~B <=> A,B liegen in der gleichen Menge
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| 18.08.2006, 23:56 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, es ist sauberer hier die Invertierbarkeit von R vorher einzubauen. Diese Äquivalenzrelation führt dann auf die Darstellung mit Repräsentanten in Jordanscher Normalform. Grüße Abakus
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| 26.08.2006, 16:04 | Jochen_1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hätte da eine ähnliche Frage und hänge mich einfach mal dran: In meinem Protokoll wird nach der Charakterisierung von Ähnlichkeit bei Matrizen gefragt und anschließend: "Wie viele Ähnlichkeitsklassen gibt es?" Als Antwort steht da: Unendlich viele. Aber das ist allgemein doch nicht richtig. Die Anzahl der Ähnlichkeitsklassen wird beschränkt durch die mögliche Anzahl der Basen. Wenn man z.B. als Vektorraum betrachtet gibt es doch nur eine Ähnlichkeitsklasse, da es nur die Basis {1} gibt. Also wenn ich in der Prüfung die Antwort unendlich geben würde, wäre das doch nicht richtig, oder? |
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| 26.08.2006, 16:22 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn keine weiteren Angaben gemacht wurden ist die Frage nach der Anzahl sinnlos. Lies dir mal LOEDs Beitrag durch. |
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| 26.08.2006, 16:23 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit der genannten Begründung auf jeden Fall. Vermutlich wäre es sehr gut, wenn du Beispiele nennen kannst, für die es unendlich viele sind, aber dann gleich dazusagst, dass es nicht unendlich sein muss. Im endlichen Körper ist ja schon die Anzahl der nxn-Matrizen sehr endlich, also muss auch die Anzahl der Äquivalenzklassen endlich sein. Vermutlich ist bei der Fragestellung im Protokoll ein bestimmter Körper (ich vermute IR oder IC) gemeint!? edit:
wenn ich den Beitrag richtig gelesen habe, war hier die Äquirel. "äquivalente Matrizen" gemeint. Das ist eine bekannte Äquirel. |
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| 26.08.2006, 18:06 | Jochen_1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich glaube nicht daß ein bestimmter Körper gemeint war, denn die Fragen stehen ganz am Anfang und sind sehr allgemein gehalten. Obwohl - als Begründung für "unendlich viele" wurde die Jordan-Normalform benutzt - was vermnuten läßt, daß vielleicht doch IC gemeint war (oder sich der Prüfling das zumindest gedacht hat). Aber es steht nichts genaueres dabei - daher wollte ich lieber sicher gehen... Danke! Ps: Es ist natürlich die Äquivalenzrelation "Ähnlichkeit von Matrizen" gemeint, also A,B ähnlich <==> A=T^-1 B T. Ich vermute mal, daß auch im ersten Beitrag die Rede von äquivalenten Matrizen im Sinne von A,B äquivalent <==> A,B haben gleichen Rang gemeint ist. So ist das bei uns zumindest gemeint wenn nichts anderes dabeisteht. |
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