s.p.d Matrizen

06.11.2008, 12:09

aRo

s.p.d Matrizen

Hi!

Ich habe ein paar Fragen zu s.p.d Matrizen (symmetrisch positiv definit). Leider kann ich dazu keinen Wikipedia Artikel finden, der meine Fragen eventuell klären würde.

Also, ich weiß schon einmal zwei Kriterien (neben der eigentlichen Definition), die garantieren, dass eine Matrix s.p.d ist:
(1) Alle Eigenwerte sind positiv
(2) Alle Hauptabschnittsdeterminanten sind positiv

(2) verstehe ich nicht. Was genau sind Hauptabschnittsdeterminanten?

Gibt es noch andere, vielleicht einfachere Kriterien?
Ich kenne noch diverse Eigenschaften, die aus s.p.d folgen, aber über die Rückrichtung
weiß ich nicht so viel.
z.B. sowas wie: Nur strikt positive Diagonaleinträge und der betragsmäßig größte Eintag liegt auf der Diagonalen.

Ich danke euch!
aRo

06.11.2008, 14:49

tigerbine

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Zitat:

Original von aRo
(2) verstehe ich nicht. Was genau sind Hauptabschnittsdeterminanten?

Am besten mal anhand eines Beispiels. Das sind die Haupabschnittsmatrizen, Determinanten kannst du ja bestimmt bestimmen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2&2&3 \\ 3&3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A[1]=\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A[2]=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A[3]=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2&2&3 \\ 3&3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 15:09

aRo

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jo, danke dir smile

Ich habs inzwischen auch unter dem Begriff Hauptminoren gefunden.

Also ist es eine gute Idee, die positiv definitheit mit den Minoren zu zeigen?

So habe ich es jetzt jedenfalls getan smile

06.11.2008, 15:20

tigerbine

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Mmh. Also Symmetrie "sieht" man ja. Positive Definitheit schon weniger. Determinanten lassen sich ja auch "gut" berechnen, da man bei höheren Dimensionen ja auf Laplace zurückgreifen kann. Das bringt bei konkreten Matrizen sicherlich ein sicheres Ergebnis.

Will man über die Eigenwerte gehen, so versagen ab 5x5 die Lösungsformeln für die Nullstellen. Das ist dann imho zumindest bei konkreten Matrizen eher "schlecht" sein. Auf der anderen Seite muss man die genauen Eigenwerte ja nicht kennen, sondern nur sicher stellen dass sie positiv sind. Kann in manchen Fällen (Gestalt des CharPoly) vielleicht einfacher/schneller gehen.

Gruß Wink

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