Unterkörper von Q?

05.11.2008, 21:41

rewe

Unterkörper von Q?

Hallo!

Die rationalen Zahlen Q sind doch ein Primkörper.
Kann ein Primkörper eigentlich einen Unterkörper (außer sich selbst) haben?

05.11.2008, 21:43

kiste

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Definition Primkörper: Unter einem Primkörper versteht man einen Körper, der keine echten Teilkörper enthält.

sollte alles beantworten.

05.11.2008, 21:46

rewe

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Aber wie beweist man das?

Ich meine, man muss doch beweisen (können), dass Q ein Primkörper ist bzw. dass Q keine Unterkörper enthält.

05.11.2008, 23:08

kiste

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Kommt auf die Definition von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ an.
Aber normalerweise geht man von einem Körper der Charakteristik 0 aus. Bildet alle Summen von Einsen und hat damit eine zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ isomorphe Struktur.
Da man Inverse braucht, muss ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ schon drin sein.

06.11.2008, 13:48

rewe

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Ok.

Also, meine Aufgabe ist es schließlich, alle Unterkörper von Q zu zeigen.
Q ist allerdings ein Primkörper, bzw. ein Körper, der keine Unterkörper enthält, die eine echt Teilmenge von Q sind.

Um die Aufgabe zu erfüllen, muss ich nun beweisen, dass Q ein Primkörper ist (denn damit erledigt sich die Frage nach den Unterkörper, wenn ich das richtig verstanden habe).

Behauptung: Q ist ein Primkörper

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} K \subseteq Q \end{eqnarray*}$ ein Unterkörper.

Dann muss $\begin{eqnarray*} (0, 1) \in K \end{eqnarray*}$ sein und daraus folgt $\begin{eqnarray*} Z \subseteq Q \end{eqnarray*}$ (K ist bzgl. der Addition abgeschlossen).
K muss allerdings auch bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sein, daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} Q \subseteq K \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} Q=K \end{eqnarray*}$

Geht das so in Ordnung bzw. dürfte das eine mögliche Lösung der Aufgabe sein?

06.11.2008, 14:03

tmo

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Zitat:

Original von rewe
K muss allerdings auch bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sein, daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} Q \subseteq K \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} Q=K \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt, allerdings kann man das noch etwas mehr ausformulieren.

06.11.2008, 14:17

rewe

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Dass K auch bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sein muss oder das, was daraus folgt?

06.11.2008, 14:22

tmo

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Was daraus folgt.

06.11.2008, 14:31

rewe

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Mh...naja; die Voraussetzungen sind erfüllt.

?!

06.11.2008, 14:33

tmo

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Du musst doch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subseteq K \end{eqnarray*}$ zeigen.

Mache das so: Sei $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} r = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit ganzen p,q

Folgere nun $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \in K \end{eqnarray*}$

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